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1、【圆的定义有两个 】其一：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫圆。 其二：平面上一条线段，绕它的一端旋转360°，留下的轨迹叫圆。【有关圆的基本性质与定理】 圆的确定：画一条线段，以线段长为半径以一端点为圆心画弧绕360度后得到圆。 圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。 有关圆周角和圆心角的性质和定理 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么
2、他们所对应的其余各组量都分别相等。 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。 如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。 有关外接圆和内切圆的性质和定理 一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等； 内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。 R=2S÷L（R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长） 两相切圆的连心线过切点（连心线：两个圆心相连的直线） 圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦A
3、D与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。 （4）如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分公共弦。 （5）圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 （6）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 （7）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。 （8）圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。 （9）圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。 【有关切线的性质和定理】 圆的切线垂直于过切点的半径；经过半径的一端，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。 切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是
4、圆的切线。（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。 切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等，那点与圆心的连线平分切线的夹角。 有关圆的计算公式 1.圆的周长C=2r=d 2.圆的面积S=r² 3.扇形弧长l=nr/180 4.扇形面积S=(nr²)/360=lr/2(l为扇形的弧长）5.圆锥侧面积S=rl 6.圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角n=360r/l(r是底面半径,l是母线长) 切割线定理 圆的一条切线与一条割线相交于p点，切线交圆于C点，割线交圆于A B两点 ， 则有pC²=pApB 割线定理 与切割线定理相似
5、两条割线交于p点，割线m交圆于A1 B1两点，割线n交圆于A2 B2两点 则pA1pB1=pA2pB2 【圆的解析几何方程】 圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是(x-a)²+(y-b)²=r²。 圆的一般方程：把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后，可得圆的一般方程是x²+y²+Dx+Ey+F=0(其中D²+E²-4F0）。其中和标准方程对比，其实D=-2a，E=-2b，F=a²+b²-r²。该圆圆心坐标为（-D/2,-E/2)，半径r=0.5D
6、²+E²-4F。 圆的参数方程：以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的参数方程是 x=a+r*cos, y=b+r*sin, (其中为参数) 圆的端点式：若已知两点A(a1,b1),B(a2,b2)，则以线段AB为直径的圆的方程为 (x-a1)(x-a2)+(y-b1)(y-b2)=0 圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。 经过圆 x²+y²=r²上一点M（a0，b0）的切线方程为 a0*x+b0*y=r² 在圆(x²+y²=r²)外一点M（a0，b0）引该圆的两条切线，且两切点为A,B，
7、则A,B两点所在直线的方程也为 a0*x+b0*y=r² 【圆与直线的位置关系判断】 平面内，直线Ax+By+C=0与圆x²+y²+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是： 1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）B，（其中B不等于0），代入x²+y²+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。利用判别式b²-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下： 如果b²-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。 如果b²-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。 如果
8、b²-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。 2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-CA，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x²+y²+Dx+Ey+F=0化为(x-a)²+(y-b)²=r²。令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么： 当x=-CA<x1或x=-CA>x2时，直线与圆相离； 当x1<x=-CA<x2时，直线与圆相交； 半径r，直径d 在直角坐标系中，圆的解析式为：(x-a)²+(y-b)²=r² x²+y²+Dx+Ey+F=0 => (x+D/2)²+(y+E/2)²=D²/4+E²/4-F => 圆心坐标为(-D/2,-E/2) 其实只要保证X方Y方前系数都是1 就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2) 这可以作为一个结论运用的 且r=根号（圆心坐标的平方和-F）
圆的知识专项练习
