2013届高考数学一轮复习精品学案：第24讲三角恒等变形及应用(精)

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1、 2013年普通高考数学科一轮复习精品学案 第24讲三角恒等变形及应用 一课标要求： 1.经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程， 进一步体会向量方法的作用； 2能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、 余弦、正切公式，了解它们的内在联系； 3能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差、和差化积、半角公 式，但不要求记忆）。 二.命题走向 从近几年的高考考察的方向来看， 这部分的高考题以选择、 解答题出现的机会较多， 有 时候也以填空题的形式出现， 它们经常与三角函数的性质、 解三角形及向量联合考察，主要 题型有三角函数求值，通过三角式的变换

2、研究三角函数的性质。 本讲内容是高考复习的重点之一， 三角函数的化简、求值及三角恒等式的证明是三角变 换的基本问题。历年高考中，在考察三角公式的掌握和运用的同时， 还注重考察思维的灵活 性和发散性，以及观察能力、运算及观察能力、运算推理能力和综合分析能力。 三要点精讲 1.两角和与差的三角函数 sin（ 二 I ） = sin ： cos L 二cos： sin :； cos 二 IJ = cos： cos ：sin ： sin :； 2二倍角公式 sin 2： = 2sin ： cos ：； 2 2 2 2 - cos2： -cos sin =2cos 1=1-2sin :， 3.三角函数式

3、的化简 常用方法：直接应用公式进行降次、消项；切割化弦，异名化同名，异角化同角； 三角公式的逆用等。（2）化简要求：能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量少; 使项数尽量少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数。 （1）降幕公式 （2）辅助角公式 tan（用二 l-）二 tan 二 tan : 1 + tan ：tan 2-：s = 2ta n : 1 -tan2: 1 2 sin : cos sin2： sin 2 1 -cos2： ； 2 1 cos2： cos : 2 2 2 2 a sin x bcosx a2 b2 sin x ： b a 其中 sin： _ - ,co

4、s - - 4三角函数的求值类型有三类 （1） 给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利 用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题； （2） 给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的 关键在于 变角”，如僅= +0 ）-为血+P）+g ）等，把所求角用含已知角的 式子表示，求解时要注意角的范围的讨论； （3） 给值求角：实质上转化为 给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角 的范围及函数的单调性求得角。 5三角等式的证明 （1） 三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为 简、左右同一

5、等方法，使等式两端化 异”为同”； （2） 三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用 代入法、消参法或分析法进行证明。 四典例解析 题型 1：两角和与差的三角函数 例 1 1 已知 sin sin 2 =1,cos cos：? -0，求 coscosG G ）的值。 分析：因为（口 + + 0 0）既可看成是与 p p 的和 也可以看作是a a + + p p 的倍角，因而可得 2 到下面的两种解法。 解法一：由已知 sin：. +sin 一： =1 . COS ： +COS I，=0 . 2 2+ 2 2 得 2+2cos （”：.：；）= 1 ; cos （一

6、）丄 2 2 2 2 2 得 COS2、 +cos2 +2cos （弋亠） =1 1, 即 2cos2cos （ a a + + p p ） o（ a a _ _ P P） + +1 1= = 1 1。 cos ： ：二 T。 解法二：由得 . 2 sin - cos - 二 1 2 2 由得 ： .： . 2cos - cos - =0 *得 . cot =0, 2 1 tan2 点评：此题是给出单角的三角函数方程，求复角的余弦值，易犯错误是利用方程组解 sin ：.、cos：. 、 sin -、 cos ,，但未知数有四个，显然前景并不乐观，其错误的原因在 3 于是有：= k k Z 4

7、/ 3 | 3 i 3 i i 3 | 3 1 原式=2sin2ik sini2k cos21 k 1 3 I 4丿2（ 2丿 I 4丿 2 2 1 -tan2 cot2 : -1 cot2 于没有注意到所求式与已知式的关系本题关键在于化和为积促转化, t a，n :是方程彳- nx 整体对应”巧应用。 的两个实5艮根，6求0 2sin i很亠卩 3sin心亠；jcos心亠；Tcos 以亠；j的值 分析：由韦达定理可得到 tani-tan :及tan： tan :的值，进而可以求出 tan :- - 的值，再将所求值的三角函数式用 tan . . 表示便可知其值。 解法 由韦达定理得 tant

8、an 二 1 ta n ： = 5,ta n 二 ta n ： =6， 所以 tan 5 1-6 原式 2sin2 - -3sin二亠；cos很亠卩 厂cosi2 二 sin2 i： 亠卩 厂 cos2 -亠j 2tan2 亠 1； 3ta n 亠)jT 2 1-3 -1 1 tan2i*亠卩厂1 -3 解法二：由韦达定理得 tan 一.怡门 I：: 所以 tan (a + P )= 1-6 点评：（1）本例解法二比解法一要简捷，好的解法来源于熟练地掌握知识的系统结构, 从而寻找解答本题的知识 最近发展区”（2）运用两角和与差角三角函数公式的关键是熟记 公式，我们不仅要记住公式，更重要的是抓住

9、公式的特征，如角的关系，次数关系，三角函 数名等抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用， 而且抓住了公式的 结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特 征，联想到相应的公式， 从而找到解题的切入点。（3）对公式的逆用公式， 变形式也要熟悉, 如 cosi很亠卩 cos ： sini很亠卩 sin ： = cos， tan很亠卩1 -tan ： tan ： = tan爲川 tan :, tan亠 -f tan ： tan ： = tan很亠；tan二-tan :, tan i tan ： tan以亠；tan： tan tan ： :。 题型

10、2： 二倍角公式 例 3. (2) 2 2 cos ： sin - 2 2cot icos -a I 0 注意到这两大特征，不难得到解题的切入点。 所以，原式=:.。 sin 2 （2）原式= cos 2： (JI 2 (JI 2 一 a Icos -Ct 2 -a Icos -a l ) 4 丿 4丿 4 JI 2 2sin xcosx 2sin x 原式 1 -ta n x + 2 f 7坷 1 10八10丿 、10 丿 28 = - 75 1 -ta n x 而sin2x=sin |2+x l- 14 丿 2 一 (n -cos2 x 14 4曲卜xLU IL .4 7 25 1-7 2

11、 tan x 4 (Tt sin x 4 (JT cos x 4 3 再求 cosx, sinx 3 cosx-sis in x 二一 4 5 的值，就很繁琐，把 ，并注意角的变换 -+ x作为整体 4 公式，问题就公难为易，化繁为简所以在解答有条件限制的求值问题时， 要善于发现所求的 三角函数的角与已知条件的角的联系，一般方法是拼角与拆角， 2 - - - 2 : =2宓亠卩齐 1；,2- - - 2: 1：, - 八 :等0 题型 3:辅助角公式 例 5 已知正实数 a,b 满足 o J-L J-L a sin bcos 5 5 =tan肛，求-的值 兀 .兀 15 a a cos bsi

12、 n 5 5 分析：从方程 的观点考虑，如果给等式左边的分子、分母同时除以 a,则已知等式可 化为关于b 程，从而可求出由b ,若注意到等式左边的分子、分母都具有 b的方 - a a a si- bcos的结构，可考虑引入辅助角求解。 兀 b 兀 8 sin cos sin : 5a 5 _ 15 兀b .兀 8 cos sin cos 二 5 a 5 15 .8 兀） sin - 匕5 5丿 _8 兀） cos 一兀一一 15 5 丿 解法二： 因为 asin5 bcos-2 b2sin -， .8 兀 8 兀b sin cos cos si 15 5 15 5 a -8 r 兀亠 8 “

13、cos 一 cos sin si 15 5 15 5 所以，原式 7 r 4) 28 25 I 3 丿 75 点评：此题若将 - cos x 4 o的左边展开成 JL cos- 5 4 2 运用二倍角 Fx卜沙 解法一：由题设得 4 二 二 r 2 b acos二-bsin = a b cos 二 ，其中 tan _ _ _ 丿 a 5 8 7： 5 由题设得tan tan . 15 丿 15 8 所以 k ，即 =k： 5 15 故 b = tan 二 tan i k二- a 解法三: JI 3， tan 3. 3 3 丄兀 b tan +_ 原式可变形为：一占一a b 兀 1 - tan

14、a 5 8 =tan 二， 15 由此可:- 则有 JI tan tan : 5 (n =ta n ： 兀 15 1 - ta n ： ta n 5 = tanb, 15 JI + 5 故 tan ： =tan I k二 ： k Z ,所以 15 31 + 3 31 r 二，k Z 点评：以上解法中， 想，引入辅助角，技巧性较强，但辅助角公式 方法一用了集中变量的思想, 是一种基本解法；解法二通过模式联 asin t bcos：二.a2 b2 sind： -;： ( b 冷或 asina +bco少 其中tan丄 i a丿 在历年咼考中使用频率是相当咼的，应加以关 注；解法三利用了换元法, 例

15、 6 .已知函数 y= 但实质上是综合了解法一和解法二的解法优点， 所以解法三最佳。 2 _ 1 cosxcosx + + ，- - 3 2 sinxcosx+ 1, x R. 2 (1) 当函数 y 取得最大值时，求自变量 x的集合； (2) 该函数的图象可由 y= sinx ( x R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到 (理) (1)解析：y= 1 cos2x+ 3 sinxcosx+ 1 2 2 =1( 2 2cosx1 1) + 1 +、3 4匚 (2sin xcosx)+ 1 =1 (cos2xsincos2xsin 二 + sin2sin2xcos 二)+ 5 4 所以当函数 y

16、 取得最大值时，自变量 x 的集合为 x|x= + kn, k Zo (2)将函数 y= sinx 依次进行如下变换: 把函数 y= sinx 的图象向左平移_.,得到函数 y= sin (x+ _.)的图象; y= sin (2x+ 一.)的图象; y= 1 sin (2x+ -)的图象; _ 2 综上得到函数 y= 1 cos x+ 3 sinxcosx+ 1 的图象。 3 点评：本题主要考查三角函数的图象和性质， 考查利用三角公式进行恒等变形的技能以 及运算能力。 题型 4:三角函数式化简 例 7 求 sin 20 cos 50 sin20 cos50 的值。1 cos2x+ 3 sin

17、2x+ y 取得最大值必须且只需 2x+ + 2k n, k Z, 把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，得到函数 把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的 (横坐标不变)，得到函数 把得到的图象向上平移 5个单位长度, 得到函数 y= 1 sin (2x+ 二)+ 5 的图象; 解析：原式= i (1 cos40 + i (1 + cos100 + i ( sin70 sin30 ) 2 2 2 =1 + i (cos100 cos40 + i sin70 2 2 4 =3 sin70 sin30 + sin70 4 2 1 -sin 2工cos2： cos： 2 2cos 2s

18、in ： cos： cos:1 sin70 + 1 si n70 4 2 2 4 点评：本题考查三角恒等式和运算能力。 例 8 .已知函数 f(x)二 2叽 4). cosx ()求f (x)的定义域； (n)设：.的第四象限的角，且tan 4，求f(：.)的值。 = 3 解析：(I)由cos x = 0得 xk兀 +(kz) 故f (x)在定义域为 lx xk 兀 +，kZ, 2 (n)因为 4，且：.是第四象限的角 ta n = 3 所以 sin 4 ,cos 故 1 - . 2 sin(2： - J cos : =2(cos -sin :-) 题型 5：三角函数求值 _ 2 例 9.设函

19、数 f(x)= 3cos cos+sin. , rcos . x+a(其中，0,aw R),且 f(x)的图象在 y 轴右侧 的第一个高点的横坐标为 x。 (I)求3的值; (H)如果 f(x)在区间 5_.上的最小值为 3，求 a 的值。 怎 1 品 f (x) cos2 x sin 2 x 2 2 2 依题意得 f (x) 上的最小值为 解析：y=cos(x+ _.)cos(x - )+ 3 sin2x=cos2x+ 3 sin2x=2sin(2x+ -), 4 4 6 函数 y=coscos(x+x+ 二)cos(x二)+ 3 sin2x 的值域是2,2,最小正周期是 n。 4 4 题型

20、 6:三角函数综合问题 例 11.已知向量 冲 才 . . a = (sin 二，1),b 二(1,cosr, 2 2解析：(I) “n(2 匸)仝 a 3 2 (II)由( I)知, 又当 时, 6 JI x 0, 3 ，从而f (x)在区间 亍sin(x 尹1 () 例 10 .求函数y = 2 cos(x ) cos(x ) 4 4 +、3sin2x 的值域和最小正周期。 (2). a +b =|(sin 日 +1,cos日 +1) = J(sin 日 +1)2 +(cos日 +1)2 =,sin2 j 2sin v 1 cos% 2cos v 仁 2(sin v cos 3 屁 n(T

21、 +4) 点评：本题主要考察以下知识点： 1、向量垂直转化为数量积为 0; 2，特殊角的三角函 数值；3、三角函数的基本关系以及三角函数的有界性； 4已知向量的坐标表示求模，难度 中等，计算量不大。 例 12设 0 B 0，( 0 0 0 兀) cos日- sinB a 0 2 =0 0 二。 4 (2)设四个交点的坐标为 (Xi, yi) (i=1, 2, 3, 4),则:xf+yi2=2cos 0 (丘，2)(i=1， 2, 3, 4)。 故四个交点共圆，并且这个圆的半径 r=J2cos0(讥 占)- 点评：本题注重考查应用解方程组法处理曲线交点问题， 这也是曲线与方程的基本方法， 同时本

22、题也突出了对三角不等关系的考查。 题型 7：三角函数的应用 解析： (1)(1) a 丄 b n 話=0二 sin 日 +cos日=0 n 若 lb 求二； (II)求呻 4 的最大值。 a +b 当 二=1 时 sin( ) 4 a b有最大值此时. 最大值为 2 2 3 = ,2 1。 解析：(1)解方程组 x2sin 日 + y2 cos日=1 x2 COST - y2 sin v -1 得 x2 =sin + cos日； 2 =cos日- sin日 故两条已知曲线有四个不同的交点的充要条件为 例 13.有一块扇形铁板，半径为 R,圆心角为 60,从这个扇形中切割下一个内接矩 形，即矩形

23、的各个顶点都在扇形的半径或弧上，求这个内接矩形的最大面积. 分析：本题入手要解决好两个问题, (1)内接矩形的放置有两种情况，如图 2-19 所示，应该分别予以处理； 解析：如图 2-19(1)设/ FOA=B，则 FG= Rsin 0 , EF 在ZOEF中加眄司an20 2Rdn(6Ofi -d) .I - 又设矩形 EFGH 勺面积为 S,那么 S = FG*EF = 又 0 v 0 v60，故当 cos(2 0 60 ) = 1,即卩 0 =30时, 郦得最大值为轨小备年 如图 2-19 (2)，设/ FOA= 0，贝 U EF= 2Rsin(30 0 )，在 OFG 中，/ OGF=

24、 150 Pfl R 故= 佔卡即FC = 2Rsn 9 anp anljU 设矩形的面积为 S. 那么 S= EFFG= 4R2sin 0 sin(30 - 0 ) Racos(29-60* )-cos60& cos(25-60 (2 )求最大值问题这里应构造函数，怎么选择便于以此表达矩形面积的自变量。 =2R2 : cos(2 0 30 ) cos30 = 2R3cos(2e -30 )-y 又 0v 0 v 30，故当 cos(2 0 30 ) = 1 即 e =15 et, S取最大值为2R，(1-亍)=B?(2 J) i 6 五.思维总结 从近年高考的考查方向来看， 这部分常常以选择

25、题和填空题的形式出现， 有时也以大题 的形式出现，分值约占 5%因此能否掌握好本重点内容，在一定的程度上制约着在高考中成 功与否。 1两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式在学习 时应注意以下几点： （1） 不仅对公式的正用逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉； （2） 善于拆角、拼角 女口：一， 2，_ - ? _ _ 2 = .等； （3） 注意倍角的相对性 （4） 要时时注意角的范围 （5） 化简要求 熟悉常用的方法与技巧，如切化弦，异名化同名，异角化同角等。 2证明三角等式的思路和方法。 （1） 思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边

26、化为同一形式。 （2） 证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，禾惋函数的单调性， 利用正、余弦函数的有界性，禾 U 用单位圆三角函数线及判别法等。 3解答三角高考题的策略。 （1） 发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的 差异分析”。 （2） 寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。 （3） 合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。 4加强三角函数应用意识的训练 由于考生对三角函数的概念认识肤浅， 不能将以角为自变量的函数迅速与三角函数之间 建立联系，造成思维障碍，思路受阻 实际上，三角函数是以角为自变量的函数，也是以实 数为自变量的函数，它产生于生产实践，

27、是客观实际的抽象，同时又广泛地应用于客观实际， 故应培养实践第一的观点总之，三角部分的考查保持了内容稳定，难度稳定，题量稳定， 题型稳定，考查的 重点是三角函数的概念、 性质和图象，三角函数的求值问题以及三角变换 的方法。 5.变为主线、抓好训练 变是本章的主题，在三角变换考查中，角的变换， 三角函数名的变换， 三角函数次数的 变换，三角函数式表达形式的变换等比比皆是，在训练中，强化变意识是关键，但题目不可 太难，较特殊技巧的题目不做， 立足课本，掌握课本中常见问题的解法，把课本中习题进行 归类，并进行分析比较，寻找解题规律。 针对高考中题目看，还要强化变角训练，经常注意收集角间关系的观察分析方法 另外 如何把一个含有不同名或不同角的三角函数式化为只含有一个三角函数关系式的训练也要 加强，这也是高考的重点同时应掌握三角函数与二次函数相结合的题目。