2014年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 2.11导数及其应用

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1、 2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：2.11导数及其应用一、变化率与导数、导数的运算（一）利用导数的定义求函数的导数1、相关链接（1）根据导数的定义求函数在点处导数的方法：求函数的增量；求平均变化率；得导数，简记作：一差、二比、三极限。（2）函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数。2、例题解析例1求函数y=的在x=1处的导数。解析：例2一质点运动的方程为。（1） 求质点在1，1+t这段时间内的平均速度；（2） 求质点在t=1时的瞬时速度（用定义及求求导两种方法）2 / 19分析（1）平均速度为；（2）t=1时的瞬时速度即在t

2、=1处的导数值。解答：（1）s=8-3(1+t)2-(8-312)=-6t-3(t)2,.（3） 定义法：质点在t=1时的瞬时速度（4） 求导法：质点在t时刻的瞬时速度，当t=1时，v=-61=-6.注：导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之间的关系。对位移s与时间t的关系式求导可得瞬时速度与时间t的关系。根据导数的定义求导数是求导数的基本方法，请按照“一差、二比、三极限”的求导步骤来求。（二）导数的运算1、相关链接（1）运用可导函数求导法则和导数公式，求函数在开区间（a,b）内的导数的基本步骤：分析函数的结构和特征；选择恰当的求导法则和导数公式求导；整理得结果。（2）对较复杂的函数求

3、导数时，诮先化简再求导，特别是对数函数真数是根式或分式时，可用对数的性质转化真数为有理式或整式求解更为方便。（3）复合函数的求导方法求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数解决。分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量；分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量；根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程。2、例题解析例求下列函数的导数。思路分析：本题考查导数的有关计算，借助于导数的计算

4、公式及常见的初等函数的导数，可以容易求得.解答：(1)方法一：由题可以先展开解析式然后再求导：y=(2x2-1)(3x+1)=6x3+2x2-3x-1，y=(6x3+2x2-3x-1)=(6x3)+(2x2)-(3x)=18x2+4x-3.方法二：由题可以利用乘积的求导法则进行求导：y=(2x2-1)(3x+1)+(2x2-1)(3x+1)=4x(3x+1)+3(2x2-1)=12x2+4x+6x2-3=18x2+4x-3.(2)根据题意把函数的解析式整理变形可得：(3)根据求导法则进行求导可得：y=(3xex)-(2x)+e=(3x)ex+3x(ex)-(2x)=3xln3ex+3xex-2

5、xln2=(3e)xln3e-2xln2(4)根据题意利用除法的求导法则进行求导可得：(5)设=3-2x，则y=(3-2x)5是由y=5与=3-2x复合而成，所以y=fx=(5)(3-2x)=54(-2)=-104=-10(3-2x)4.规律总结：一般说来，分式函数求导，要先观察函数的结构特征，可化为整式函数或较为简单的分式函数；对数函数的求导，可先化为和、差的形式；三角函数的求导，先利用三角函数公式转化为和或差的形式.复合函数的求导过程就是对复合函数由外层逐层向里求导.每次求导都针对最外层，直到求到最里层为止.所谓最里层是指此函数已经可以直接引用基本初等函数导数公式进行求导.（三）导数的几何

6、意义【例】已知曲线，（1） 求曲线在点P(2,4)处的切线方程；（2） 求曲线过点P(2,4)的切线方程； （3） 求斜率为4的曲线的切线方程。思路分析：“该曲线过点P(2，4)的切线方程”与“该曲线在点P(2，4)处的切线方程”是有区别的：过点P(2，4)的切线中，点P(2，4)不一定是切点；在点P(2，4)处的切线，点P(2，4)是切点.解答：（1）上，且在点P(2,4)处的切线的斜率k=4;曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.（2）设曲线与过点P(2,4)的切线相切于点A（x0，），则切线的斜率，切线方程为（）=（-），即点P(2,4)在切线上，4

7、=2，即，（x0+1）(x0-2)2=0解得x0=-1或x0=2故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.（3）设切点为（x0,y0）则切线的斜率为k=x02=4, x0=2.切点为（2，4），（-2，-4/3）切线方程为y-4=4(x-2)和y+4/3=4(x+2)即4x-y-4=0和12x-3y+20=0注：(1)求函数f(x)图象上点P(x0,f(x0)处的切线方程的关键在于确定该点切线处的斜率k，由导数的几何意义知k=f(x0)，故当f(x0)存在时，切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0).(2)要深入体会切线定义中的运动变化思想：两个不同的公共点两公共点无限接近两

8、公共点重合(切点)；割线切线.（3）可以利用导数求曲线的切线方程，由于函数y=f(x)在x=x0处的导数表示曲线在点P(x0,f(x0)处切线的斜率，因此，曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线方程，可按如下方式求得：第一，求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处切线的斜率；第二，在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程y=y0+f(x0)(x-x0)；如果曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，由切线的定义可知，切线的方程为x=x0.二、导数在函数中的应用与生活中的优化问题举例（一）利用导数研

9、究函数的单调性1、相关链接（1）求可导函数单调区间的一般步骤和方法，如下图：即：确定函数f(x)的定义域;求f(x) ，令f(x)=0，求出它们在定义域内的一切实根；把函数f(x)的间断点（即f(x)无定义点）的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间。确定f(x)在各个开区间内的符号，根据f(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性。注：当f(x)不含参数时，也可通过解不等式f(x)0（或f(x)0时为增函数；f(x)0时为减函数。（3）已知函数的单调性，求参数的取值范围，应注意函数f(x)在（a,b）上递增（或递减）

10、的充要条件应是f(x)0（或f(x)0），x（a,b）恒成立，且f(x) 在（a,b）的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f(x) =0，甚至可以在无穷多个点处f(x0) =0，只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间。 2、例题解析例】(2011北京模拟)若函数f(x)=lnx-ax2-2x存在单调递减区间,求实数a的取值范围.思路解析：函数f(x)存在单调减区间,就是不等式f(x)0有实数解,考虑到函数的定义域为(0,+),所以本题就是要求f(x)0在(0,+)上有实数解.解答：f(x)= -ax-2=.因为函数f(x)存在单调递

11、减区间,所以f(x)0有解.又因为函数的定义域为(0,+),则ax2+2x-10在x(0,+)内有解.(1)当a0时,y=ax2+2x-1为开口向上的抛物线,ax2+2x-10,总可以找到x0的解;(2)当a0时,y=ax2+2x-1为开口向下的抛物线,要使ax2+2x-10总有大于0的解,则=4+4a0且方程ax2+2x-1=0至少有一个正根,此时-1a0.(3)当a=0时,显然符合题意.综上所述,实数a的取值范围是-1,+).（二）利用导数研究函数的极值与最值1、相关链接（1）求函数f(x)极值的步骤即：确定函数f(x)的定义域；求导数f(x);求方程f(x)=0的根。检查在方程的根的左右

12、两侧的符号，确定极值点（最好通过列表法）。如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果f(x)在点x0的左右两侧符号不变，则f(x0)不是函数极值。（2）可导函数极值存在的条件可导函数的极值点x0一定满足f(x0)=0,但当f(x0)=0时，x0不一定是极值点。如f(x)=x3,f(0)=0,但x=0不是极值点。可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x)=0，且在x0左侧与右侧f(x0)的符号不同。（3）设函数f(x)在a,b上连续，在（a,b）内可导，求f(x)在a,b上的最大值和最小值的步骤求函数y=f(x)在（a,b

13、）内的极值；将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。根据最值的定义，求在闭区间a,b上连续，开区间（a,b）,内可导的函数的最值时，可将过程简化，即不用判断使f(x)=0成立的点是极大值点还是极小值点，直接将极值点与端点的函数值进行比较，就可判定最大（小）值。定义在开区间（a,b）上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点。2、例题解析例1已知函数f(x)=x3+ax2+bx+5,记f(x)的导数为f(x).(1)若曲线f(x)在点(1,f(1)处的切线斜率为3，且x=时，y=f(x)有极值,求函数f(x)的解析式

14、.(2)在(1)的条件下，求函数f(x)在-4,1上的最大值和最小值.思路解析：在求解(1)时，可以通过切线斜率和极值点求得a,b的值，从而求得函数的解析式.在求解(2)时只需要列出极值变化表，对比区间端点值求得最值即可.解答：（1）由题意，得解得，所以（2）由（1）知，令，得当变化时，的变化情况如表：在上的最大值为13，最小值为-11.例2已知函数 （1）当时，求证函数上是增函数； （2）当a=3时，求函数在区间0，b上的最大值。解答：(1)时，故在R上是增函数。(4分)(2)时，若时，得：()若时，在0，b上单增，故()若时，因故.若时，由知在上的最大值为2，下求在上的最大值，因，故又综合

15、、 知： (12分)（四）利用导数解决实际生活中的优化问题1、相关链接利用导数解决生活中的优化问题时：(1)既要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还要注意确定函数关系式中自变量的定义区间.(2)一定要注意求得函数结果的实际意义，不符合实际的值应舍去.(3)如果目标函数在定义区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点.2、例题解析例某地政府为科技兴市,欲将如图所示的一块不规则的非农业用地建成一个矩形的高科技工业区.已知ABBC,OABC,且AB=BC=2AO=4 km,曲线段OC是以点O为顶点且开口向右的抛物线的一段,如果要使矩形的相邻两边分别落在AB,BC上,且一个顶点落

16、在曲线段OC上,问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大?并求出最大的用地面积(精确到0.1 km2).思路解析：矩形工业园的用地面积与它落在抛物线段OC上的具体位置有关，因此应设法将落在OC上的点用一个变量表示出来，然后用这一变量表示矩形工业园的用地面积，而要设出相应的变量，则应首先建立直角坐标系.解答：以O点为坐标原点，OA所在的直线为y轴建立直角坐标系(如图所示)，依题意可设抛物线为y2=2px(p0)且C(4,2).22=2p4,p=,故所设抛物线方程为y2=x(0x4).设P(x, )(0x4)是曲线段OC上的任意一点，则在矩形PQBN中，|PQ|=2+，|PN|=4-x,所以工

17、业区的面积为S=|PQ|PN|=(2+)(4-x) =-2x+4+8，S=-2+2，令S=0，得3x+4-4=0,( +2)(3-2)=0,x=.故当x0, )时，S0,S是关于x的增函数；当x,4时，S0,S是关于x的减函数，x=时，S取得最大值，此时|PQ|=2+=,|PN|=4-x=,S=9.5,Smax9.5(km2).把工业园规划成长为km,宽为km的矩形，工业园的面积最大，最大面积约为9.5 km2.注：生活中的优化问题，往往涉及到函数的最值，求最值可利用单调性，也可直接利用导数求最值，要掌握求最值的方法和技巧。在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合。用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点也就是最值点。 希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！