高考理科数学通用版练酷专题二轮复习教学案：第四板块 拓视野巧迁移 Word版含解析

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1、 高考数学精品复习资料 2019.5 第一讲第一讲 创新应用问题创新应用问题 一、实际应用问题一、实际应用问题 1 应用性问题叙述中往往含有文字语言、符号语言、图表语言，要明确题中已知量与应用性问题叙述中往往含有文字语言、符号语言、图表语言，要明确题中已知量与未知量的数学关系，要理解生疏的情境、名词、概念，将实际问题数学化未知量的数学关系，要理解生疏的情境、名词、概念，将实际问题数学化. 2 建立数学模型后，运用恰当的数学方法解模建立数学模型后，运用恰当的数学方法解模 如借助不等式、导数等工具加以解决如借助不等式、导数等工具加以解决 . 典例典例 (1)一个边长为一个边长为 6 的正方形铁片，

2、 铁片的四角分别截去边长为的正方形铁片， 铁片的四角分别截去边长为 x 的小正方形， 然的小正方形， 然后做成一个无盖方盒，当无盖方盒的容积最大时，后做成一个无盖方盒，当无盖方盒的容积最大时，x 的值应为的值应为( ) A6 B3 C1 D.16 解析解析 无盖方盒的底面边长为无盖方盒的底面边长为 62x，高为，高为 x，其容积，其容积 V(x)(62x)2x4x324x236x(0 x3)，则，则 V(x)12x248x3612(x1)(x3)， 当当 x(0,1)时时，V(x)0，函数，函数 V(x)单调递增；当单调递增；当 x(1,3)时，时，V(x)0，函数，函数 V(x)单调递减单调

3、递减 故当故当 x1 时，无盖方盒的容积最大时，无盖方盒的容积最大 答案答案 C (2)(20 xx 四川高考四川高考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司全年投某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司全年投入研发资金入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全，则该公司全年投入的研发资金开始超过年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是万元的年份是( ) (参考数据：参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30) A B C D2021 年年

4、 解析解析 设后的设后的第第 n 年该公司投入的研发资金开始超过年该公司投入的研发资金开始超过 200 万元由万元由 130(112%)n200，得，得 1.12n2013，两边取常用对数，得，两边取常用对数，得 nlg 2lg 1.3lg 1.120.300.110.05195，n4，从从开始，该公司投入的研发资金开始超过开始，该公司投入的研发资金开始超过 200 万元万元 答案答案 B 反思领悟反思领悟 解答应用性问题要先审清题意，然后将文字语言转化为数学符号语言，最解答应用性问题要先审清题意，然后将文字语言转化为数学符号语言，最后建立恰当的数学模型求解其中，函数、数列、不等式、概率统计是

5、较为常见的模型后建立恰当的数学模型求解其中，函数、数列、不等式、概率统计是较为常见的模型 创新预测创新预测 为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人的交通违规行为进行处罚教育为了更加为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人的交通违规行为进行处罚教育为了更加详细地研究处罚金额对闯红灯人数的作用，在某一个路口进行了五天试验，得到当天的处详细地研究处罚金额对闯红灯人数的作用，在某一个路口进行了五天试验，得到当天的处 罚金额与闯红灯人数的统计数据如下表：罚金额与闯红灯人数的统计数据如下表： 当天处罚金额当天处罚金额 x(单位：元单位：元) 0 5 10 15 20 当天闯红灯人数当天闯红灯人数 y 80

6、50 40 20 10 (1)根据以上数据，建立当天闯红灯人数根据以上数据，建立当天闯红灯人数 y 关于当天处罚金额关于当天处罚金额 x 的回归直线方程；的回归直线方程； (2)根据统计数据，上述路口每天经过的行人约为根据统计数据，上述路口每天经过的行人约为 320 人，每人闯红灯的可能性相同，人，每人闯红灯的可能性相同，且相互独立，在处罚金额为且相互独立，在处罚金额为 0 元的情况下，记甲元的情况下，记甲、乙、丙三人中闯红灯的人数为、乙、丙三人中闯红灯的人数为 X，求，求 X的分布列和数学期望的分布列和数学期望 参考公式：参考公式：bi1nxiyin x yi1nx2in x2，a y bx

7、 . 解：解：(1)由题意得由题意得 x 15(05101520)10， y 15(8050402010)40， i15xiyi0805501040152020101 150， i15x2i025100225400750， 所以所以bi15xiyi5 x yi15x2i5 x21 1505104075051023.4， a y bx 403.41074， 所以当天闯红灯人数所以当天闯红灯人数 y 关于当天处罚金额关于当天处罚金额 x 的回归直线方程为的回归直线方程为y3.4x74. (2)上述路口每天经过的行人约为上述路口每天经过的行人约为 320 人，在处罚金额为人，在处罚金额为 0 元的情

8、况下，闯红灯的人数元的情况下，闯红灯的人数为为 80，故每人闯红灯的概率为，故每人闯红灯的概率为14. 易知易知 X 的所有可能取值为的所有可能取值为 0,1,2,3， 其中其中 P(X0)C03 11432764， P(X1)C1314 11422764， P(X2)C23 142 114964， P(X3)C33 143164， 所以所以 X 的分布列为：的分布列为： X 0 1 2 3 P 2764 2764 964 164 故故 E(X)027641276429643164486434. 二、创新性问题二、创新性问题 1 以新概念、新定义给出的信息迁移型创新题，运用以新概念、新定义给出

9、的信息迁移型创新题，运用“老知识老知识”解决新问题是关键解决新问题是关键. 2 以新运算给出的发散型创新题，检验运算能力、数据处理能力以新运算给出的发散型创新题，检验运算能力、数据处理能力. 3 以命题的推广给出的类比、归纳型创新题，要注意观察特征、寻找规律，充分运用以命题的推广给出的类比、归纳型创新题，要注意观察特征、寻找规律，充分运用特殊与一般的辩证关系进行求解特殊与一般的辩证关系进行求解. 典例典例 设设 D 是函数是函数 yf(x)定义域内的一个区间，若存在定义域内的一个区间，若存在 x0D，使得，使得 f(x0)x0，则，则称称 x0是是 f(x)的一个的一个“次不动点次不动点”，

10、也称， 也称 f(x)在区间在区间 D 上存在上存在“次不动点次不动点” 若函数若函数 f(x)ax23xa52在区间在区间1,4上存在上存在“次不动点次不动点”，则实数，则实数 a 的取值范围是的取值范围是( ) A(，0 B. 0，12 C. ，12 D. 12， 解析解析 由题意，方程由题意，方程 ax23xa52x 在区间在区间1,4上有解，显然上有解，显然 x1，所以方程，所以方程ax23xa52x 在区间在区间(1,4上有解，即求函数上有解，即求函数 a2x52x21在区间在区间(1,4上的值域，上的值域， 令令 t4x5，则，则 t(1,11，a8tt210t9，当，当 t(1,

11、0时，时，a0； 当当 t(0,11时，时，0a8t9t1082t9t1012，当且仅当，当且仅当 t3 时取等号时取等号 综上，实数综上，实数 a 的取值范围是的取值范围是 ，12. 答案答案 C 反思领悟反思领悟 高中数学创新试题呈现的形式是多样化的， 但是考查的知识和能力并没有高中数学创新试题呈现的形式是多样化的， 但是考查的知识和能力并没有太大的变化，解决创新性问题应注意三点：认真审题，确定目标；深刻理解题意；开阔思太大的变化，解决创新性问题应注意三点：认真审题，确定目标；深刻理解题意；开阔思 路，发散思维，运用观察、比较、类比、猜想等进行合理推理，以便为逻辑思维定向方路，发散思维，运

12、用观察、比较、类比、猜想等进行合理推理，以便为逻辑思维定向方向确定后，又需借助逻辑思维，进行严格推理向确定后，又需借助逻辑思维，进行严格推理论证，这两种推理的灵活运用，两种思维成论证，这两种推理的灵活运用，两种思维成分的交织融合，便是处理这类问题的基本思想方法和解题策略分的交织融合，便是处理这类问题的基本思想方法和解题策略 创新预测创新预测 1定义：如果一个列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常，那么这定义：如果一个列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常，那么这个列叫作等差列，这个常叫作等差列的公差已知向量列个列叫作等差列，这个常叫作等差列的公差已知向量列an是以是以

13、a1(1,3)为首项，公差为为首项，公差为d(1,0)的等差向量列，若向量的等差向量列，若向量 an与非零向量与非零向量 bn(xn，xn1)(nN*)垂直，则垂直，则x10 x1_. 解析：解析：易知易知 an(1,3)(n1,0)(n,3)，因为向量，因为向量 an与非零向量与非零向量 bn(xn，xn1)(nN*)垂直，所以垂直，所以xn1xnn3，所以，所以x10 x1x2x1x3x2x4x3x5x4x6x5x7x6x8x7x9x8x10 x9 13 23 33 43 53 63 73 83 934 480243. 答案：答案：4 480243 2(20 xx 青岛一模青岛一模)如果对

14、定义在如果对定义在 R 上的函数上的函数 f(x)，对任意两个不相等的实数，对任意两个不相等的实数 x1，x2，都有都有 x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1)，则称函数，则称函数 f(x)为为“H 函数函数” 给出下列函数：给出下列函数：yx2；yex1；y2xsin x；f(x) ln|x|，x0，0，x0.以上函以上函数是数是“H 函数函数”的所有序号为的所有序号为_ 解析：解析：由不等式由不等式 x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1)， 得得 x1f(x1)f(x2)x2f(x2)f(x1)0， 即即(x1x2)f(x1)f(x2)0. 所以函数所以

15、函数 f(x)为定义域为定义域 R 上的单调增函数上的单调增函数 yx2在在(，0上单调递减，在上单调递减，在0，)上单调递增，不合题意；上单调递增，不合题意； 因为因为 yex1，所以，所以 yex0，故该函数在，故该函数在 R 上为单调增函数，满足题意；上为单调增函数，满足题意； 因为因为 y2xsin x，所以，所以 y2cos x0，故该函数在，故该函数在 R 上为单调增函数，满足题上为单调增函数，满足题意；意； 显然，函数显然，函数 f(x)为偶函数，而偶函数在为偶函数，而偶函数在 y 轴两侧的单调性相反，故不合题意轴两侧的单调性相反，故不合题意 综上，综上，为为“H 函数函数” 答

16、案：答案： 3.如图，在平面斜坐标系如图，在平面斜坐标系 xOy 中，中，xOy，平面上任意一点，平面上任意一点 P关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若OP xe1ye2(其中其中 e1，e2分别分别是是 x 轴，轴，y 轴正方向上的单位向量轴正方向上的单位向量)，则点，则点 P 的斜坐标为的斜坐标为(x，y)，向量，向量 OP 的斜坐标为的斜坐标为(x，y)给出以下结论：给出以下结论： 若若 60 ，P(2，1)，则，则| OP | 3； 若若 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则，则 OP OQ (x1x2，y1y2)； 若若 OP (x1，y1)，OQ (x

17、2，y2)，则，则 OP OQ x1x2y1y2； 若若 60 ，以，以 O 为圆心、为圆心、1 为半径的圆的斜坐标方程为为半径的圆的斜坐标方程为 x2y2xy10. 其中所有正确结论的序号是其中所有正确结论的序号是_ 解析：解析： 对于对于， OP 是两邻边长分别为是两邻边长分别为 2,1， 且一内角为， 且一内角为 60 的平行四边形较短的对角线，的平行四边形较短的对角线，解三角形可知解三角形可知|OP | 3，故，故正确；对于正确；对于，若，若 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则，则 OP OQ (x1x2，y1y2)，故，故正确；对于正确；对于，OP (x1，y1)，OQ (x2，

18、y2)，所以，所以 OP OQ (x1e1y1e2) (x2e1y2e2)，因为，因为 e1 e20，所以，所以 OP OQ x1x2y1y2，故，故错误；对于错误；对于，设圆，设圆 O上任意一点为上任意一点为 P(x，y)，因为，因为|OP|1，所以，所以(xe1ye2)21，所以，所以 x2y2xy10，故，故正正确故填确故填. 答案：答案： 三、数学文化问题三、数学文化问题 高考中数学文化问题，往往以古代数学名著如九章算术 数书九章 算数书等高考中数学文化问题，往往以古代数学名著如九章算术 数书九章 算数书等为背景，考查高中数学中的三角函数、数列、立体几何、算法等知识，体现数学的科学价为

19、背景，考查高中数学中的三角函数、数列、立体几何、算法等知识，体现数学的科学价值和人文价值值和人文价值. 1三角函数中的数学文化三角函数中的数学文化 典例典例 第第 24 届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大的如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形如果小正方形的面积为正方形如果小正方形的面积为 1，大正方形，大正方形的面积为的面积为 25，直角三角形中，直角三角形中较大的锐角为较大的锐角为 ，那么，那么 tan 4_.

20、思路分析思路分析 本题先根据题意确定大、小正方形的边长，再由直角三角形中锐角的三角本题先根据题意确定大、小正方形的边长，再由直角三角形中锐角的三角函数值确定角函数值确定角 满足的条件，由此依据相关的三角函数公式进行计算即可满足的条件，由此依据相关的三角函数公式进行计算即可 解析解析 依题意得大、小正方形的边长分别是依题意得大、小正方形的边长分别是 1,5， 于是有于是有 5sin 5cos 1 02， 即有即有 sin cos 15. 从而从而(sin cos )22(sin cos )24925， 则则 sin cos 75， 因此因此 sin 45，cos 35，tan 43， 故故 ta

21、n 4tan 11tan 7. 答案答案 7 相关链接相关链接 1 700 多年前，赵爽多年前，赵爽绘制了极富创意的弦图，采用绘制了极富创意的弦图，采用“出入相补出入相补”原理使得勾原理使得勾股定理的证明不证自明该题取材于第股定理的证明不证自明该题取材于第 24 届国际数学家大会会标，题干大气，设问自然，届国际数学家大会会标，题干大气，设问自然，流露出丰富的文化内涵既巧妙地考查了三角函数的相关知识，又丰富了弦图的内涵，如流露出丰富的文化内涵既巧妙地考查了三角函数的相关知识，又丰富了弦图的内涵，如正方形四边相等寓言各国及来宾地位平等，小正方形和三角形紧紧簇拥在一起，表明各国正方形四边相等寓言各国

22、及来宾地位平等，小正方形和三角形紧紧簇拥在一起，表明各国数学家要密切合作交流等等数学家要密切合作交流等等 创新预测创新预测 欧拉公式欧拉公式 eixcos xisin x 是由瑞士著名数学家欧拉发明的， 它将指数函数的定义域扩是由瑞士著名数学家欧拉发明的， 它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为位，被誉为“数数学中的天桥学中的天桥”根据欧拉公式，复数根据欧拉公式，复数 ei4 e3i4 (1i)2的虚部是的虚部是( ) A1 B1 C2 D2 解

23、析：解析：选选 D 依题意得，依题意得，ei4 e3i4 (1i)2 cos4isin4 cos34isin342i12i，其虚部是，其虚部是 2. 2数列中的数学文化数列中的数学文化 典例典例 (20 xx 全国卷全国卷)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座意思是：一座 7 层塔共挂层塔共挂了了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层

24、共有灯倍，则塔的顶层共有灯( ) A1 盏盏 B3 盏盏 C5 盏盏 D9 盏盏 思路分析思路分析 此问题实质是等比数列问题，相当于已知此问题实质是等比数列问题，相当于已知 S7，求求 a1. 解析解析 每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为an，则前，则前 7 项的和项的和 S7381，公比公比 q2，依题意，得，依题意，得 S7a1 127 12381，解得，解得 a13. 答案答案 B 相关链接相关链接 我国古代数学强调我国古代数学强调“经世济用经世济用” ，注重算理算法，其中很多问题可转化为，注重算理算法，其中很多问题可转化为等差等差(或等

25、比或等比)数列问题，因此，各级各类考试试卷中涉及等差数列问题，因此，各级各类考试试卷中涉及等差(或等比或等比)数列的数学文化题也数列的数学文化题也 频繁出现解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，运用等差、等比频繁出现解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，运用等差、等比数列的概念、通项公式和前数列的概念、通项公式和前 n 项和公式求解项和公式求解 创新预测创新预测 中国古中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算

26、相还为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思其意思为：有一个人走为：有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了半，走了 6 天后到达目的地，请问第二天走了天后到达目的地，请问第二天走了( ) A192 里里 B96 里里 C48 里里 D24 里里 解析：解析：选选 B 依题意，每天走的路程成公比为依题意，每天走的路程成公比为12等比数列，设等比数列等比数列，设等比数列an的首项为的首项为 a1，公比为公比为 q12，依题意有，依题意有a1 112611

27、2378，解得，解得 a1192，则，则 a21921296，即第二天走了，即第二天走了96 里里 3立体几何中的数学文化立体几何中的数学文化 典例典例 (1)“牟合方盖牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体它由完全相同的四个曲面构的过程中构造的一个和谐优美的几何体它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合牟合)在一在一起的方形伞起的方形伞(方盖方盖)其直观图如图所示，当其正视图和侧视图完全相同其直观图如图所示，当其正视图和侧视图

28、完全相同时，它的正视图和俯视图分别是时，它的正视图和俯视图分别是( ) Aa，b Ba，c Cc，b Db，d 思路分析思路分析 观察题目所给直观图，理解题干中有关观察题目所给直观图，理解题干中有关“牟合方盖牟合方盖”的特征叙述，结合的特征叙述，结合“当当其正视图和侧视图完全相同时其正视图和侧视图完全相同时”这个关键条件作答这个关键条件作答 解析解析 当正视图和侧视图完全相同时，当正视图和侧视图完全相同时，“牟合方盖牟合方盖”相对的两个曲面正对前方，正视图相对的两个曲面正对前方，正视图为一个圆，俯视图为一为一个圆，俯视图为一个正方形，且两条对角线为实线，故选个正方形，且两条对角线为实线，故选

29、A. 答案答案 A 相关链接相关链接 “牟合方盖牟合方盖”是我国古代利用立体几何模型和数学思想方法解决数学问题是我国古代利用立体几何模型和数学思想方法解决数学问题的代表之一本题取材于的代表之一本题取材于“牟合方盖牟合方盖”，通过加工改造，添加解释和提供直观图的方式降低，通过加工改造，添加解释和提供直观图的方式降低 了理解题意的难度解题从识了理解题意的难度解题从识“图图”到想到想“图图”再到构再到构“图图”，考生要经历分析、判断的逻辑过，考生要经历分析、判断的逻辑过程程 (2)我国南北朝时期数学家、天文学家我国南北朝时期数学家、天文学家祖暅，提出了著名的祖暅原理祖暅，提出了著名的祖暅原理“幂势既

30、同，幂势既同，则积不容异则积不容异”“幂幂”是截面积，是截面积，“势势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等已知某不规则等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等已知某不规则几何体与如图所对应的几何几何体与如图所对应的几何体满足体满足“幂势同幂势同”，则该不规则几何体的体积为，则该不规则几何体的体积为( ) A42 B843 C8 D82 思路分析思路分析 根据题设所给的三视图， 可知其所对应几何体是从一个正方体中挖去一个根据题设所给的三视图， 可知其所对应几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱，再根据祖半圆柱

31、，再根据祖暅暅原理原理和有关数据计算即可和有关数据计算即可 解析解析 由祖由祖暅暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图的几何体体积相等根原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图的几何体体积相等根据题设所给的三视图，可知图中的几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱，正方体的体据题设所给的三视图，可知图中的几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱，正方体的体积为积为 238，半圆柱的体积为，半圆柱的体积为12(12) 2，因此该不规则几何体的体积为，因此该不规则几何体的体积为 8. 答案答案 C 相关链接相关链接 祖祖暅暅原理是我国古代数学家祖原理是我国古代数学家祖暅暅提出的一个有关几何求积的著

32、名定理， 祖提出的一个有关几何求积的著名定理， 祖暅暅提出这个原理，要比其他国家的数学家早一千多年人民教育出版社数学必修提出这个原理，要比其他国家的数学家早一千多年人民教育出版社数学必修 2(A版版)第第 30 页页“探究与发现探究与发现”中专门介绍了祖中专门介绍了祖暅暅原理 本原理 本题取材于祖题取材于祖暅暅原理， 考查几何体的三视原理， 考查几何体的三视图和体积计算，既检测了考生的基础知识和基本技能，又展示了中华民族的优秀传统文化图和体积计算，既检测了考生的基础知识和基本技能，又展示了中华民族的优秀传统文化 创新预测创新预测 (20 xx 武汉模拟武汉模拟)中国古代数学名著九章算术中记载了

33、公元前中国古代数学名著九章算术中记载了公元前 344 年商鞅监制的一年商鞅监制的一种标准量器种标准量器商鞅铜方升， 其三视图如图所示商鞅铜方升， 其三视图如图所示(单位： 寸单位： 寸)， 若， 若 取取 3， 其体积为， 其体积为 12.6(单位：单位：立方寸立方寸)，则图中的，则图中的 x 为为( ) A1.2 B1.6 C1.8 D2.4 解析：解析：选选 B 该几何体是一个组合体，左边是一个底面半径为该几何体是一个组合体，左边是一个底面半径为12的圆柱，右边是一个长、的圆柱，右边是一个长、宽、高分别为宽、高分别为 5.4x,3，1 的长方体，的长方体，组合体的体积组合体的体积 VV圆柱

34、圆柱V长方体长方体 122x(5.4x)3112.6(其中其中 3)，解得，解得 x1.6. 4算法中的数学文化算法中的数学文化 典例典例 (1)秦九韶是我国南宋时期的秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州数学家，普州(现四川省安岳县现四川省安岳县)人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法 如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项是比较先进的算法 如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例若输入式值的一个实例若输入 n，x 的值分别为的值分别为 3,2，则输出，则输出 v 的值为

35、的值为( ) A9 B18 C20 D35 思路分析思路分析 读懂程序框图，按程序框图依次执行即可读懂程序框图，按程序框图依次执行即可 解析解析 由程序框图知，由程序框图知， 初始值初始值：n3，x2，v1，i2， 第一次循环第一次循环：v4，i1； 第二次循环第二次循环：v9，i0； 第三次循环第三次循环：v18，i1. 结束循环，输出当前结束循环，输出当前 v 的的值值 18.故选故选 B. 答案答案 B 相关链接相关链接 九章算术系统总结了我国古代人民的优秀数学思想，开创了构造算法九章算术系统总结了我国古代人民的优秀数学思想，开创了构造算法以解决各类问题的东方数学发展的光辉道路，这与当今

36、计算机科学的飞速发展对数学提出以解决各类问题的东方数学发展的光辉道路，这与当今计算机科学的飞速发展对数学提出的要求不谋而合的要求不谋而合 (2)(20 xx 安徽二校联考安徽二校联考)如图所示的程序框图的算法思想源于数学名如图所示的程序框图的算法思想源于数学名著几何原本中的著几何原本中的“辗转相除法辗转相除法”，执行该程序框图，执行该程序框图(图中图中“m MOD n”表示表示m除以除以n的余数的余数)， 若输入的， 若输入的m， n分别为分别为495,135， 则输出的， 则输出的m( ) A0 B5 C45 D90 解析解析 该程序框图是求该程序框图是求 495 与与 135 的最大公约数

37、， 由的最大公约数， 由 495135390,13590145,90452，所以，所以 495 与与 135 的最大公约数是的最大公约数是 45，所以输出的，所以输出的 m45. 答案答案 C 创新预测创新预测 公元公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术割圆术”，利用，利用“割圆术割圆术”刘徽得到了圆周率精确刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的，这就是著名的“徽率徽

38、率”如图是利用刘徽的如图是利用刘徽的“割圆术割圆术”思思想设计的一个程想设计的一个程 序框图，则输出序框图，则输出 n 的值为的值为_(参考数据：参考数据：sin 15 0.258 8，sin 7.5 0.130 5) 解析：解析：n6，S126sin 60 3 322.598 13.1，不满足条件，进入循环；，不满足条件，进入循环；n12，S1212sin 30 33.1， 不满足条件， 继续循环；， 不满足条件， 继续循环； n24， S1224sin 15 120.258 83.105 63.1，满足条件，退出循环，输出，满足条件，退出循环，输出 n 的值为的值为 24. 答案：答案：2

39、4 1(20 xx 大连二模大连二模)定义运算：定义运算：xy x，xy0，y，xy0，例如：例如：343，(2)44，则函数则函数 f(x)x2(2xx2)的最大值为的最大值为( ) A0 B1 C2 D4 解析：解析： 选选 D 由题意可得由题意可得 f(x)x2(2xx2) x2，0 x2，2xx2，x2或或x0，当当 0 x2 时，时，f(x)0,4；当；当 x2 或或 x0 时，时，f(x)(，0)综上可得函数综上可得函数 f(x)的最大值为的最大值为 4. 2朱载堉朱载堉(15361611)，是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天，是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他

40、的文历算家，他的 著作律学新说中制成了最早的著作律学新说中制成了最早的“十二平均律十二平均律”十二平均律是目前世界上通用的把一十二平均律是目前世界上通用的把一组音组音(八度八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二十二等程律等程律”即一个八度即一个八度 13 个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的个音的频率的 2 倍设第三个音的频率为倍设第三个音的频率为 f1，第七个音的频率为，第七个音的频率为 f2.则则f2f

41、1( ) A.32 B.1116 C4122 D.82 解析：解析： 选选 A 设设 13 个音的频率所成的等比数列个音的频率所成的等比数列an的公比为的公比为 q， 则依题意， 有， 则依题意， 有 a13a1 q122a1，所以，所以 q2112，所以，所以f2f1a7a3q421332. 3(20 xx 宜昌三模宜昌三模)已知甲、乙两车间的月产值在已知甲、乙两车间的月产值在 1 月份相同，甲车间以后每个月比前月份相同，甲车间以后每个月比前一个月增加相同的产值，乙车间以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同到一个月增加相同的产值，乙车间以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同到 7 月份月

42、份发现两车间的月产值又相同，比较甲、乙两个车间发现两车间的月产值又相同，比较甲、乙两个车间 4 月份月产值的大小，则月份月产值的大小，则( ) A甲车间大于乙车间甲车间大于乙车间 B甲车间等于乙车间甲车间等于乙车间 C甲车间小于乙车间甲车间小于乙车间 D不确定不确定 解析：解析：选选 A 设甲车间以后每个月比前一个月增加相同的产值设甲车间以后每个月比前一个月增加相同的产值 a，乙车间每个月比前一，乙车间每个月比前一个月增加产值的百分比为个月增加产值的百分比为 x，甲、乙两车间的月产值在，甲、乙两车间的月产值在 1 月份均为月份均为 m，则由题意得，则由题意得 m6am(1x)6. 4 月份甲车

43、间的月产值为月份甲车间的月产值为 m3a,4 月份乙车间的月产值为月份乙车间的月产值为 m(1x)3， 由由知，知，(1x)616am，即，即 4 月份乙车间的月产值为月份乙车间的月产值为 m16am m26ma，(m3a)2(m26ma)9a20，m3a m26ma，即，即 4 月份甲车间的月产值大于乙车间月份甲车间的月产值大于乙车间的月产值的月产值 4.如图， 某广场要规划一矩形区域如图， 某广场要规划一矩形区域 ABCD， 并在该区域内设计出， 并在该区域内设计出三块形状、大小完全相同的小矩形绿化区，这三块绿化区四周均设三块形状、大小完全相同的小矩形绿化区，这三块绿化区四周均设置有置有

44、1 m 宽的走道，已知三块绿化区的总面积为宽的走道，已知三块绿化区的总面积为 200 m2，则该矩形，则该矩形区域区域 ABCD 占地面积的最小值为占地面积的最小值为( ) A248 m2 B288 m2 C328 m2 D368 m2 解析：解析：选选 B 设绿化区域小矩形的宽为设绿化区域小矩形的宽为 x，长为，长为 y， 则则 3xy200，y2003x， 故矩形区故矩形区域域 ABCD 的面积的面积 S(3x4)(y2)(3x4) 2003x2 2086x8003x2082 1 600288， 当且仅当当且仅当 6x8003x，即，即 x203时取时取“”， 矩形区域矩形区域 ABCD

45、的面积的最小值为的面积的最小值为 288 m2. 5已知函数已知函数 yf(x)(xR)，对函数，对函数 yg(x)(xR)，定义，定义 g(x)关于关于 f(x)的的“对称函数对称函数”为函数为函数 yh(x)(xR)，yh(x)满足：对任意的满足：对任意的 xR，两个点，两个点(x，h(x)，(x，g(x)关于点关于点(x，f(x)对称若对称若 h(x)是是 g(x) 4x2关于关于 f(x)3xb 的的“对称函数对称函数”，且，且 h(x)g(x)恒成立，恒成立，则实数则实数 b 的取值范围是的取值范围是_ 解析：解析： 根据根据“对称函数对称函数”的定义可知，的定义可知，h x 4x2

46、23xb，即即 h(x)6x2b 4x2，h(x)g(x)恒成立，等价于恒成立，等价于 6x2b4x2 4x2，即，即 3xb 4x2恒成立，设恒成立，设 F(x)3xb，m(x) 4x2，作出两个函数对应的图象如图所示，当直线和上，作出两个函数对应的图象如图所示，当直线和上半圆相切时，圆心到直线的距离半圆相切时，圆心到直线的距离 d|b| 1 232|b|102，即，即|b|2 10，b2 10或或 b2 10(舍去舍去)，即要使，即要使 h(x)g(x)恒成立，则恒成立，则 b2 10，即实数，即实数 b的取值范围是的取值范围是(2 10，) 答案：答案：(2 10，) 6三国魏人刘徽，自

47、撰海岛算经 ，专论测高望远其中有一题：今有望海岛，立三国魏人刘徽，自撰海岛算经 ，专论测高望远其中有一题：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直从前表却行一百二十三步，人目著两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合问地取望岛峰，与表末参合从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合问岛高及去表各几何？译文如下： 要测量海岛上一座山峰岛高及去表各几何？译文如下： 要测量海岛上一座山峰 A 的高度的高度 AH， 立两根高均为， 立两根高均为 3 丈的丈的标杆标

48、杆 BC 和和 DE， 前后标杆相距， 前后标杆相距 1 000 步， 使后标杆杆脚步， 使后标杆杆脚 D 与前标杆杆脚与前标杆杆脚 B 与山峰脚与山峰脚 H 在同在同一直线上，从前标杆杆脚一直线上，从前标杆杆脚 B 退行退行 123 步到步到 F，人眼著地观测到岛峰，人眼著地观测到岛峰，A，C，F 三点共线，三点共线，从后标杆杆脚从后标杆杆脚 D 退行退行 127 步到步到 G，人眼著地观测到岛峰，人眼著地观测到岛峰，A，E，G 三点也共线，问岛峰的三点也共线，问岛峰的高度高度 AH_步步(古制：古制：1 步步6 尺，尺，1 里里180 丈丈1 800 尺尺300 步步) 解析：解析：如图所

49、示，由题意知如图所示，由题意知 BCDE5 步，步，BF123 步，步，DG127 步，设步，设 AHh 步，因为步，因为 BCAH，所以，所以BCFHAF，所，所以以BCAHBFHF， 所以， 所以5h123HF， 即， 即 HF123h5.因为因为 DEAH， 所以， 所以GDEGHA，所以，所以DEAHDGHG，所以，所以5h127HG，即，即 HG127h5，由题意，由题意(HG127)(HF123)1 000，即，即127h5123h541 000，h1 255，即，即 AH1 255 步步 答案：答案：1 255 7对于定义在区间对于定义在区间 D 上的函数上的函数 f(x)，若存

50、在闭区间，若存在闭区间a，bD 和常数和常数 c，使得对任意，使得对任意x1a，b，都有，都有 f(x1)c，且对任意，且对任意 x2D，当，当 x2 a，b时，时，f(x2)c 恒成立，则称函数恒成立，则称函数 f(x)为区间为区间 D 上的上的“平顶型平顶型”函数给出下列结论：函数给出下列结论： “平顶型平顶型”函数在定义域内有最大值；函数在定义域内有最大值； 函数函数 f(x)x|x2|为为 R 上的上的“平顶型平顶型”函数；函数； 函数函数 f(x)sin x|sin x|为为 R 上的上的“平顶型平顶型”函数；函数； 当当 t34时，函数时，函数 f(x) 2，x1，log12 xt

51、 ，x1是区间是区间0，)上的上的“平顶型平顶型”函数函数 其中正确的结论是其中正确的结论是_(填填序号序号) 解析：解析：由于由于“平顶型平顶型”函数在区间函数在区间 D 上对任意上对任意 x1a，b，都有，都有 f(x1)c，且对任意，且对任意 x2D，当，当 x2 a，b时，时，f(x2)c 恒成立，所以恒成立，所以“平顶型平顶型”函数在定义域内有最大值函数在定义域内有最大值 c，正正确；对于函数确；对于函数 f(x)x|x2|，当，当 x2 时，时，f(x)2，当，当 x2 时，时，f(x)2x22，所以，所以正确；函数正确；函数 f(x)sin x|sin x|是周期为是周期为 2

52、的函数，所以的函数，所以不正确；对于函数不正确；对于函数 f(x) 2，x1，log12 xt ，x1 t34，当，当 x1 时，时，f(x)2，当，当 x1 时，时，f(x)2，所以，所以正确正确 答案：答案： 8(高三高三 兰州八校联考兰州八校联考)某公司为了变废为宝，节约资源，新研发了一个从生活垃圾中某公司为了变废为宝，节约资源，新研发了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目，经测算，该项目月处理成本提炼生物柴油的项目，经测算，该项目月处理成本 y(单位：元单位：元)与月处理量与月处理量 x(单位：吨单位：吨)之间之间近似满足函数关系近似满足函数关系 y 13x380 x25 040 x，x

53、120，144 ，12x2200 x80 000，x144，500，且每处理一吨生活垃圾，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油的价值为可得到能利用的生物柴油的价值为 200 元，若该项目不获利，政府将给予补贴元，若该项目不获利，政府将给予补贴 (1)当当 x200,300时，判断该项目能否获利如果能获利，求出最大利润；如果不能获时，判断该项目能否获利如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则政府每个月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损利，则政府每个月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损 (2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨生活垃圾的平均处理成本最低？该项目每月处理量为多少吨时

54、，才能使每吨生活垃圾的平均处理成本最低？ 解：解： (1)当当 x200,300时， 设该项目所获利润为时， 设该项目所获利润为 S， 则， 则 S200 x 12x2200 x80 000 12(x400)2， 所以当所以当 x200,300时，时，S0，因此该项目不能获利，因此该项目不能获利 当当 x300 时，时，S 取得最大值取得最大值5 000， 所以政府每个月至少需要补贴所以政府每个月至少需要补贴 5 000 元才能使该项目不亏损元才能使该项目不亏损 (2)由题意可知，每吨生活垃圾的平均处理成本为由题意可知，每吨生活垃圾的平均处理成本为 f(x)yx 13x280 x5 040，x

55、120，144 ，12x80 000 x200，x144，500， 当当 x120,144)时，时，f(x)13x280 x5 04013(x120)2240，所以当，所以当 x120 时，时，f(x)取得最小值取得最小值 240； 当当 x144,500时，时，f(x)12x80 000 x200212x80 000 x200200，当且仅当，当且仅当12x80 000 x，即，即 x400 时，时，f(x)取得最小值取得最小值 200，因为，因为 200240，所以当每月处理量为，所以当每月处理量为 400 吨吨时，才能使每吨生活垃圾的平均处理成本最低时，才能使每吨生活垃圾的平均处理成本最

56、低 9为了维持市场持续发展，壮大集团力量，某集团在充分调查市场后决定从甲、乙两为了维持市场持续发展，壮大集团力量，某集团在充分调查市场后决定从甲、乙两种产品中选择一种进行投资生产，打入国际市场已知投资生产这两种产品的有关数据如种产品中选择一种进行投资生产，打入国际市场已知投资生产这两种产品的有关数据如下表下表(单位：万美元单位：万美元)： 年固定成本年固定成本 每件产品的成本每件产品的成本 每件产品的销售价每件产品的销售价 每年可最多生产的件数每年可最多生产的件数 甲产品甲产品 20 a 10 200 乙产品乙产品 40 8 18 120 其中年固定成本与年生产的件数无关，其中年固定成本与年生

57、产的件数无关，a 为常数，且为常数，且 6a8.另外，当年销售另外，当年销售 x 件乙产件乙产品时品时需上交需上交 0.05x2万美元的特别关税，假设所生产的产品均可售出万美元的特别关税，假设所生产的产品均可售出 (1)写出该集团分别投资生产甲、乙两种产品的年利润写出该集团分别投资生产甲、乙两种产品的年利润 y1，y2与生产相应产品的件数与生产相应产品的件数 x(xN*)之间的函数关系式；之间的函数关系式； (2)分别求出投资生产这两种产品的最大年利润；分别求出投资生产这两种产品的最大年利润； (3)如何决定投资可使年利润最大如何决定投资可使年利润最大 解：解：(1)y1(10a)x20(1x

58、200，xN*)， y20.05x210 x40(1x120，xN*) (2)10a0，故，故 y1为增函数，为增函数， 当当 x200 时，时，y1取得最大值取得最大值 1 980200a，即投资生产甲产品的最大，即投资生产甲产品的最大年利润为年利润为(1 980200a)万美元万美元 y20.05(x100)2460(1x120，xN*)， 当当 x100 时，时，y2取得最大值取得最大值 460，即投资生产乙产品的最大年利润为，即投资生产乙产品的最大年利润为 460 万美元万美元 (3)为研究生产哪种产品年利润最大，我们采用作差法比较：为研究生产哪种产品年利润最大，我们采用作差法比较：

59、由由(2)知生产甲产品的最大年利润为知生产甲产品的最大年利润为(1 980200a)万美元，生产乙产品的最大年利润为万美元，生产乙产品的最大年利润为460 万美元，万美元， (1 980200a)4601 520200a，且，且 6a8， 当当 1 520200a0，即，即 6a7.6 时，投资生产甲产品时，投资生产甲产品 200 件可获得件可获得最大年利润；最大年利润； 当当 1 520200a0，即，即 a7.6 时，生产甲产品与生产乙产品均可获得最大年利润；时，生产甲产品与生产乙产品均可获得最大年利润； 当当 1 520200a0，即，即 7.6a8 时，投资生产乙产品时，投资生产乙产品

60、 100 件可获得最大年利润件可获得最大年利润 10某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩根据测试成绩(单位： 分单位： 分)评定评定“合格合格”“”“不合格不合格”两个等级， 同时对相应等级进行量化：两个等级， 同时对相应等级进行量化： “合合格格”记记 5 分，分，“不合格不合格”记记 0 分现随机抽取部分学生的答卷，统计结果如下表，对应的分现随机抽取部分学生的答卷，统计结果如下表，对应的频率分布直方图如图所示频率分布直方图如图所示. 等级等级 不合格不合格 合格合格 成绩成绩

61、 20,40) 40,60) 60,80) 80,100 频数频数 6 a 24 b (1)求求 a，b，c 的值；的值； (2)用分层抽样的方法， 从评定等级为用分层抽样的方法， 从评定等级为“合格合格”和和“不合格不合格”的学生中选取的学生中选取 10 人进行座人进行座谈，现从这谈，现从这 10 人中任选人中任选 4 人，记所选人，记所选 4 人的量化总分为人的量化总分为 ，求，求 的分布列及数学期望的分布列及数学期望 E()； (3)某评估机构以指标某评估机构以指标 MME D ，其中，其中 D()表示表示 的方差来评估该校安全教育活动的的方差来评估该校安全教育活动的成效若成效若 M0.

62、7，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案在案在(2)的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？ 解：解：(1)由频率分布直方图，可知成绩在由频率分布直方图，可知成绩在20,40)内的频率为内的频率为 0.005200.1， 故抽取的学生答卷数为故抽取的学生答卷数为60.160， 由频率分布直方图可知，得分在由频率分布直方图可知，得分在80,100内的频率为内的频率为 0.01200.2， 所以所以 b600.212. 又又 6a241260， 所以所以 a18，

63、所以，所以 c1860200.015. (2)“不合格不合格”与与“合格合格”的人数之比为的人数之比为 243623， 因此抽取的因此抽取的 10 人中人中“不合格不合格”的学生有的学生有 4 人，人，“合格合格”的学生有的学生有 6 人，人， 所以所以 的所有可能取值为的所有可能取值为 20,15,10,5,0. 所以所以 P(20)C46C410114，P(15)C36C14C410821， P(10)C26C24C41037，P(5)C16C34C410435， P(0)C44C4101210. 所以所以 的分布列为：的分布列为： 20 15 10 5 0 P 114 821 37 43

64、5 1210 E()2011415821103754350121012. (3)由由(2)可得可得 D()(2012)2114(1512)2821(1012)237(512)2435(012)2121016， 所以所以 ME D 12160.750.7， 故我们认为该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案故我们认为该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案 第二讲第二讲 临界知识问题临界知识问题 一、定义新知型临界问题一、定义新知型临界问题 从形式上跳出已学知识的旧框框，在试卷中临时定义一种新知识，要求学生快速处理，从形式上跳出已学知识的旧框框，在试卷中临时定义一种新知识，要

65、求学生快速处理，及时掌握，并正确运用，充分考查学生独立分析问题与解决问题的能力及时掌握，并正确运用，充分考查学生独立分析问题与解决问题的能力.多与函数、平面向多与函数、平面向量、数列联系考查量、数列联系考查. 典例典例 (1)定义平面向量之间的一种运算定义平面向量之间的一种运算“”如下， 对任意的如下， 对任意的 a(m， n)，b(p， q)，令令 abmqnp，下面说法错，下面说法错误的是误的是( ) A若若 a 与与 b 共线，则共线，则 ab0 Babba C对任意的对任意的 R，有，有(a)b(ab) D(ab)2(a b)2|a|2|b|2 解析解析 根据题意可知若根据题意可知若

66、a，b 共线，可得共线，可得 mqnp，所以，所以 abmqnp0，所以，所以 A正确；因为正确；因为 abmqnp，而，而 banpmq，故二者不一定相等，所以，故二者不一定相等，所以 B 错误；对任意错误；对任意的的 R，(a)bmqnp(mqnp)(ab)，所以，所以 C 正确；正确；(ab)2(a b)2m2q2 n2p22mnpqm2p2n2q22mnpq(m2n2)(p2q2)|a|2|b|2，所以，所以 D 正确故选正确故选 B . 答案答案 B 点评点评 本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力以及分析问题、解决问题的能力 (2)若数列若数列an满足：对任意的满足：对任意的 nN*，只有有限个正整数，只有有限个正整数 m 使得使得 amn 成立，记这样成立，记这样的的 m 的个数为的个数为(an)*，则得到一个新数列，则得到一个新数列(an)*例如，若数列例如，若数列an是是 1,2，3，n，则数，则数列列(an)*是是 0,1,2， ， n1，