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1、高考数学精品复习资料 2019.5专题二十四 平面向量的概念及其线性运算【高频考点解读】1.了解向量的实际背景2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义3.理解向量的几何表示4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义6.了解向量线性运算的性质及其几何意义【热点题型】题型一 向量的有关概念例1、设a0为单位向量，若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0.上述命题中，假命题的个数是()A0B1C2D3 【提分秘籍】 1向量与有向线段 向量常用有向线段表示，它们是两个不
2、同概念，有向线段由起点、终点方向唯一确定，而向量是由大小和方向来确定的2零向量和单位向量是两个特殊的向量它们的模确定，但方向不确定，在解题时注意它们的特殊性如若ab、bc则ac是假命题，因为当b为零向量时，b与c为任意向量，两者不一定平行3共线向量也叫平行向量，两向量所在的直线可以共线也可以平行4相等向量一定是平行向量【举一反三】下列说法中正确的是()A只有方向相同或相反的向量是平行向量B零向量的长度为零C长度相等的两个向量是相等向量D共线向量是在一条直线上的向量 【热点题型】题型二 向量的线性运算例2、D是ABC的边BA上的中点，则向量等于()A BC. D.【提分秘籍】1两个向量的和仍是一
3、个向量2利用三角形法则进行加法运算时，两向量要首尾相连，和向量由第一个向量的起点指向第二个向量的终点(可结合物理中位移的合成来认识)；利用平行四边形法则进行加法运算时，两向量要有相同的起点(可结合物理中力的合成来认识)3当两个向量共线时，三角形法则仍适用，而平行四边形法则不适用4利用三角形法则进行减法运算时，两个向量要有相同的起点，然后连接两向量的终点，并指向被减向量即为差向量5实数和向量可以求积，但不能求和或求差60或a0a0.【举一反三】在ABCD中，Aa，Ab，A3N，M为BC的中点，则M_.(用a，b表示)【热点题型】题型三 共线向量定理例3、设两个非零向量a与b不共线(1)若ab，2
4、a8b，3(ab)求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线【提分秘籍】 1一般地，解决向量a，b共线问题，可用两个不共线向量(如e1，e2)表示向量a，b，设ba(a0)，化成关于e1，e2的方程()e1()e20，由于e1，e2不共线，则，解方程组即可2注意充要条件中a0，否则可能不存在，也可能有无数个3向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用4证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线【举一反三】设a，b是两个
5、非零向量，则下列选项正确的是()A若|ab|a|b|，则ab B若ab，则|ab|a|b|C若|ab|a|b|，则a，b共线D若a，b平行，则|ab|a|b| 【热点题型】题型四 向量为背景的新定义问题 例4、设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若(R)，(R)，且2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下面说法正确的是()AC可能是线段AB的中点BD可能是线段AB的中点CC，D可能同时在线段AB上DC，D不可能同时在线段AB的延长线上【提分秘籍】 向量具有几何和代数的双重特征，因此它具有很强的延伸性，在各种考题中常常会出现以向量为背
6、景的新定义问题此类问题一般结合向量知识给出一些新定义、新信息，然后让考生利用这些新定义、新信息以及所学的知识来解题本题以共线向量为背景，结合不等式，通过创新情境，考查化归与转化思想，在整个解题过程中所给的定义是解题的重要依据和方法【举一反三】对任意两个非零的平面向量和，定义.若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角，且ab和ba都在集合中，则ab()A.B.C1 D.【高考风向标】 1（20xx·福建卷）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于()A. B2 C3 D42（20xx·江西卷）已知单位向量e1，e2的夹角为，且c
7、os .若向量a3e12e2，则|a|_3（20xx·辽宁卷）设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b0，b·c0，则0；命题q：若ab，bc，则ac.则下列命题中真命题是()Apq BpqC(綈p)(綈q) Dp(綈q)4（20xx·全国新课标卷 设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则()A. B.C. D.5（20xx·四川卷）平面向量a(1，2)， b(4，2)，cmab(mR)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m_6（20xx·江苏卷）设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若12
8、(1，2为实数)，则12的值为_7（20xx·四川卷）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos(AB)cos Bsin(AB)sin(AC).(1)求sin A的值；(2)若a4 ，b5，求向量在方向上的投影8（20xx·四川卷）如图16，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，则_. 图16【答案】2【解析】根据向量运算法则，2，故2.9（20xx·重庆卷）在OA为边，OB为对角线的矩形中，(3，1)，(2，k)，则实数k_【随堂巩固】 1.如图所示，已知2，a，b，c，则下列等式中成立的是()AcbaBc2baCc2ab Dcab2在
9、ABC中，已知D是AB边上一点，若2，则()ABC.D.3.如图，正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的中点，那么()A.BCD. 4已知平面内有一点P及一个ABC，若，则()A点P在ABC外部 B点P在线段AB上C点P在线段BC上 D点P在线段AC上5已知a，b，c，d，且四边形ABCD为平行四边形，则()Aabcd0 Babcd0Cabcd0 Dabcd0答案：A6在ABC中，N为边AC上一点，且，P是BN上一点，若m，则实数m的值为()A. B. C. D.7已知在ABC中，D是AB边上的一点，()，|2，|1，若b，a，则用a，b表示为()A.ab B.abC.ab D.ab8O
10、是锐角三角形ABC的外心，由O向边BC，CA，AB引垂线，垂足分别是D，E，F给出下列命题：0；0；|cos Acos Bcos C；R，使得.以上命题正确的个数是()A1 B2 C3 D49下列四个命题：若|a|0，则a为零向量；若|a|b|，则ab或ab；若ab，则|a|b|；若a0，则a0.其中正确个数有_个10设a，b是两个不共线的非零向量，若8akb与ka2b共线，则实数k_.11已知ABC和点M满足0.若存在实数m使得m成立，则m_.12已知P为ABC内一点，且3450.延长AP交BC于点D，若a，b，用a，b表示向量、.13.设点O在ABC内部，且有40，求ABC的面积与OBC的面积之比14已知a，b不共线，a，b，c，d，e，设tR，如果3ac,2bd，et(ab)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由15.如图所示，ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN2NC，AM与BN相交于点P，求APPM的值
高考文科数学题型秘籍【24】平面向量的概念及其线性运算解析版
