第二章单自由度系统振动的理论及应用

《第二章单自由度系统振动的理论及应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第二章单自由度系统振动的理论及应用（121页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第二章第二章 单自由度系统振动的理论及应用单自由度系统振动的理论及应用2-1 2-1 单自由度系统振动微分方程式的建立单自由度系统振动微分方程式的建立 2-1.1 2-1.1 纵向振动微分方程式的建立纵向振动微分方程式的建立 tF tFkx.cxx 系统振动时系统振动时, ,振动质振动质量量m m的位移的位移x,x,速度速度x x. .和加和加速度速度x x.会产生弹性力会产生弹性力kxkx, ,阻尼力阻尼力cxcx. .和惯性力和惯性力mxmx., ,它们分别与振动质量的它们分别与振动质量的位移位移, ,速度和加速度成正速度和加速度成正比比, ,但方向相反但方向相反. . 按牛顿第二定律按牛

2、顿第二定律: :作用于质点上所有力的合力等作用于质点上所有力的合力等于该质点的质量与沿合力方向的加速度的乘积于该质点的质量与沿合力方向的加速度的乘积. . mgkcxkxtFmxj .0.sin 把质量块挂上后把质量块挂上后, ,弹簧的静变形量为弹簧的静变形量为 j j: : mgkj 所以有所以有: : tFkxcxmx sin0. 称为单自由度线性纵向振动系统的运动微分方程式称为单自由度线性纵向振动系统的运动微分方程式, ,又称单又称单自由度有粘性阻尼的受迫振动方程自由度有粘性阻尼的受迫振动方程. . 可分为如下几种情况进行研究可分为如下几种情况进行研究: : (1)(1)当当c=0,F(

3、t)=0c=0,F(t)=0时时, ,0. kxmx该方程为单自由度无阻尼自由振动方程该方程为单自由度无阻尼自由振动方程. .(2)(2)当当F(t)=0F(t)=0时时, ,该方程为单自由度有拈性阻尼的自由振动方程该方程为单自由度有拈性阻尼的自由振动方程. .(3)(3)当当c=0c=0时时, ,该方程为单自由度无阻尼受迫振动方程该方程为单自由度无阻尼受迫振动方程. .0. kxcxmxtFkxmx sin0. 2-1.2 2-1.2 扭转振动微分方程式的建立扭转振动微分方程式的建立 tM tM k c 圆盘的转动惯量为圆盘的转动惯量为J,J,在在某一时刻某一时刻t t圆盘的角位移为圆盘的角

4、位移为 , ,角速度为角速度为 . .和角加速度为和角加速度为 ., ,在圆盘上施加力矩在圆盘上施加力矩M(t),M(t),系系统则作扭转振动统则作扭转振动, ,此刻作用此刻作用于圆盘上的力矩有弹性恢复于圆盘上的力矩有弹性恢复力矩力矩- -k k , ,阻尼力矩阻尼力矩c c . ., ,外外加激振力矩加激振力矩M(t)M(t). . 根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律: :.)( cktMJ 故故)(.tMkcJ 称为单自由度线性扭转振动系统的运动微分方程式称为单自由度线性扭转振动系统的运动微分方程式. .2-1.3 2-1.3 微幅摆动微分方程的建立微幅摆动微分方程的建立O akklcmmg

5、 sinl)(tM 摆动质量摆动质量m m在任意时在任意时刻刻t t的角位移为的角位移为 , ,角速度角速度为为 . .和角加速度为和角加速度为 . .系系统作微幅摆动时统作微幅摆动时, ,作用于作用于m m上的力矩有弹性恢复力矩上的力矩有弹性恢复力矩-2-2kaka2 2 , ,阻尼力矩阻尼力矩- -clcl2 2 . ., ,重力力矩重力力矩- -mglsinmglsin = =mglmgl 和和外加力矩外加力矩M(t)M(t). . 根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律: : mglkacltMJ 2.2.2)( 由由为微幅摆动系统的运动微分方程式为微幅摆动系统的运动微分方程式. .2mlJ

6、 )()2(2.2.2tMmglkaclml 2-2 2-2 无阻尼单自由度系统的自由振动无阻尼单自由度系统的自由振动 0l设弹簧原长为设弹簧原长为在重力在重力 的作用下的作用下mgW 刚度系数为刚度系数为k k这一位置为平衡位置这一位置为平衡位置j kmmgW jkkx 弹簧的变形为弹簧的变形为称为静变形称为静变形j Wkj 当系统受到外界的某种初始干扰作用后当系统受到外界的某种初始干扰作用后, ,其静平衡状其静平衡状态被破坏态被破坏, ,弹性力不再与重力相平衡弹性力不再与重力相平衡, ,产生弹性恢复力使产生弹性恢复力使系统产生持续的自由振动系统产生持续的自由振动. .2-2.1 2-2.1

7、 自由振动微分方程自由振动微分方程 取静平衡位置为坐标原点取静平衡位置为坐标原点, ,以以x x表示质量块的位移表示质量块的位移, ,并并以以x x轴为系统坐标轴轴为系统坐标轴, ,取向下为正取向下为正. .当质量块离开平衡位置当质量块离开平衡位置时时, ,在质量块上作用有重力在质量块上作用有重力W W和弹性恢复力和弹性恢复力- -k(k( j j+x+x).).)(.xkWmxj Wkj 上式表明：上式表明：只在恢复力作用下维持的振动称为只在恢复力作用下维持的振动称为无阻尼自由振动无阻尼自由振动 物体偏离平衡位置于坐标物体偏离平衡位置于坐标x x处将受到与偏离距离成正比处将受到与偏离距离成正

8、比而与偏离方向相反的合力而与偏离方向相反的合力恢复力恢复力0. xmkxkxmx .02. xxn 无阻尼自由振动微分方程的标准形式无阻尼自由振动微分方程的标准形式mkn 2 令令kxmx .代入代入其解具有如下形式其解具有如下形式stex 其中其中s s为待定常数为待定常数022 ns 特征方程的两个特征根为特征方程的两个特征根为: :ns i tDtDxnn sincos21 微分方程的通解为微分方程的通解为: :stex 把把stesx2. 代入得代入得: :令：令：mkDDDDAn 2102221arctan)sin(0 tAxn其中其中 和和 是积分常数，是积分常数，1D2D由运动的

9、起始条件确定由运动的起始条件确定)(,212211cciDccD n 02-2.2 2-2.2 无阻尼自由振动的特点无阻尼自由振动的特点1. 1. 固有频率固有频率-周期振动周期振动若运动规律若运动规律x x( ( t t ) ) 可以写为可以写为)()(Ttxtx T T为常数为常数周期周期由式由式)sin(0 tAxn 2)()(00 tTtnn自由振动的周期为自由振动的周期为kmTn 22 fTn 212 其中其中 振动的振动的频率频率，表示每秒钟的振动次数。，表示每秒钟的振动次数。Tf1 只与表征系统本身特性的质量只与表征系统本身特性的质量m m和刚度和刚度k k有关有关, ,而与运动

10、而与运动的初始条件无关的初始条件无关, ,它是振动系统固有的特性它是振动系统固有的特性. .n mkn gWm jWk jng 2. 2. 振幅与初相角振幅与初相角相位（或相位角）相位（或相位角）)(0 tn表示质点在某瞬时表示质点在某瞬时t t 的位置的位置而而 0 0表示质点运动的起始位置表示质点运动的起始位置初相角初相角)sin(0 tAxnA A表示相对于振动中心点表示相对于振动中心点O O的最大位移的最大位移 振幅振幅将振动的初始条件将振动的初始条件t= t= 0 0 ， 代入代入: :,0 xx .0.xx )sin(0 tAxn.0002020.20arctanxxxxAn nD

11、xDx 2.010, 3. 3. 其他类型的单自由度振动系统其他类型的单自由度振动系统图为一扭振系统图为一扭振系统建立扭转振动微分方程式建立扭转振动微分方程式: kI .则得则得02. n tMldI由材料力学可知由材料力学可知,它的扭转刚度为它的扭转刚度为:lGdk324 Ikn 系统振动的固有圆频率为系统振动的固有圆频率为:系统振动的固有频率为系统振动的固有频率为:Ikf 21 通解为通解为:)sin(0 tAn将振动的初始条件将振动的初始条件t= t= 0 0 ， 代入代入: :,0 .0. .000220.20arctan nnA 例例: :已知：质量为已知：质量为m m0.5kg0.

12、5kg的物体沿光滑斜面无初速度滑下。的物体沿光滑斜面无初速度滑下。当物块下落高度当物块下落高度h h=0.1m=0.1m时，撞于无质量的弹簧上，时，撞于无质量的弹簧上，并与弹簧不再分离，弹簧刚度系数并与弹簧不再分离，弹簧刚度系数k k=0.8kN/m=0.8kN/m。倾角倾角 30求：此系统振动的固有频率和振幅并给出物块的运动方程。求：此系统振动的固有频率和振幅并给出物块的运动方程。解：解： 若物块平衡时，若物块平衡时，弹簧应有变形量弹簧应有变形量kmg sin0 )(sindd022xkmgtxm kxtxm 22dd通解为通解为)sin(0 tAx固有频率固有频率00.8N/m 10004

13、0rad/s0.5kgkm当物块碰上弹簧时，取时间当物块碰上弹簧时，取时间t t=0=0，作为振动的起点，作为振动的起点m1006. 31000N/m8 . 030sinm/s8 . 9kg5 . 03200 x2022 9.8m/s0.1m1.4m/svgh22002035.1vAxmm000arctan0.087radxv 运动方程为运动方程为mm)087. 040sin(1 .35 tx已知：如图所示无重弹性梁，当中部放置质量已知：如图所示无重弹性梁，当中部放置质量m m的物块时，的物块时，其静挠度为其静挠度为2mm2mm，若将此物块在梁未变形位置处若将此物块在梁未变形位置处无初速释放。

14、无初速释放。求：系统的振动规律。求：系统的振动规律。例例: :解：解：此无重弹性梁相当于一弹簧此无重弹性梁相当于一弹簧, ,其静挠度相当于弹簧的静伸长其静挠度相当于弹簧的静伸长则梁的刚度系数为则梁的刚度系数为st mgk 取其平衡位置为坐标原点取其平衡位置为坐标原点, ,x x轴方向铅直向下轴方向铅直向下运动微分方程为运动微分方程为kxxkmgtxm )(ddst22 设设mk20)sin(0 tAx0dd2022 xtx 固有频率固有频率rad/s70st0 gmk在初瞬时在初瞬时t t=0=0，物块位于未变形的梁上，物块位于未变形的梁上其坐标其坐标mm2st0 x重物初速度重物初速度00则

15、振幅为则振幅为2200202vAx mm初相角初相角000arctanarctan()2xv 最后得系统的自由振动规律为最后得系统的自由振动规律为mm)70cos(2tx 已知：图为一摆振系统，杆重不计球质量为已知：图为一摆振系统，杆重不计球质量为m m。摆对轴摆对轴O O 的转动惯量为的转动惯量为J J，弹簧刚度系数为弹簧刚度系数为k k。杆于水平位置杆于水平位置 平衡。平衡。求：此系统微小振动的运动微分方程及振动固有频率。求：此系统微小振动的运动微分方程及振动固有频率。例例: :解：解：摆于水平平衡处，摆于水平平衡处，弹簧已有压缩量弹簧已有压缩量0由平衡方程由平衡方程0)(iOFMdkmg

16、l0 以平衡位置为原点，以平衡位置为原点，摆绕轴摆绕轴O O的转动微分方程为的转动微分方程为ddkmgltJ )(dd022 222ddkdtJ Jkd 0 4. 4. 计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法如图所示无阻尼振动系统如图所示无阻尼振动系统当系统作自由振动时，运动规律为当系统作自由振动时，运动规律为: :)sin(0tAx速度为速度为: :00cos()xvAttdd在瞬时在瞬时t t 物块的动能为物块的动能为: : 无阻尼自由振动系统没有能量的损失无阻尼自由振动系统没有能量的损失, ,振动将永远持续下去振动将永远持续下去. .在振动过程中在振动过程中, ,系统的动能与弹簧的势能

17、不断转换系统的动能与弹簧的势能不断转换, ,但总的机械能但总的机械能守恒守恒. .因此因此, ,可以利用能量守恒原理计算系统的固有频率可以利用能量守恒原理计算系统的固有频率. .22220011cos ()22TmvmAt若选平衡位置为零势能点，有若选平衡位置为零势能点，有: :PxxkV )(212st2st Pk st 对于有重力影响的弹性系统，如果以平衡位置为零势能位置，对于有重力影响的弹性系统，如果以平衡位置为零势能位置，则重力势能与弹性力势能之和，相当于由平衡位置处计算变形的则重力势能与弹性力势能之和，相当于由平衡位置处计算变形的单独弹性力的势能。单独弹性力的势能。)(sin2121

18、0222 tkAkxV当物体处于平衡位置（振动中心）时，物块具有最大动能当物体处于平衡位置（振动中心）时，物块具有最大动能220max21AmT当物块处于偏离振动中心的极端位置时，系统具有最大势能当物块处于偏离振动中心的极端位置时，系统具有最大势能2max21kAV由机械守恒定律由机械守恒定律maxmaxVT可得系统的固有频率可得系统的固有频率mk /0已知：如图所示两个相同的塔轮，相啮合的齿轮半径已知：如图所示两个相同的塔轮，相啮合的齿轮半径 皆为皆为R R，半径为半径为r r的鼓轮上绕有细绳。轮的鼓轮上绕有细绳。轮I I连一铅连一铅 直弹簧，轮直弹簧，轮IIII挂一重物，塔轮对轴的转动惯量

19、皆挂一重物，塔轮对轴的转动惯量皆 为为J J，弹簧刚度系数为弹簧刚度系数为k k，重物质量为重物质量为m m。求：此系统振动的固有频率。求：此系统振动的固有频率。例例: :解：解：以系统平衡时重物的位置为原点，取以系统平衡时重物的位置为原点，取x x轴如图。轴如图。22)(21221rxJxmT 系统的势能为系统的势能为221kxV 不计摩擦，由系统的机械能守恒不计摩擦，由系统的机械能守恒22222121kxxrJxmVT常数常数系统动能为系统动能为上式两端对时间取一阶导数，得上式两端对时间取一阶导数，得:0)2(2 xkxxxrJm 0)2(2 kxxrJm 自由振动微分方程自由振动微分方程

20、系统的固有频率为系统的固有频率为Jmrkr2220 求：系统作微振动时的固有频率。求：系统作微振动时的固有频率。已知：如图振动系统中，摆杆已知：如图振动系统中，摆杆OAOA对铰链点对铰链点O O的转动惯量的转动惯量J J，杆的点杆的点A A和和B B各安置一个弹簧，刚度系数分别为各安置一个弹簧，刚度系数分别为 和和 。系统在水平位置处于平衡。系统在水平位置处于平衡。1k2k例例: :解：解：)sin(0 t系统振动时摆杆的最大角速度系统振动时摆杆的最大角速度0max 系统的最大动能为系统的最大动能为220max21JT 选择平衡位置为零势能点选择平衡位置为零势能点最大势能为最大势能为22221

21、2221max)(21)(21)(21dklkdklkV 即即22221220)(2121dklkJ 解得固有频率解得固有频率Jdklk22210 由机械能守恒定律有由机械能守恒定律有maxmaxVT 求：圆柱体在平衡位置附近作微小振动的固有频率。求：圆柱体在平衡位置附近作微小振动的固有频率。已知：如图表示一质量为已知：如图表示一质量为m m，半径为半径为r r的圆柱体，在一半的圆柱体，在一半径为径为R R的圆弧槽上作无滑动的滚动。的圆弧槽上作无滑动的滚动。例例: :解：解：1()OvRrrrR/)( 系统的动能为系统的动能为1122222221111()() ()222223()4OOmrR

22、rTmvJm RrrmRr系统的势能为系统的势能为2sin)(2)cos1)(2 rRmgrRmgV 当圆柱体作微振动时，当圆柱体作微振动时，可认为可认为22sin2)(21 rRmgV 设系统作自由振动时设系统作自由振动时的变化规律为的变化规律为)sin(0 tA则系统的最大动能则系统的最大动能2202max)(43ArRmT 系统的最大势能系统的最大势能2max)(21ArRmgV 由机械守恒定律由机械守恒定律有有maxmaxVT解得系统的固有频率为解得系统的固有频率为)(320rRg 5. 5. 等效质量与等效刚度等效质量与等效刚度 实际振动系统通常由多个构件组成实际振动系统通常由多个构

23、件组成, ,因而其质量是分散的因而其质量是分散的, ,这就给振动分析带来了困难这就给振动分析带来了困难. .因此因此, ,对于相关的那些质量对于相关的那些质量, ,可以可以采用等效质量代替实际的分散质量简化力学模型采用等效质量代替实际的分散质量简化力学模型. . 但在进行质量折算求解等效质量时但在进行质量折算求解等效质量时, ,应遵循能量守恒原则应遵循能量守恒原则, ,保持系统转换前后的振动动能不变保持系统转换前后的振动动能不变. .4labx kxkem 一个杠杆一个杠杆- -弹簧系统弹簧系统, ,均质均质杆长度为杆长度为l l, ,质量为质量为m,m,弹簧刚度弹簧刚度为为k.k. 为了便于

24、振动分析为了便于振动分析, ,可把该可把该系统简化为集中质量系统简化为集中质量- -弹簧系统弹簧系统, ,因弹簧刚度保持不变因弹簧刚度保持不变, ,只需用只需用一个等效质量一个等效质量m me e代替杠杆的分代替杠杆的分散质量散质量m.m.1) 1) 等效质量等效质量系统变换后的动能为系统变换后的动能为 : :系统变换前的动能为系统变换前的动能为 : :22222 .4874121421mllmmllmIIITbaa 为杠杆绕为杠杆绕b b点的转动惯量点的转动惯量; ; 为杠杆绕为杠杆绕a a点的转动惯量点的转动惯量; ;aIbI2 .21xmTee 保持系统的动能不变保持系统的动能不变 :

25、:eTT 2 .2 .2121 aeIxm 由由2487,43mlIlxa 可得可得mme277 为了提高计算精度为了提高计算精度, ,有时需要考虑弹性元件的质量有时需要考虑弹性元件的质量, ,如如图中除考虑质体图中除考虑质体m m的质量外的质量外, ,还要考虑弹簧自身质量的影响还要考虑弹簧自身质量的影响. . 系统的动能为系统的动能为: :dylyxmxTl20.2 .2121 2 .2 .2 .)3(2132121xlmxlmx 它应等于等效质量它应等于等效质量m me e的动能的动能: :2 .2 .21)3(21xmxlme 所以得所以得: :3lmme 2) 2) 等效刚度等效刚度

26、弹簧并联弹簧并联st11 kF st22 kF 在平衡时有在平衡时有: :st2121)( kkFFmg 令令eqk等效弹簧刚度系数等效弹簧刚度系数steq kmg 21eqkkk eqst/kmg 固有频率固有频率: :mkkmk21eq0 当两个弹簧并联时，其等效弹簧刚度系数等于两个当两个弹簧并联时，其等效弹簧刚度系数等于两个弹簧刚度系数的和。弹簧刚度系数的和。这个结论也可以推广到多个弹簧并联的情形。这个结论也可以推广到多个弹簧并联的情形。 弹簧串联弹簧串联1st1kmg 22stkmg 两个弹簧总的静伸长两个弹簧总的静伸长)11(212st1ststkkmg 若设串联弹簧系统的等效弹簧刚

27、度系数为若设串联弹簧系统的等效弹簧刚度系数为eqk, ,则有则有eqst/kmg 比较上面两式得比较上面两式得21eq111kkk 2121eqkkkkk 固有频率为固有频率为:)(2121eq0kkmkkmk 当两个弹簧串联时，其等效弹簧刚度系数的倒数等当两个弹簧串联时，其等效弹簧刚度系数的倒数等于两个弹簧刚度系数倒数的和。于两个弹簧刚度系数倒数的和。这一结论也可以推广到多个弹簧串联的情形这一结论也可以推广到多个弹簧串联的情形.求：等效刚度。求：等效刚度。 如图所示并联弹簧如图所示并联弹簧- -杠杆系统中杠杆系统中, ,ABAB为刚性杆为刚性杆, ,在在C C点点又连接一弹簧又连接一弹簧-

28、-质量系统。质量系统。例例: :1k2km3kABCab1k2k1A1BCF1 2 3 首先分析系统在刚性杆首先分析系统在刚性杆C C点的等效刚度。点的等效刚度。 假定在杆假定在杆C C处有一作用力处有一作用力F,F,那么在杆上那么在杆上A A处与处与B B处的受处的受力为力为: :FbaaFFbabFA B, 作用力作用力F FA A与与F FB B引起弹簧引起弹簧k k1 1与与k k2 2的伸长量分别为的伸长量分别为: :2211)(,)(kbaaFkbabF 在在F F作用下作用下, ,杆上杆上C C处的位移量为处的位移量为: :)()()(122221213kbkabaFbaa 在在

29、C C处的等效刚度为处的等效刚度为: :122223,)(kbkabaFk 以以K K, ,作为作为C C点的等效刚度点的等效刚度, ,原系统简化成如图所示的力学模型原系统简化成如图所示的力学模型. . 则弹簧则弹簧K K, ,与与K K3 3串联串联, , 系统的等效刚度为系统的等效刚度为: :,3,3kkkkke 1km3k把把K K, ,代入代入: : 322312212321212223232kkbkkakkbakkkbakbkakbakbake 2-3 2-3 具有粘性阻尼的自由振动具有粘性阻尼的自由振动 1.1.阻尼阻尼粘性阻尼粘性阻尼当振动速度不大时，由于介质粘性引起的阻当振动速

30、度不大时，由于介质粘性引起的阻 力近似地与速度的一次方成正比。力近似地与速度的一次方成正比。以阻尼元件以阻尼元件c c表示。表示。一般的机械振动系统一般的机械振动系统弹性元件（弹性元件（k k）惯性元件（惯性元件（m m）阻尼元件（阻尼元件（c c） 无阻尼自由振动只是一种理想情况实际上系统振动不可无阻尼自由振动只是一种理想情况实际上系统振动不可避免地有阻尼存在，因而自由振动都是会衰减的，振幅将随时避免地有阻尼存在，因而自由振动都是会衰减的，振幅将随时间逐渐减小，直到最后停止振动，振动中的这些阻力称为间逐渐减小，直到最后停止振动，振动中的这些阻力称为阻阻尼尼其中：其中：c c粘性阻力系数粘性阻

31、力系数（简称为（简称为阻力系数阻力系数）2-2-. . 具有粘性阻尼的自由振动具有粘性阻尼的自由振动dFcv 2.2.振动微分方程振动微分方程如以平衡位置为坐标原点，如以平衡位置为坐标原点，在建立此系统的振动微分在建立此系统的振动微分方程时可以不再计入重力方程时可以不再计入重力的作用。的作用。在振动过程中作用在物块上的力有在振动过程中作用在物块上的力有（1 1）恢复力）恢复力eFkxFe（2 2）粘性阻尼力）粘性阻尼力dFtxccFxddd物块的运动微分方程为物块的运动微分方程为txckxtxmdddd22 令令mkn 2 mcn 2固有角（圆）频率固有角（圆）频率n 阻尼系数阻尼系数n0dd

32、2dd222 xtxntxn 有阻尼自由振动微分方程的标准形式有阻尼自由振动微分方程的标准形式该振动微分方程式是一个齐次二阶常系数线性微分方该振动微分方程式是一个齐次二阶常系数线性微分方程式，设其特解为程式，设其特解为stex 0222 nnss 方程式的两个根为方程式的两个根为)(21titintrreCeCex 通解为通解为把它的一阶，二阶导数代入把它的一阶，二阶导数代入ststesxsex2, , 0)2(22 stnenss 因，所以必有因，所以必有0 ste221ninsn 222ninsn 令令22nnr 2-2-. . 粘性阻尼对自由振动的影响粘性阻尼对自由振动的影响现引进一个量

33、纲为的量现引进一个量纲为的量 表示系统的阻尼状态表示系统的阻尼状态由上式可见，系统运动状态决定于根式的值由上式可见，系统运动状态决定于根式的值是实数（正实数，负实数，零）还是虚数，即决定于阻尼是实数（正实数，负实数，零）还是虚数，即决定于阻尼的大小的大小22nn nn 相对阻尼系数或阻尼比相对阻尼系数或阻尼比 以下对三种情况分别进行讨论以下对三种情况分别进行讨论1.1.小阻尼状态小阻尼状态时时或或当当1 nn此时，根式是虚数，称为弱阻尼（小阻尼）此时，根式是虚数，称为弱阻尼（小阻尼）状态状态22nn 此时特征方程有一对共轭复根为此时特征方程有一对共轭复根为rns i2, 1 其中其中A A和和

34、 r r为两个积分常数，由运动的初始条件确定。为两个积分常数，由运动的初始条件确定。称为有阻尼系统的固有圆频率称为有阻尼系统的固有圆频率或减幅振动圆频率或减幅振动圆频率titerrtir sincos )sincos(21tDtDexrrnt 22nnr 应用欧拉公式应用欧拉公式通过三角函数变换，可得通过三角函数变换，可得)sin(rrnttAex 2221DDA 21arctanDDr 设设t t=0=0，,0 xx 0可以看出，系统振动的振幅将随时间延续逐渐减小，可以看出，系统振动的振幅将随时间延续逐渐减小，即该系统为振幅逐渐减小的周期性往复运动，这种振动称即该系统为振幅逐渐减小的周期性往

35、复运动，这种振动称为为减幅阻尼振动减幅阻尼振动。是否为周期振动呢？是否为周期振动呢？)sincos(sin00rrrrnAvAx 联立求解得：联立求解得：00020020arctan)(nxvxnxvxArrr rTntAe rr 定义：质点从一个最大偏离位置到下一个最大偏离位置定义：质点从一个最大偏离位置到下一个最大偏离位置所需要的时间称为衰减振动的所需要的时间称为衰减振动的周期周期，记为，记为rT减幅振动的圆频率为减幅振动的圆频率为22nnr 减幅振动的频率为减幅振动的频率为2221nfnr 2222nTnrr 由此可见，由于阻尼的影响，使系统的固有频率减小，由此可见，由于阻尼的影响，使系

36、统的固有频率减小，振动周期增大，振动不再是简谐振动振动周期增大，振动不再是简谐振动令令mkcnn2 称为称为阻尼比阻尼比21 TTr21 ffr21 nr 2212)(12 nnnrnT设在某瞬时设在某瞬时t t，振动达到的最大偏离值为振动达到的最大偏离值为A A，)sin(rrnttAex 相当相当振幅振幅ntiAeA 经过一个周期经过一个周期 后后rT)(1rTtniAeA 在有阻尼的自由振动中，振幅的衰减程度可由相邻两振幅在有阻尼的自由振动中，振幅的衰减程度可由相邻两振幅比（减幅系数）表示：比（减幅系数）表示：rrnTTtnntiiaeAeAeAA )(1 为衰减系数为衰减系数为减幅系数

37、为减幅系数 na; 对数减缩，对数减缩，反映阻尼的参数。反映阻尼的参数。越大表示阻尼越大，振幅衰减也越快为运算方便越大表示阻尼越大，振幅衰减也越快为运算方便，常用对数衰减系数，常用对数衰减系数 代替减幅系数代替减幅系数 a an 212lnlnln21 rnTiianTeAAr从上式看出，通过实测法测出系统振动的周期从上式看出，通过实测法测出系统振动的周期r r及相邻及相邻振幅衰减程度，即可求出衰件系数振幅衰减程度，即可求出衰件系数n n为了得到较高的测试精为了得到较高的测试精度，用相距度，用相距j j个周期的两振幅之比计算对数衰减系数个周期的两振幅之比计算对数衰减系数11ln1 jrnAAj

38、T 11ln1 jrAAjTnmcn2 11ln2 jrAAjTmc因此，只要实测出系统的振动周期因此，只要实测出系统的振动周期r r及相距及相距j j个周期的两个周期的两振幅，便可求出系统的阻尼系数振幅，便可求出系统的阻尼系数c c. .大阻尼状态大阻尼状态时时或或当当1 nn此时，根式是实数，称为强阻尼（大阻尼）此时，根式是实数，称为强阻尼（大阻尼）状态状态22nn )(222221tntnntnnececAex 设设t t=0=0，,0 xx 0)(21),(21220002220001nnnnxvxcnnxvxc 代入，得代入，得)(21)(212222222222000tntnntn

39、tnntnnnneennxveexex 上式可用图表示：上式可用图表示：从该图可见，系统受到初始扰动（初始位移为从该图可见，系统受到初始扰动（初始位移为x0，初初始速度为始速度为v0）离开平衡位置后，不产生振动，而是蠕动地离开平衡位置后，不产生振动，而是蠕动地返回到平衡位置，是一种非周期性运动返回到平衡位置，是一种非周期性运动. .临界阻尼状态临界阻尼状态时时或或当当1 nn此时，微分方程式的特征方程有重根，即此时，微分方程式的特征方程有重根，即nss 21)(21tccexnt 故微分方程式的通解应为故微分方程式的通解应为设设t t=0=0，,0 xx 000201,nxvcxc 代入，得代

40、入，得)(000tnxvxexnt 可知，系统受到初始扰动后，尽管初始速度不同，但随着可知，系统受到初始扰动后，尽管初始速度不同，但随着时间延续，质体都蠕动地返回到平衡位置，和大阻尼状态一样，时间延续，质体都蠕动地返回到平衡位置，和大阻尼状态一样，系统的运动是非周期性运动，不产生振动系统的运动是非周期性运动，不产生振动这时的阻尼称为这时的阻尼称为临界阻尼临界阻尼：mkmmncnc222 已知一弹簧质量系统，质体的质量为已知一弹簧质量系统，质体的质量为kgkg，在粘性阻在粘性阻尼中振动频率为尼中振动频率为HZHZ，相隔个周期振幅衰减，试相隔个周期振幅衰减，试计算系统的阻尼系数及阻尼比计算系统的阻

41、尼系数及阻尼比例例: :解：解： 对数衰减系数为对数衰减系数为139. 0)5 . 01ln(51ln111 jAAj 由的衰减系数为由的衰减系数为rnT 1139. 0)10139. 0( ssfTnrr 阻尼系数为阻尼系数为msNmsNmnc/8 .27/)39. 1102(2 阻尼比为阻尼比为022. 010239. 12 rrfnn已知：如图为一弹性杆支持的圆盘，弹性杆扭转刚度系数为已知：如图为一弹性杆支持的圆盘，弹性杆扭转刚度系数为k kt t，圆盘对杆轴的转动惯量圆盘对杆轴的转动惯量J J，如圆盘外缘受到与转动速度成如圆盘外缘受到与转动速度成正比的切向阻力，而圆盘衰减扭振的周期为正

42、比的切向阻力，而圆盘衰减扭振的周期为 。dT求：圆盘所受阻力偶矩与转动角速度的关系求：圆盘所受阻力偶矩与转动角速度的关系例例: :解：解：设设M为阻力偶系数为阻力偶系数圆盘绕杆轴转动微分方程为圆盘绕杆轴转动微分方程为tJk t0kJJ222)2(22JJknTtnr 22242JJkTTtrr 求：系统的临界阻力系数和阻力系数各为多少。求：系统的临界阻力系数和阻力系数各为多少。已知：如图弹簧质量阻尼系统，其物体质量为已知：如图弹簧质量阻尼系统，其物体质量为0.05kg0.05kg，弹簧弹簧刚度系数刚度系数k k=2000N/m=2000N/m。使系统发生自由振动，测得其相邻两使系统发生自由振动

43、，测得其相邻两个振幅比个振幅比 。981001iiAA例例: :解：解：系统的临界阻力系数为系统的临界阻力系数为s/mN20N/m2000kg05. 0222cr mkmcn 阻力系数阻力系数s/mN0643. 0cr cc对数减缩为对数减缩为0202. 098100lnln1 iiAA 阻尼比为阻尼比为003215. 02 2-2- 无阻尼系统的受迫振动无阻尼系统的受迫振动 如前所述，具有粘性阻尼的系统，其自由振动会逐渐衰如前所述，具有粘性阻尼的系统，其自由振动会逐渐衰减但是，当系统受到外界动作用力持续周期地作用时，系统减但是，当系统受到外界动作用力持续周期地作用时，系统将产生等幅的振动，该

44、振动称为受迫振动将产生等幅的振动，该振动称为受迫振动这种振动是系统对外力的响应这种振动是系统对外力的响应 作用在系统上持续的激振，按它们随时间变化的规律，可作用在系统上持续的激振，按它们随时间变化的规律，可以归为三类：以归为三类：简谐激振，非简谐周期性激振和随时间变化的非简谐激振，非简谐周期性激振和随时间变化的非周期性任意激振周期性任意激振）简谐激振力是按正弦或余弦函数规律变化的力，如偏）简谐激振力是按正弦或余弦函数规律变化的力，如偏心质量引起的离心力，载荷不均或传动不均衡产生的冲击力心质量引起的离心力，载荷不均或传动不均衡产生的冲击力等等）非简谐周期激振力，如凸轮旋转产生的激振，单缸活）非简

45、谐周期激振力，如凸轮旋转产生的激振，单缸活塞连杆机构的激振力等塞连杆机构的激振力等）随时间变化的任意激振力，如爆破载荷的作用力，提）随时间变化的任意激振力，如爆破载荷的作用力，提升机紧急制动的冲击力等升机紧急制动的冲击力等系统持续激振的作用形式可以是力直接作用到系统上，也系统持续激振的作用形式可以是力直接作用到系统上，也可以是位移（如持续的支承运动，地基运动等），速度或加速可以是位移（如持续的支承运动，地基运动等），速度或加速度度外界激振所引起系统的振动形态称为对激振的外界激振所引起系统的振动形态称为对激振的响应响应系统系统的响应也可以是位移，速度或加速度，而一般以位移的形式表的响应也可以是位

46、移，速度或加速度，而一般以位移的形式表达达简谐激振力是一种典型的周期变化的激振力简谐激振力是一种典型的周期变化的激振力)sin(0 tFF其中：其中：F F0 0称为激振力的力幅，即激振力的最大值；称为激振力的力幅，即激振力的最大值；是激振力的角频率；是激振力的角频率；是激振力的初相角；是激振力的初相角；本节只讨论简谐激振力产生的受迫振动本节只讨论简谐激振力产生的受迫振动如图（如图（a a）所示，在简支粱的中点装有双轴惯性激振器忽所示，在简支粱的中点装有双轴惯性激振器忽略阻尼简化为如图（略阻尼简化为如图（b b）所示力学模型所示力学模型2l2ltF sin0)(atF sin0 x)(bkxt

47、F sin0)(c激振器的质量为激振器的质量为m m，刚度为刚度为k k激振器为两个以激振器为两个以 角速度反角速度反方向转动的偏心圆盘方向转动的偏心圆盘偏心质量产生的离心惯性力的水平分量偏心质量产生的离心惯性力的水平分量相互平衡，而垂直分量叠加为激振力作用在质量上，产生受迫相互平衡，而垂直分量叠加为激振力作用在质量上，产生受迫振动振动质量的受力情况如图（质量的受力情况如图（c c）所示忽略阻尼的影响时，振所示忽略阻尼的影响时，振动方程式表示为：动方程式表示为：tFkxmx sin0, , tFkxmx sin0, , tmFxmkx sin0, , mFqmkn02 ， 令令tqxtxn s

48、indd222 设特解有如下形式设特解有如下形式tBx sin 其中其中B B为待定常数为待定常数将特解代入方程将特解代入方程tqxtxn sindd222 tqtBtBn sinsinsin22 22 nqBtqtctcxnnn sinsincos2221 方程的通解可表达为：方程的通解可表达为：表现了受迫振动初始阶段运动的特征表现了受迫振动初始阶段运动的特征这一阶段受迫振动和自由振动同时存在于系统中这一阶段受迫振动和自由振动同时存在于系统中无阻尼受迫振动是由两个谐振动合成的。无阻尼受迫振动是由两个谐振动合成的。第一部分是频率为固有频率的自由振动第一部分是频率为固有频率的自由振动第二部分是频

49、率为激振力频率的振动第二部分是频率为激振力频率的振动受迫振动受迫振动)sin(1 tAxn)sin(222 tqxn2-2-.1 .1 受迫振动的稳态振动受迫振动的稳态振动在振动的初始阶段，自由振动和受迫振动同时存在由于在振动的初始阶段，自由振动和受迫振动同时存在由于系统中不可避免地存在着阻尼，因而自由振动逐渐衰减，经过系统中不可避免地存在着阻尼，因而自由振动逐渐衰减，经过若干个周期后，系统的受迫振动达到稳态若干个周期后，系统的受迫振动达到稳态tqtctcxnnn sinsincos2221 首先研究第三项：首先研究第三项：tqtqxnnn sin)(11sin2222 tBtkFn sins

50、in)(1120 20)(11nkFB 20)(11nkFB kFBs0 令令2211)(11zBBns nz 式中式中激振频率和固有频率之比，称为激振频率和固有频率之比，称为频率比频率比可以看出，稳态的受迫振动具有和可以看出，稳态的受迫振动具有和激振力相同的频率激振力相同的频率 振振幅中幅中B Bs s=F=F0 0/k/k相当于相当于激振力幅值激振力幅值静作用在弹簧上产生的静变静作用在弹簧上产生的静变形这说明受迫振动的振幅和激振力幅值形这说明受迫振动的振幅和激振力幅值成正比；而成正比；而B/BB/Bs s是受迫振动的振幅和静变形之比，称为是受迫振动的振幅和静变形之比，称为振幅比振幅比或或振

51、幅的放大因振幅的放大因子子振幅比仅仅取决于频率比振幅比仅仅取决于频率比z zB/BB/Bs s与与z z的关系如图，称为幅频响应曲线的关系如图，称为幅频响应曲线sBB1)(nz 从图中可以看出：从图中可以看出：这时振幅几乎与激振力幅值这时振幅几乎与激振力幅值静作用在弹簧上引静作用在弹簧上引起的静变形差不多，系统的静态特性是主要的起的静变形差不多，系统的静态特性是主要的22 nqBkFqbn020 （1 1）若）若z z很小很小)(n 时，振幅比时，振幅比ssBBBB ，即，即1当当接近接近 时，时，n 振幅振幅 将趋于无穷大。将趋于无穷大。（）当）当z z增加增加)( 增增大大 时，振幅比时，

52、振幅比sBB也相应地增加，也相应地增加，系统的振幅增大系统的振幅增大微分方程式的特解应具有下面的形式微分方程式的特解应具有下面的形式)cos(02 tbtx当当 时时n 没有意义没有意义22 nqBnqb 2/ 代入代入)sin(dd222 tqxtxn（）当）当z z)(n 时，振幅比时，振幅比sBB变成无穷大，变成无穷大，即受迫振动的振幅将达到无穷大，这种现象称为即受迫振动的振幅将达到无穷大，这种现象称为共振共振。其运动图线如图所示其运动图线如图所示它的幅值为它的幅值为tqBn 2 )cos(22 ttqxnn共振时受迫振动的运动规律为共振时受迫振动的运动规律为当当 时，系统共振。时，系统

53、共振。n 受迫振动的振幅受迫振动的振幅随时间随时间无限地增大。无限地增大。22 nqBB B为负值为负值B B取其绝对值，取其绝对值，而视受迫振动而视受迫振动 ，与激振力反向，与激振力反向2x)sin(22 tqxn随着激振力频率随着激振力频率增大，振幅增大，振幅B B 减小。减小。当当趋于趋于，振幅振幅B B 趋于零。趋于零。（）当）当 时时)(n 1z综上所述，无阻尼受迫振动的频率与激振力的频率相同，综上所述，无阻尼受迫振动的频率与激振力的频率相同，而振幅决定于激振力的幅值而振幅决定于激振力的幅值，频率，频率 及振动系统的固有特及振动系统的固有特性性 n n（即系统的质量即系统的质量m m

54、和弹簧的刚度和弹簧的刚度k k已知：如图长为已知：如图长为l l无重杠杆无重杠杆OAOA，其一端其一端O O 铰支，另一端铰支，另一端A A水水 平悬挂在刚度系数为平悬挂在刚度系数为k k的弹簧上，杆的中点装有一质的弹簧上，杆的中点装有一质 量为量为m m的小球，若在点的小球，若在点A A 加一激振力加一激振力 ， 其中激振力的频率其中激振力的频率 ， tFF sin0 n 21 n 为系统的固有频率为系统的固有频率忽略阻尼。忽略阻尼。求：系统的受迫振动规律。求：系统的受迫振动规律。 例例: :解：解：设任一瞬时刚杆的摆角为设任一瞬时刚杆的摆角为 系统的运动微分方程为系统的运动微分方程为tlF

55、kllm sin)2(022 令令mklmkln4)2(222 mlFlmlFq0204)2( tqn sin2 可得上述方程的特解，即受迫振动为可得上述方程的特解，即受迫振动为tqn sin22 将将 代入上式代入上式n 21 tklFtmkmlFtq sin34sin4434sin430020 求：当电机以匀速角速度求：当电机以匀速角速度旋转时，系统的受迫振动规律。旋转时，系统的受迫振动规律。已知：如图表示带有偏心块的电动机，固定在一根弹性梁上，已知：如图表示带有偏心块的电动机，固定在一根弹性梁上， 设电机的质量为设电机的质量为 ，偏心矩为偏心矩为e e，弹性梁的刚度系数为弹性梁的刚度系数

56、为k k。1m偏心块的质量为偏心块的质量为2m例例: :解：解：质点系动量定理的微分方程质点系动量定理的微分方程kxmtixi )(dd kxtextmtxmt )sin(dddddd21 质点系包括电机和偏心块。质点系包括电机和偏心块。以平衡位置为坐标原点，以平衡位置为坐标原点，电机轴心的坐标为电机轴心的坐标为x x。2212222)( mmkemqBn 上述振幅表达式表示的振幅频率曲线如图所示上述振幅表达式表示的振幅频率曲线如图所示令令220 emF 受迫振动振幅受迫振动振幅微分方程微分方程temkxxmm sin)(2221 21220mmemmFq tmmkemtqxn sin)(si

57、n22122222 Bn 求：测振仪中物块的运动微分方程及受迫振动规律。求：测振仪中物块的运动微分方程及受迫振动规律。已知：如图为一测振仪的简图，其中物块质量为已知：如图为一测振仪的简图，其中物块质量为m m， 弹簧刚度系数弹簧刚度系数k k，测振仪放在振动物体表面，测振仪放在振动物体表面， 将随物体而运动。设被测物体的振动规律为将随物体而运动。设被测物体的振动规律为tessin例例: :解：解：测振仪随被测物而振动，则其弹簧悬挂点的运动规律是测振仪随被测物而振动，则其弹簧悬挂点的运动规律是tes sin 取取t t=0=0时物块的平衡位置为坐标原点时物块的平衡位置为坐标原点O O取取x x

58、轴如图轴如图sx st 物块绝对运动的微分方程为物块绝对运动的微分方程为tkekxxm sin 物块的受迫振动形式为物块的受迫振动形式为tBx sin 此时激振力的力幅为此时激振力的力幅为H=H=keke为物块绝对运动的振幅为物块绝对运动的振幅由于测振仪壳体也在运动，其振幅为由于测振仪壳体也在运动，其振幅为e e。记录纸上画出的振幅为物块相对于测振仪的振幅记录纸上画出的振幅为物块相对于测振仪的振幅eBa 2022022)(1)( emkeqBn当当 时时 n0 B有有ea 记录纸上画出的振幅也就接近于被测物体的振幅。记录纸上画出的振幅也就接近于被测物体的振幅。2-2-.2 .2 受迫振动的过渡

59、过程受迫振动的过渡过程受迫振动的初始阶段，自由振动和受迫振动同时存在于系受迫振动的初始阶段，自由振动和受迫振动同时存在于系统之中，这一阶段称为受迫振动的瞬态振动统之中，这一阶段称为受迫振动的瞬态振动tqtctcxnnn sinsincos2221 式中式中c1, c2是由初始条件确定的常数是由初始条件确定的常数当当t t=0=0，,0 xx 0220201)(, nnnqvcxc)sin(sinsincos2200ttqtvtxxnnnnnn )sin(sin)sin(220ttqtAnnnn 上式表明，受迫振动初始阶段的响应由三部分组成第一项上式表明，受迫振动初始阶段的响应由三部分组成第一项

60、是由初始条件产生的自由振动；第二项是由简谐激振力产生的受是由初始条件产生的自由振动；第二项是由简谐激振力产生的受迫振动；第三项是不论初始条件如何都伴随受迫振动而产生的自迫振动；第三项是不论初始条件如何都伴随受迫振动而产生的自由振动，称为伴生自由振动由振动，称为伴生自由振动因此，受迫振动初始阶段的响应是很复杂的因此，受迫振动初始阶段的响应是很复杂的)sin(sin)sin(220ttqtAxnnnn 取特殊情况：取特殊情况：当当t t=0=0，00 vx)sin(sin22ttqxnnn 在有阻尼的情况下，其伴生自由振动在一段时间内也逐渐衰在有阻尼的情况下，其伴生自由振动在一段时间内也逐渐衰减，

61、系统的振动逐渐变成稳态振动存在自由振动的这一阶段称减，系统的振动逐渐变成稳态振动存在自由振动的这一阶段称为受迫振动的过渡过程为受迫振动的过渡过程当当 n时的过渡过程：时的过渡过程：虚线代表等幅受迫振动，实线代表伴生自由振动和稳态虚线代表等幅受迫振动，实线代表伴生自由振动和稳态受迫振动的叠加受迫振动的叠加虚线代表伴生自由振动，实线代表伴生自由振动和稳态虚线代表伴生自由振动，实线代表伴生自由振动和稳态受迫振动的叠加受迫振动的叠加2-2-. . 拍振现象拍振现象当激振频率当激振频率 与固有频率与固有频率 n很接近时，振动的振幅周期性很接近时，振动的振幅周期性增长又周期性减小，这种现象称为拍振现象增长

62、又周期性减小，这种现象称为拍振现象)sin(sin22ttqxnnn 令令 n 并代入：并代入：)sin(sin2)sin(sin222ttttqxnnnnnn cos)2sin(2)2cos(sin)()(22ttttqnnnnn 当当 很小时，可以略去括号中最后一项很小时，可以略去括号中最后一项当当 n 时，（时，（ n ） n ，则，则：ttqxnn cossin2 最大振幅是，最小振幅是最大振幅是，最小振幅是当当 趋近趋近 n时，时， 趋近于零，拍的振幅和周期都将逐渐趋近于零，拍的振幅和周期都将逐渐变成无限大，这就是共振现象变成无限大，这就是共振现象nq222nq 除了一种自由振动和一

63、种受迫振动叠加形成拍振以外，除了一种自由振动和一种受迫振动叠加形成拍振以外，两种自由振动或两种受迫振动，只要振动频率很接近，都可两种自由振动或两种受迫振动，只要振动频率很接近，都可能产生拍振现象能产生拍振现象选平衡位置选平衡位置O O为坐标原点，坐标轴铅直向下为坐标原点，坐标轴铅直向下线性恢复力线性恢复力eFkxFe粘性阻尼力粘性阻尼力dFtxccFddd简谐激振力简谐激振力FtFF sin0 质点运动微分方程质点运动微分方程tFtxckxtxm sindddd022 令令,2mkn ,2mcn mFq0 tqxtxntxn sindd2dd222 有阻尼受迫振动微分方程的标准形式有阻尼受迫振

64、动微分方程的标准形式2-2- 具有粘性阻尼系统的受迫振动具有粘性阻尼系统的受迫振动 2-5.1 2-5.1 简谐激振响应简谐激振响应其解由两部分组成其解由两部分组成)()(21txtxx 在欠阻尼在欠阻尼 的状态下有的状态下有)(0)sin(2 tBxtqxtxntxn sindd2dd222 其中其中 表示受迫振动的位移落后于激振力的相位角表示受迫振动的位移落后于激振力的相位角)sin()(1rrnttAetx 22nnr 这是一个衰减振动，只在开始振动后某一较短时间内有意这是一个衰减振动，只在开始振动后某一较短时间内有意义，随着时间的增加，它将衰减下去当仅研究受迫振动中持义，随着时间的增加

65、，它将衰减下去当仅研究受迫振动中持续的等幅振动时，可以略去续的等幅振动时，可以略去)(1tx表示阻尼系统的受迫振动，称为系统的稳态解表示阻尼系统的受迫振动，称为系统的稳态解)(2tx)cos(sin)sin(cos)sin(sin tqtqtqtq0)cos(sin2)sin(cos)(22 tqnBtqBn对任意瞬时对任意瞬时t t，上式都必须是恒等式上式都必须是恒等式tqtBtBtBn sin)sin()cos(2)sin(22 0cos)(22 qBn0sin2 qnB将上述两方程联立可解出将上述两方程联立可解出222224)( nqBn 222tan nn于是得方程的通解为于是得方程的

66、通解为其中其中A A和和 r r为积分常数，由运动的初始条件确定。为积分常数，由运动的初始条件确定。)sin()sin(22 tBtnAexrnnt受简谐振动力作用的受迫振动仍然是谐振动。受简谐振动力作用的受迫振动仍然是谐振动。有阻尼受迫振动包括两部分有阻尼受迫振动包括两部分衰减振动衰减振动过渡过程过渡过程受迫振动受迫振动稳态过程稳态过程振动频率激振力的频率振动频率激振力的频率)sin()sin(22 tBtnAexrnnt2-5.2 2-5.2 影响振幅的主要因素影响振幅的主要因素横轴表示频率比横轴表示频率比nz 纵轴表示振幅比纵轴表示振幅比sBB 影响振幅的因素：激振力的力幅影响振幅的因素：激振力的力幅、频率、频率、m m、k k和和c c。222224)( nqBn nncc cr阻尼比阻尼比幅频响应曲线幅频响应曲线nz （1 1）当）当 时时n 当作无阻尼受迫振动处理。当作无阻尼受迫振动处理。（2 2）当）当时时)1(zn即 阻尼增大，振幅下降。阻尼增大，振幅下降。222212 nnn振幅振幅具有最大值具有最大值maxB这时的频率称为这时的频率称为共振频率。共振频率。22max