测量的不确定度与数据处理

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1、_测量的不确定度与数据处理刘玉金1.1 测量、测量误差与误差处理1.测量与测量误差1）直接测量与间接测量直接测量：是用能直接读出被测值的仪器进行测量的方法。间接测量：是先用直接测量的方法测出几个物理量，然后代入公式计算得到所需物理量。2）等精度测量和不等精度测量等精度测量：对某一物理量进行多次测量时，如果测量条件保持不变（同一的测量者、仪器、方法及相同的外部环境） ，这样进行的重复测量称为等精度测量。不等精度测量：如果测量条件中，一个或几个发生了变化，这时所进行的测量称为不等精度测量。3）测量误差真值：在一定条件下，任何待测物理量都是客观存在的，不依人的意志为转移的确定值。测量误差：测量结果与

2、真值之间的差值。它反映了测量结果的准确程度，可用绝对误差表示，也可用相对误差表示：绝对误差 =测量结果 -被测量的真值相对误差 E绝对误差01000被测量真值精品资料_2.误差分类1）系统误差系统误差总是使测量结果向一个方向偏离，其数值是一定的或以可预知的方式变化的。它来源于仪器本身的缺陷，或来源于理论公式和测量方法的近似性。消除和纠正系统误差的方法是对仪器进行校正，修正实验方法，或在计算公式中引入修正项。2）随机误差由于随机的或不确定的因素所引起的每一次测量值无规律的涨落而造成的误差。它服从一定的统计分布规律，常见的一般性测量中，基本上属于正态分布，因此可用统计的方法处理随机误差。3.随机误

3、差的处理方法1）随机误差的正态分布2）残差、偏差和误差残差为单次测量值xi 与有限次测量平均值x 之差。即xxix(i=1,2, ,n)偏差为单次测量值xi 与总体平均值 之差。注意，偏差即为随机误差，系统误差为 0 时，偏差才是误差。误差为单次测量值xi 与被测量真值 x0 之差。3），S， Sx（1）总体标准偏差n2xii1limnn精品资料_（2）有限次测量时的单次测量值标准差Sn2xixi1Sn1（3） x 的标准偏差 Sxn2SxixSxi 1nn n11.2 测量的不确定度1. 不确定度1）不确定度是指由于测量误差的存在而对测量值不能肯定的程度，是表征被测量的真值所处的量值范围的评

4、定。3）不确定度与误差的关系不确定度和误差是两个不同的概念，前者实在后者理论基础上发展起来的，它们都是由于测量过程的不完善性引起的。误差用于定性地描述理论和概念的场合，不确定的用于给出具体数值或进行定量运算分析的场合。2.直接测量结果不确定度的估计直接测量结果总不确定度表示为2 2AB1）A 类不确定度当进行有限次测量时， A 类不确定度的表达式为A Sx t n 1 n 2精品资料_式中 tn1 是与测量次数 n ，置信度 1有关的量，可以从表1.2.1 中查得。2在要求精度不高的情况下，当6n10 时n2xixi 1ASxn 1当 n 不在上述范围内时或要求精度误差估计时，应查表得到相应的

5、值。3）B 类不确定度BB 类不确定度B 分量的误差与不确定度的系统误差相对应。一般由仪器误差来代替。常用仪器的误差或误差限值由生产厂家或实验室给出。即B仪4）总不确定度的合成Sx222tn 12AB仪n2当测量次数 n 符合 6n10 条件时，简化为22Sx仪当 S 1仪 ，或 A 对测量结果影响甚小， 或只进行了一次测量，可简单地用仪3表示。3.间接测量结果不确定度的估计设间接测量所用的数学表达式为f x, y, z,式中为间接测量结果， x, y, z,为直接测量结果， 且它们相互独立。 x, y, z,的不确定度（分别为x ,y ,z ,）必然影响间接测量结果，使也有相应的不确定度。不

6、确定度是微小量， 相当于数学中的“增量，”所以间接测量结果不确定度的计算公式和精品资料_数学中的全微分公式基本相同。不同之处在于不确定度x ,y ,z ,替代了 dx ，dy，dz ，以及不确定度用“方和根”合成的统计性质。即fx22xfy22yfz22z间接测量结果的表示方法为E100 0 01.3. 数据处理1. 测量结果的有效数字1）有效数字的定义测量结果的若干位准确数字和最后一位存疑数字的全体称为有效数字。有效数字位数的多少，反映了测量结果的准确度，位数越多，准确度越高。测量结果取几位有效数字是件严肃的事，不可任意取舍。有效数字与小数点的位置无关，单位换算时，有效数字的位数不应发生变化

7、。还应注意，表示小数点位置的“0”不是有效数字，数字中间或数字后面的零是有效数字，不能任意增减。2）有效数字的表示有效数字的末尾为估读数字，存在不确定性，当规定不确定度的有效数字只取一位时，测量结果最后一位应与不确定度所在的那一位对齐。如V=(32.56 0.008)cm 3中，测量值末位应于不确定度0.008 的“8”对齐。例 1 2.34cm=0.0234m 是正确的，但变为 2.34cm=2340 m 是错误的，应记为2.34 10 -4 m 。精品资料_例 2某人测得真空中的光速为299700km/s ，不确定度为300km/s ，若记为(299700 300)km/s 是不正确的，应

8、写为 (2.997 0.003)10-5 km/s 。3）有效数字的运算规则(1) 加减运算设x y z， 各 分 量不 确 定 度 为 x , y , z, 。 先计 算 不 确 定 度222，计算过程中取两位，最后取一位，再计算，其中各分量xyzx, y, z,位数取到和不确定度所在位相同或比不确定度所在位低一位，最后用不确定度决定最后结果的有效数字。若未标明x ,y ,z ,，运算中以各分量中估计位最高的为准，其它各分量运算过程中保留到它下一位，最后对齐。例71.30.7 5 3 6.2 6 2 2 7 1显然以 271 为准，其余比它多保留一位71.30.86.32 7 1 3 4 7

9、.8最后与 271 取齐，即 348 。(2) 乘除运算设 xyz ，个分量不确定度为 x , y , z , 。以有效数字最少的分量为准，其它各分量的有效数字取到比它多一位，计算 ，结果也暂多保留一位，在计算不确定度，由不确定度决定最后结果有效数字的为数。在未标明不确定度 x , y , z , 时，最后结果在最保险情况下可取到比上述最少位数的分量多一位，如计算39.54.084370.0065867.8精品资料_式中 0.0065 有效数字位数最少只有2 位，运算中期于分量取3 位，结果也可取三位，即39.54.080.00651.21 10 3868(3) 函数运算设f x, y, z,

10、。在直接测量值标明不确定度时，先用微分方法写出该函数的不确定度公式，再将直接测量值不确定度代入公式，确定函数有效数字的位数。若直接测量值未标明不确定度，则在直接测量值的最后一位数上取1 作为不确定度代入公式。如测得x25.4 ，求 ln x 。由于直接测量值 x25.4 未标明不确定度，应在25.4 最后一位上取 1 作为不确定度，即x0.1，所以ln x0.004。因此 ln x 小数点后应保留至第三位，即ln xln 25.43.235在计算中，若有物理常数（如c，h 等）和纯数学数字（如，e，2 等）参与运算，它们不影响运算结果中有效数字的位数。(4) 数值舍入规则一般遵循“四舍六入五凑

11、偶”的规则。“五凑偶”是若拟舍数字部分最左一位的数字为5，当 5 后边为非 0 数字时，则进一，即保留数字末尾加1；当 5 后边无数字或全为0时，则保留数字末尾为奇数则进一，为偶数或0 则舍弃。2.数据处理1）列表法在记录和处理数据时，将数据列成表格。有时也可以把运算的主要过程列出。列精品资料_表的主要要求是简单明了，便于看出有关量之间的关系，便于数据处理。必须交代清楚表中各符号所表示的物理量意义，并写明单位，表中的数据要正确反映测量结果的有效数字，写明表的标题或加上必要的说明。2）作图法应以横坐标为自变量，纵坐标为应变量，标出坐标轴的方向并真眼、注明所代表的物理量和单位，可靠数据在图中应为可

12、靠，不可靠的数在图中应估计。连接不一定要通过所有的点，而要使所有的点分布在曲线的两侧。3）逐差法（适用于等间隔线性变化实验的测量）例：测量弹簧的倔强系数 k 时，先测出弹簧的自然长度L0，然后依次在弹簧下端的小钩上加0.2mg ，0.4mg ， 1.4mg 的砝码，弹簧长度依次为L， L， L ，对127应于 0.2mg 砝码的弹簧相应的伸长为：L1L1L0 ， L2L2L1 ， L7L7 L6 。其平均伸长量为LL1L2L7L1L0L2L1L7L6L7L0777由此可以看出，在多次测量过程中，只有两次测量值参与了运算，其它测量值并没有起到减小偶然误差的作用。因此，只要在测量列中适当采取变化，

13、就能使各次测量值都参与运算。具体做法是：将测量列分成两组，一组为：L0，L1， L2 ，L3，另一组为 L4， L5 ，L6， L7 。取对应的差值（称为逐差）L1L4L0L 2L5L1L3L6L2精品资料_L 4L7L3再取平均值L14Li1L4 L0L5 L1L6 L2L7 L34i14这时，L 便是每增加 0.8mg 时弹簧的伸长，所有的测量值都参与了运算，达到增加测量次数，消除偶然误差的目的。4）回归法回归法也是利用实验所测得的数据组，用数学形式模拟物理模型，通过测量的数据组变化趋势推测出函数形式。以下是用最小二乘法回归直线问题。若一组数据存在线性关系，于是有如下形式：YAXB如何确定 A、 B 常数呢？设有 n 组测量值（ x1， y1 ）；（ x2 ，y2）；（xn ，yn ），则x1nxi；1nnyyi1n1nxi2 1n2n1令 L XXxi；L yyyi2i 1ni 1i 1nn1nnL XYxiyixiyini 1i1i1n2yii1则直线方程参数的最佳估计值为L XY；A y B xBL XX最后，直线方程为 yABx为了检验直线，引进了相关系数精品资料_LXYL XXLYY值越接近 1， x 和 y 的线性关系越好。值越接近 0， x 和 y 之间不存在线性关系。精品资料_Welcome ToDownload !欢迎您的下载，资料仅供参考！精品资料