华南理工大学微积分统考试卷上Aa
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1、姓名 学号 学院 专业 座位号 ( 密 封 线 内 不 答 题 )密封线线_ _ 诚信应考,考试作弊将带来严重后果! 华南理工大学期末考试 微积分(上) 试卷A(试卷号:2014.1.6 时间120分钟,总分100)注意事项:1. 考前请将密封线内填写清楚; 2. 所有答案请直接答在试卷上( 密封线装订区内、草稿纸上答题均无效); 3考试形式:闭卷; 4. 本试卷共 五 大题,满分100分,考试时间120分钟。题 号一二三四五总分得 分评卷人一、 填空题(每小题4分,20分)1设,且,则 2设,则 3已知函数由方程确定,则 4曲线的斜渐近线方程为 5. 二、 计算下列各题(每小题5分,共15分
2、)6、求极限解 由于且由夹逼准则,得7、求极限解 (无穷小与有界量之积为无穷小)另解1 由拉格朗日中值定理在+1与之间,从而另解2 由拉格朗日中值定理在与之间,从而8、求极限解 原式=另解 原式=三、 解答下列各题(每小题5分,共20分)9、设,求解 10、求的导数解 取对数,两边对求导视得,从而11、设由参数方程确定,求解 进而12、利用泰勒公式求极限解 由泰勒公式从而进而四、 计算下列各题(每小题5分,共10分)13、计算不定积分解 令,则另解 令,则14、计算定积分解 令,则,当时,当时从而五、 解答下列各题(每小题5分,共10分)15、利用递推公式计算广义积分解 ,由此递推公式,可得,
3、而因此16、设,求解 令,则,当时,当时,从而 ,显然是瑕点,原式 六、 解答下列各题(每小题5分,共15分)17、求三叶枚瑰线上对应点处的切线方程(直角坐标形式)解 由转化公式得对应点直角坐标为,又,进而,故切线方程为,即18、求的值,使抛物线与直线及所围成的平面图形的面积最小解 作图(略),由图可知从而当时所围成的平面图形的面积最小,最小值为19、一物体以速度作直线运动,计算它在0秒到3秒一段时间内的平均速度解 七、 证明题(每小题5分,共10分)20、设在上连续,在内可导,且满足。试证:至少存在一点,使证 设,则由已知在上连续,在内可导,且,由积分中值定理可得。从而构成区间,且在该区间内满足罗尔定理的三个条件,进而至少存在一点,使,即21、试述并证明拉格朗日中值定理。解 定理为:若函数满足(1)在闭区间上连续,(2)在开区间内可导,则在内至少存在一点,使。证 设,则满足(1)在闭区间上连续,(2)在开区间内可导,且成立。从而满足罗尔定理,从而在内至少存在一点,使,即 微积分(上) 试卷A第 6 页 共 6 页
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