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1、精品资源欢迎下载2.3.1离散型随机变量的数学期望课堂探究探究一求离散型随机变量的数学期望解决求离散型随机变量的数学期望问题的关键是求出分布列，只要求出离散型随机变量的分布列，就可以套用数学期望的公式求解.对于aX+ b型随机变量的数学期望， 可以利用数学期望的性质求解，也可以求出aX+ b的分布列，再用定义求解.【典型例题1】 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛1 2随即结束.除第五局甲队获胜的概率是1外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是g假设各局2 3比赛结果相互独立.(1)分别求甲队以3 ： 0,3 ： 1,3 ： 2胜利的概率；(2)若比赛结果为3 ： 0或3
2、： 1,则胜利方得3分、对方得。分；若比赛结果为3 : 2, 则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分 X的分布列及数学期望.思路分析：(1)利用相互独立事件的概率求解.(2)先列出X的所有值，并求出每个 X值所对应的概率，列出分布列，然后根据公式求出数学期望.解：(1)记“甲队以3： 0胜利”为事件 A, “甲队以3： 1胜利”为事件 A “甲队以 3： 2胜利”为事件A,由题意，各局比赛结果相互独立，故 P(A1) = |) = ;8,3 27RA)=C2i|)ri 3=27,2啾-2/2=:所以，甲队以3 ： 0胜禾I、以3 ： 1胜利的概率都为8,以3 ： 2胜利的概率为4-.(2)设“
3、乙队以3 ： 2胜利”为事件 A 由题意，各局比赛结果相互独立，所以 RAO =C213jx1-2广 247.由题意，随机变量 X的所有可能的取值为 0,1,2,3根据事件的互斥性得16RX= 0) = RA + A)= RA) + P(A2)=万4又 P(X= 1) = P(A3) = 27,3P( X= 3) = 1 P(X= 0) P( X= 1) P( X= 2) = 27.故X的分布列为X0123P1644327272727所以 日X)=0X1|+ 1X 4- + 2X ；4 + 3x;3 = 27272727 9探究二特殊分布的数学期望解决此类问题，首先应依据二项分布、二点分布及超
4、几何分布的特点，判断随机变量属于哪一种分布，再写出随机变量的分布列，然后利用特殊分布的数学期望公式求解.【典型例题2】 某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各 2棵.设甲、乙两种大2 1树移栽的成活率分别为 a和不 且各棵大树是否成活互不影响.求移栽的 4棵大树中：3 2(1)两种大树各成活1棵的概率；(2)成活的棵数E的分布列与数学期望.思路分析：本题主要考查独立重复试验和分布列的应用，求解时可由二项分布求数学期望.解：设A表示甲种大树成活 k棵，k= 0,1,2 ,B表示乙种大树成活l棵，l =0,1,2 ,则A9=(棵).（方法2）分布列的求法同方法 1,令E 2分别表示甲、乙两种大树
5、成活的棵数，则E 1 B?, 3 ：W 2B?, 2 I；所以 E( E 1) =2X |=：(棵)，E( E 2) =2X； = 1(棵)， 3 32所以 EH)=E(E1) + E E 2)=4+1 = 7(棵). 33探究三期望的应用解决数学期望的应用问题，首先应把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件发生的可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应的数学期望，随机变量的数学期望反映的是离散型随机变量取值的平均水平.在实际问题的决策中， 往往把数学期望最大的方案作为最佳方案进行选择.【典型例题3】 某公司准备将100万元资金投入代理销售业务，现有 A, B两个项
6、目可 供选择：投资A项目一年后获得的利润 X1（万元）的分布列如下表所示：X1111217Pa0.4b且X的数学期望 E（X1） =12.投资B项目一年后获得的利润 %（万元）与B项目产品价格的调整有关，B项目产品价 格根据销售情况在 4月和8月决定是否需要调整，两次调整相互独立且在 4月和8月进行价 格调整的概率分别为 p（0 V pv 1）和1 p经专家测算评估：B项目产品价格一年内调整次数 X（次）与灵的关系如下表所示：X(次)012X2(万元)4.1211.7620.40求a, b的值.(2)求X2的分布列.(3)若E( X) v E( X),则选择投资B项目，求此时p的取值范围.思路
7、分析：(1)由分布列的性质及数学期望的计算公式列方程组求解.(2)利用相互独立事件同时发生的概率求解.(3)利用数学期望公式列出不等式求解.解：(1)由题意得a+0.4 + b= i,解得 a= 0.5 , b=o.i.11a+12X0.4 + 17b=12,(2)X2 的可能取值为 4.12,11.76,20.40.RX2=4.12) =(1 -p)1 -(1 -p) =p(1 -p),P(X2= 11.76) =p1(1p) +(1 p)(1 p) = p2+(1 -p)2, P(X2= 20.40) =p(1p).所以X2的分布列为X4.1211.7620.40Pp(1 -p)p2+(1
8、 - p)2p(1 p)(3)由(2)可得E(X2)=4.12 p(1 p)+ 11.76p2+(1 - p)2+ 20.40 p(1 - p)= -p2+p +11.76.因为 E(X1) vE(%),所以 12- p2+p+11.76.所以 0.4 vp0.6.当选择投资B项目时，p的取值范围是(0.4,0.6).探究四易错辨析易错点：对随机变量 X取值的意义理解错误而致误【典型例题 4】 某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验；若试验失败，则再重2新试验一次；若试验3次均失败，则放弃试验.若此人每次试验成功的概率均为且各次3试验互不影响.求此人试验次数X的数学期望.错解：试验次数X的可
9、能取值为X= 1,2,3 ,21 2 2RX= 1)=3, RX= 2) =3x3 = 9,22711 2RX= 3)=3x-x -=3 3 3所以X的概率分布如下表所示X123P2223927X= 1表不一次试验就所以X= 3表示前两次1 一，入，、A因此，在求随机变量 9所以 E(X) = 1x |+2X 2+3X =4. 392 7 3错因分析：错误的主要原因是没有明确随机变量X的取值意义，成功，X= 2表示第一次失败，第二次成功，由于试验最多进行3次,失败，第三次可能成功也可能失败，所以P(X= 3) = 1XX |+1 ；=3 33 3取各值的概率时，务必理解各取值的实际意义，以免出错.正解：试验次数X的可能取值为1,2,3 ,21 2 2RX= 1)=3, RX= 一,2所以 E(X) = 1X -+2X =3x3 = 9,RX= 3) =-x -X 1-+ - !=.P(X )3 3 3 3 91 13所以X的分布列为
2017-2018学年2-32.3.1离散型随机变量的数学期望教案
