三角函数专题复习

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1、百度文库-让每个人平等地提升自我12三角函数知识点与常见习题类型解法1 .任意角的三角函数:(1) 弧长公式：l aR R为圆弧的半径，a为圆心角弧度数，l为弧长。1 一(2) 扇形的面积公式：S -lRR为圆弧的半径，l为弧长。2(3) 同角三角函数关系式：/，一.，一sin acosa倒数关系：tanacota 1商数关系： tana ,cot a cosasin a平方关系：sin2 a cos2a 1(4)诱导公式：(奇变偶不变，符号看象限)k -/2+a所谓奇偶指的是整数 k的奇偶性x函数sin xcosxtanxcotxasinacosatanacot a2 asinacosata

2、n acot aa 2cosasin acot atan a2 .两角和与差的三角函数: (1)两角和与差公式：cos( ) cos a cos sin asinsin(a ) sin a cos cosa sin, ,、 tan a tantana(a )1 tan a tan注：公式的逆用或者变形(2)二倍角公式：sin 2a 2sinacosac2.22c 2/cos2a cos a sin a 1 2 sin a 2cos a 1tan 2 a2tana从二倍角的余弦公式里面可得出1 tan a降哥公式：cos2 a 1 cos2a ,2(3)半角公式(可由降哥公式推导出)：,21 c

3、os2asin a 2.a 1 cosa a 1 cosa , a sin-/, cosJ , tan2.22221cosasina1 cosa.1cosa1 cosasina三角函数y sin xy cosxy tanx定义域(-OO, +oo)(-OO, +oo)x k 2值域-1,1r -1,1(-OO, +oo)最小正周期T 2T 2T3.三角函数的图像和性质： (其中k z)奇偶性奇偶奇单调性2k 嗟2k_单调递增32k2,2k W/单调递减(2k 1) ,2k 单调递增(2k ,(2k 1)N单调递减(k 5k -2)单调递增对称性x k 一2(k ,0)xk(k 2,0) (k2

4、 ,0)零值点x kx k2xk最值点x k 2ymax1x k一2y min1x 2k ,y max 1 5x (2 k 1),y min1无4.函数y Asin( x)的图像与性质:(本节知识考察一般能化成形如y Asin( x)图像及性质)(1)函数 y Asin( x)和 y Acos( x)的周期都是T(2)函数 y Atan( x)和 y Acot( x)的周期都是T (3)五点法作y Asin( x)的简图，设t，取 0、一、233一、2来求相应x的值以2及对应的y值再描点作图。(4) 关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换，提倡先平移后伸缩。切记每一个变换总是对字/母x而言

5、，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。(附上函数平移伸缩变换)： 函数的平移变换：y f (x)y f (x a)(a 0)将y f(x)图像沿x轴向左(右)平移 a个单位(左加右减)y f(x)y f (x) b(b 0)将y f (x)图像沿y轴向上(下)平移 b个单位(上加下减)函数的伸缩变换： y f(x)1，f(wx)(w 0)将y f(x)图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的 2倍(w 1缩短，0 w 1伸长)y f(x) y Af(x)(A 0)将yf (x)图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍(A 1伸长，0 A 1缩短) y f (x)函数的对称变换：y f

6、( x)将y f(x)图像绕y轴翻折180° (整体翻折)(对三角函数来说：图像关于 x轴对称)f (x) y“*)将丫 f(x)图像绕x轴翻折180° (整体翻折) y f (x) /y f (x)将 y(对三角函数来说：图像关于 y轴对称)f (x)图像在y轴右侧保留，并把右侧图像绕 y轴翻折到左侧(偶函数局 y f(x) y f(x)保留 y部翻折)f (x)在x轴上方图像，x轴下方图像绕x轴翻折上去(局部翻动)5、方法技巧一一 三角函数恒等变形的基本策略。(1)常值代换：特别是用"1"的代换，如1=cos20+sin 2 0 =tanx - co

7、tx=tan45 °等。(2)项的分拆与角的配7荽。如分拆项：sin 2x+2cos2x=(sin 2x+cos2x)+cos 2x=1+cos2x;配凑角：a = (a+ 3 ) - 3 , 3 =等。(3)降次与升次。(4)化弦(切)法。(4)引入辅助角。asin 0 +bcos 0 =v a2 b2 sin( 0 + ),这里辅助角所在象限由a、b的符号确b .7E, 角的值由tan =一确te。 a类题：1 .已知 tanx=2,求 sinx, cosx 的值.2.求的值.tan( 120 ) cos(210 ) sin( 480 )tan( 690 ) sin( 150 )

8、 cos330 )sin x cosx3,若 2,求 sinxcosx 的值.sin x cosx /4 . 求证：tan2x sin2x=tan2x sin2x.一x 兀、.5 .求函数y 2sin(-一)在区间0, 2 上的值域.2 66.求下列函数的值域./(1)y= sin2xcosx+2;2)y=2sinxcosx (sinx+ cosx).7 .若函数y=Asin(co)+昉(3>0,0)的图象的一个最高点为(2, J2),它到其相邻的最低点之间的图象与x轴交于(6, 0),求这个函数的一个解析式./8 .已知函数 f(x)=cos4x 2sinxcosx sin4x.花(I

9、 )求f(x)的最小正周期;(n )右x 0,-,求f(x)的最大值、最小值.21.2.3.4.,选择题1.A.C.2.A.C.3.(1 sin xy 的值域.3 cos x已知tan求函数y已知函数(1)求cos sin22 -J2 ,求(1) ; (2) sin sin .cos 2cos 的值.cos sin /2 ,1 sin x cosx (sin x cosx) 的值域。2f (x) 4sin x 2sin 2x 2, xRof (x)的最小正周期、f (x)的最大值及此时x的集合;(2)证明：函数f(x)的图像关于直线已知函数 y= 1 cos2x+t3 sinx - cosx+

10、1(1)当函数y取得最大值时，求自变量冗 ,一对称。8(xCR),x的集合;(2)该函数的图像可由y=sinx(x C R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?历年高考综合题(全国一 6)最小正周期为最小正周期为(全国一向左平移向左平移2y (sin x cosx)2九的偶函数冗的偶函数9)为得到函数y三个长度单位65个长度单位6全国二)若sin0且 tanA.第一象限角4.A.5.A.6.cosB.最小正周期为2兀的奇函数D.最小正周期为冗的奇函数x 一 的图象，只需将函数 y sin x的图像( 3B.向右平移个长度单位6D.向右平移2个长度单位60是，则是B.第二象限角C.第三象限角(全

11、国二10).函数f (x) sin x cosx的最大值为(安徽卷8)函数y sin(2x一)图像的对称轴方程可能是3B. x12C. x -6D.D.第四象限角D2y=g(x)的图象,x12(福建卷7)函数y=cosx(x £ R)的图象向左平移、一个单位后,2得到函数g(x)的解析式为7.（广东卷5）已知函数f（x）(1 cos2x)sin 2 x, x R ,则 f(x)是A、最小正周期为的奇函数B 、最小正周期为的奇函数2C最小正周期为的偶函数D 、最小正周期为的偶函数28.（海南卷11）函数f（x） cos2x 2sin x的最小值和最大值分别为A. -3, 1B. -2,

12、 2C. -3, 3D.-29.（湖北卷7）将函数y sin（x ）的图象F向右平移一个单位长度得到图象3F'的一条对称轴是直线x ,则的一个可能取值是110.（江西卷6）函数A. 512B.C.f(x)12sin x 是。- xsin x 2sin 一21112D.1112F,若A.以4为周期的偶函数C.以2为周期的偶函数11.若动直线x a与函数f (x)12.A.13.A.14.A.15.（山东卷2、35（陕西卷）（四川卷tanx（天津卷10)已知cosB.sin3304)为周期的奇函数.以4为周期的奇函数MN的最大值为、,3C.D. 2sin4C51DC2D .再把所得图象上7

13、冗的值是（6cos x的图像分别交于 M , N两点，则2sin x 和 g(x)2、352tanx cotx cosb . sin x6)把函数y sin x(x所有点的横坐标缩短到原来C . cosxcotxR）的图象上所有的点向左平行移动 一个单位长度,3,1 一一 的1倍（纵坐标不变），得到的图象所表布的函数是2A . y sin 2xsinC.y sin2xsin2x16.（天津卷9).5sin72cos,tan27A.B.C. b cD.17.（浙江卷函数(sin x2cos x） 1的最小正周期是C.18.（浙江卷7)在同个数是平面直角坐标系中,D. 2)(x二，填空题19.（北

14、京卷9)若角的终边经过点 P（1, 2）,则tan2的值为（江苏卷1)20.21.f x cos x 一 6（辽宁卷16)22.（浙江卷12)23.（上海卷24.25.26.0,2r、 ，一 ，1，、,）的图象和直线y的交点2的最小正周期为一，其中 0 ,则5设x 0,则函数2若 sin() 3 ,则252sin x 1 入口，的取小值为sin 2xcos26)函数 f(x)=43sin x +sin( 2+x)的最大值是（四川卷17）求函数yx7 4sin xcosx4cos2x4cos4x的最大值与最小值。2（北东卷15）已知函数f（x） sin的值；（n）求函数f（x）在区间0（天津卷1

15、7）已知函数 f（x） 2cos23 sin xsin上的取值范围x （/ 0）的最小正周期为冗.（i） 2x 2sin xcos x 1 (x R, 0)的最小值正周期是x的集合.(I)求 的值;2(n)求函数f (x)的最大值，并且求使 f(x)取得最大值的27.(安徽卷(I)求函数f (x)的最小正周期和图象的对称轴方程(n)求函数f (x)在区间一,一上的值域12 228.(陕西卷)x x -2 x-已知函数f(x) 2sin - cos- 2 . 3 sin 一,3444(I)求函数(n)令 g(x)f(x)的最小正周期及最值;-,判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由. 319. 4

16、20. 10321.322.25故当sin2x 1时y取得最大值10,当sin2x 1时y取得最小值1 (n)由(I)得 f (x)一，一冗因此 00 sin 2x 一 63W 3 ,即f (x)的取值范围为24x 2 .当 4x 2k44216k Z 时，sin 4x 一取4得最大值1,所以函数的最大值是 2 J2,此时x的集合为16k2,k Z27.解:(1) , f(x)cos(2x ) 2sin( x3一)sin(x .)1巧cos2x sin 2x22(sin x cosx)(sin xcosx)17)已知函数 f(x) cos(2x )2sin( x )sin( x 一)344-c

17、os2x 2避sin2x sin2x 22 cos x-cos2x 2避 sin2x cos2x 2sin(2x |x 12,22x 一 6-)6-，3 6:周期T2因为f (x),sin(2x -)在区间一，一上单调递增，在区间一,一上单调递减, 612 33 2所以 当x 时，f(x)取最大值1 33，、13又 f( 12) Vf(5)2，：当x 12时，f(x)取破小值所以函数f (x)在区间一，一上的值域为12 2,128.解：(I) 11 f(x) sin x 73cos- 2sin - -1222 3.，一一 2冗f(x)的最小正周期T 丁 47t.12x当 sin 一2. x TT1时，f(x)取得最小值2；当sin x -2 31时，f(x)取得最大值2.x tt(n)由(i)知 f (x) 2sin - 2 3一-冗又 g(x) f x -g(x)2sin_ . x2sin 一22cos-. 2一x_xg( x) 2cos-2cos - g(x) 22函数g(x)是偶函数.