高考真题理科数学解析分类汇编10圆锥曲线

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1、高考数学精品复习资料 2019.520xx年高考真题理科数学解析分类汇编10 圆锥曲线一、选择题1.【20xx高考浙江理8】如图，F1,F2分别是双曲线C：（a,b0）的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交与点M，若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是A. B。 C. D. 【答案】B【解析】由题意知直线的方程为：，联立方程组得点Q，联立方程组得点P，所以PQ的中点坐标为，所以PQ的垂直平分线方程为：，令，得，所以，所以，即，所以。故选B2.【20xx高考新课标理8】等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点

2、，；则的实轴长为（ ） 【答案】C【解析】设等轴双曲线方程为，抛物线的准线为，由,则,把坐标代入双曲线方程得，所以双曲线方程为，即，所以，所以实轴长，选C.3.【20xx高考新课标理4】设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（ ） 【答案】C【解析】因为是底角为的等腰三角形，则有,，因为，所以,，所以，即，所以，即，所以椭圆的离心率为，选C.4.【20xx高考四川理8】已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点。若点到该抛物线焦点的距离为，则（ ）A、 B、 C、 D、 【答案】B【解析】设抛物线方程为，则点焦点，点到该抛物线焦点的距离为， ， 解得，

3、所以.点评本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，d为点M到准线的距离).5.【20xx高考山东理10】已知椭圆的离心学率为.双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】因为椭圆的离心率为，所以，所以，即，双曲线的渐近线为，代入椭圆得，即，所以，则第一象限的交点坐标为，所以四边形的面积为，所以，所以椭圆方程为，选D.6.【20xx高考湖南理5】已知双曲线C ：-=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为A-=1 B.-=1 C.-=1 D

4、.-=1【答案】A【解析】设双曲线C ：-=1的半焦距为，则.又C 的渐近线为，点P （2,1）在C 的渐近线上，即.又，C的方程为-=1.【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型.7.【20xx高考福建理8】已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于A. B. C.3 D.5【答案】考点：双曲线的定义。难度：中。分析：本题考查的知识点为双曲线的定义，焦点，渐近线，抛物线的定义。【解析】由抛物线方程易知其焦点坐标为，又根据双曲线的几何性质可知，所以，从而可得渐进线方程为，即，所以

5、，故选8.【20xx高考安徽理9】过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，若，则的面积为（ ） 【答案】C【命题立意】本题考查等直线与抛物线相交问题的运算。【解析】设及；则点到准线的距离为，得： 又，的面积为。9.【20xx高考全国卷理3】 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为A +=1 B +=1C +=1 D +=1【答案】C【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数，从而得到椭圆的方程。【解析】椭圆的焦距为4，所以因为准线为，所以椭圆的焦点在轴上，且，所以，所以椭圆的方程为，选C.10.

6、【20xx高考全国卷理8】已知F1、F2为双曲线C：x-y=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cosF1PF2=(A) （B） (C) (D)【答案】C【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用，以及余弦定理的运用。首先运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。【解析】双曲线的方程为，所以，因为|PF1|=|2PF2|，所以点P在双曲线的右支上，则有|PF1|-|PF2|=2a=,所以解得|PF2|=，|PF1|=，所以根据余弦定理得,选C.11.【20xx高考北京理12】在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线=4x的焦点F.且与该撇物

7、线相交于A、B两点.其中点A在x轴上方。若直线l的倾斜角为60.则OAF的面积为 【答案】【解析】由可求得焦点坐标F(1,0)，因为倾斜角为，所以直线的斜率为，利用点斜式，直线方程为，将直线和曲线联立，因此二、填空题12.【20xx高考湖北理14】如图，双曲线的两顶点为，虚轴两端点为，两焦点为，. 若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为. 则（）双曲线的离心率 ；（）菱形的面积与矩形的面积的比值 .【答案】考点分析：本题考察双曲线中离心率及实轴虚轴的相关定义，以及一般平面几何图形的面积计算. 【解析】（）由于以为直径的圆内切于菱形，因此点到直线的距离为，又由于虚轴两端点为，因此的长为，那么在中，

8、由三角形的面积公式知，又由双曲线中存在关系联立可得出，根据解出（）设,很显然知道,因此.在中求得故；菱形的面积，再根据第一问中求得的值可以解出.13.【20xx高考四川理15】椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当的周长最大时，的面积是_。【答案】3【命题立意】本题主要考查椭圆的定义和简单几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、，考查推理论证能力、基本运算能力，以及数形结合思想，难度适中.【解析】当直线过右焦点时的周长最大，；将带入解得；所以.14.【20xx高考陕西理13】右图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.【答案】.【解析】设水面与桥的一个

9、交点为A，如图建立直角坐标系则，A的坐标为（2，-2）.设抛物线方程为，带入点A得，设水位下降1米后水面与桥的交点坐标为，则，所以水面宽度为.15.【20xx高考重庆理14】过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若则= . 【答案】【解析】抛物线的焦点坐标为，准线方程为，设A,B的坐标分别为的，则，设，则，所以有，解得或，所以.16.【20xx高考辽宁理15】已知P，Q为抛物线上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2，过P、Q分别作抛物线的切线，两切线交于A，则点A的纵坐标为_。【答案】4【解析】因为点P，Q的横坐标分别为4，2，代人抛物线方程得P，Q的纵坐标分别为8,2.由所以过点P，Q的抛物线的

10、切线的斜率分别为4，2，所以过点P，Q的抛物线的切线方程分别为联立方程组解得故点A的纵坐标为4【点评】本题主要考查利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求法，属于中档题。曲线在切点处的导数即为切线的斜率，从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起，这是写出切线方程的关键。17.【20xx高考江西理13】椭圆 的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1，F2。若，成等比数列，则此椭圆的离心率为_.【答案】【命题立意】本题考查椭圆的几何性质，等比数列的性质和运算以及椭圆的离心率。【解析】椭圆的顶点,焦点坐标为，所以，,又因为，成等比数列，所以有，即，所以，离心率为.18.【20xx高

11、考江苏8】（5分）在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则的值为 【答案】2。【考点】双曲线的性质。【解析】由得。 ，即，解得。三、解答题19.【20xx高考江苏19】（16分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点P（i）若，求直线的斜率；（ii）求证：是定值【答案】解：（1）由题设知，由点在椭圆上，得，。由点在椭圆上，得椭圆的方程为。（2）由（1）得，又， 设、的方程分别为，。 。 。 同理，。 （i）由得，。解得=2。 注意到，。 直线的斜率为。 （ii）证明

12、：，即。 。 由点在椭圆上知，。 同理。 由得， 。 是定值。20.【20xx高考浙江理21】(本小题满分15分)如图，椭圆C：(ab0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分()求椭圆C的方程；() 求ABP的面积取最大时直线l的方程【命题立意】本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。【解析】()由题：； (1)左焦点(c，0)到点P(2，1)的距离为： (2)由(1) (2)可解得：所求椭圆C的方程为：()易得直线OP的方程：yx，设A(xA，yA)，B(xB，yB

13、)，R(x0，y0)其中y0x0A，B在椭圆上，设直线AB的方程为l：y(m0)，代入椭圆：显然m且m0由上又有：m，|AB|点P(2，1)到直线l的距离表示为：SABPd|AB|m2|，当|m2|，即m3 或m0(舍去)时，(SABP)max此时直线l的方程y21.【20xx高考辽宁理20】(本小题满分12分) 如图，椭圆：，a，b为常数)，动圆，。点分别为的左，右顶点，与相交于A，B，C，D四点。 ()求直线与直线交点M的轨迹方程; ()设动圆与相交于四点，其中，。若矩形与矩形的面积相等，证明：为定值。【命题意图】本题主要考查圆的方程、椭圆方程、轨迹求法、解析几何中的定值问题，考查转化与化

14、归能力、运算求解能力，是难题.【解析】设，又知，则直线的方程为 直线的方程为 由得 由点在椭圆上，故可得，从而有，代入得 6分（2）证明：设，由矩形与矩形的面积相等，得，因为点均在椭圆上，所以由，知，所以。从而，因而为定值12分【点评】本题主要考查圆的性质、椭圆的定义、标准方程及其几何性质、直线方程求解、直线与椭圆的关系和交轨法在求解轨迹方程组的运用。本题考查综合性较强，运算量较大。在求解点的轨迹方程时，要注意首先写出直线和直线的方程，然后求解。属于中档题，难度适中。22.【20xx高考湖北理】（本小题满分13分）设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与 轴的交点，点在直线上，且

15、满足. 当点在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线（）求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标； （）过原点且斜率为的直线交曲线于，两点，其中在第一象限，它在轴上的射影为点，直线交曲线于另一点. 是否存在，使得对任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（）如图1，设，则由，可得，所以，. 因为点在单位圆上运动，所以. 将式代入式即得所求曲线的方程为. 因为，所以当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，两焦点坐标分别为，；当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，两焦点坐标分别为，. （）解法1：如图2、3，设，则，直线的方程为，将其代入椭圆的方程并整理可得.依题意可知此方程的两根为，于是

16、由韦达定理可得，即.因为点H在直线QN上，所以.于是，. 而等价于，即，又，得，故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有. 图2 图3 图1O D xyAM第21题解答图 解法2：如图2、3，设，则，因为，两点在椭圆上，所以 两式相减可得. 依题意，由点在第一象限可知，点也在第一象限，且，不重合，故. 于是由式可得. 又，三点共线，所以，即. 于是由式可得.而等价于，即，又，得，故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有. 23.【20xx高考北京理19】（本小题共14分）已知曲线.（1）若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；（2）设，曲线与轴的交点为，（点位于点的上方），直线与曲线交

17、于不同的两点，直线与直线交于点，求证：，三点共线.解：（1）原曲线方程可化简得：由题意可得：，解得：（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：，解得：由韦达定理得：，设，方程为：，则，欲证三点共线，只需证，共线即成立，化简得：将代入易知等式成立，则三点共线得证。24.【20xx高考广东理20】（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：的离心率e=，且椭圆C上的点到Q（0，2）的距离的最大值为3.（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点M（m,n）使得直线：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的OAB

18、的面积；若不存在，请说明理由【答案】本题是一道综合性的题目，考查直线、圆与圆锥曲线的问题，涉及到最值与探索性问题，意在考查学生的综合分析问题与运算求解的能力。【解析】（1）设 由，所以设是椭圆上任意一点，则，所以 当时，当时，有最大值，可得，所以 当时， 不合题意故椭圆的方程为： （2）中， 当且仅当时，有最大值， 时，点到直线的距离为 又，此时点。25.【20xx高考重庆理20】（本小题满分12分（）小问5分（）小问7分） 如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分别为，线段 的中点分别为，且 是面积为4的直角三角形.（）求该椭圆的离心率和标准方程；（）过 做直线交椭圆

19、于P，Q两点，使，求直线的方程【命题立意】本题考查椭圆的标准方程，平面向量数量积的基本运算，直线的一般式方程以及直线与圆锥曲线的综合问题.解：设所求椭圆的标准方程为，右焦点为。 因是直角三角形，又,故为直角，因此,得。结合得，故，所以离心率。 在中，故由题设条件，得，从而。因此所求椭圆的标准方程为：（2）由（1）知，由题意知直线的倾斜角不为0，故可设直线的方程为：，代入椭圆方程得， 设，则是上面方程的两根，因此,又，所以 由,得,即，解得，所以满足条件的直线有两条，其方程分别为：和。26.【20xx高考四川理21】(本小题满分12分) 如图，动点到两定点、构成，且，设动点的轨迹为。（）求轨迹的

20、方程；（）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围。【答案】本题主要考查轨迹方程的求法，圆锥曲线的定义等基础知识，考查基本运算能力，逻辑推理能力，考查方程与函数、数形结合、分类讨论、化归与转化等数学思想 解析（1）设M的坐标为（x,y），显然有x0,.当MBA=90时，点M的坐标为（2，, 3）当MBA90时；x2.由MBA=2MAB,有tanMBA=,即化简得：3x2-y2-3=0,而又经过（2，,3）综上可知，轨迹C的方程为3x2-y2-3=0（x1）5分(II)由方程消去y，可得。（*）由题意，方程（*）有两根且均在（1，+）内，设所以解得，m1,且m2设Q、R的坐标分别为，由

21、有所以由m1，且m2，有所以的取值范围是. 12分点评本小题主要考察直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识，考察思维能力、运算能力，考察函数、分类与整合等思想，并考察思维的严谨性。27.【20xx高考新课标理20】（本小题满分12分）设抛物线的焦点为，准线为，已知以为圆心，为半径的圆交于两点；（1）若，的面积为；求的值及圆的方程；（2）若三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到距离的比值.【答案】（1）由对称性知：是等腰直角，斜边 点到准线的距离 圆的方程为 （2）由对称性设，则 点关于点对称得： 得：，直线 切点 直线坐标原点到距离的比值为.28.【20xx高考福建理1

22、9】如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率.过F1的直线交椭圆于A、B两点，且ABF2的周长为8.（）求椭圆E的方程.（）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相较于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.解答：（）设 则 的周长为 椭圆的方程为（）由对称性可知设与 直线 （*） （*）对恒成立， 得29.【20xx高考上海理22】（4+6+6=16分）在平面直角坐标系中，已知双曲线：（1）过的左顶点引的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及轴围成的三角形的面积；（2）设

23、斜率为1的直线交于、两点，若与圆相切，求证：；（3）设椭圆：，若、分别是、上的动点，且，求证：到直线的距离是定值.解（1）双曲线，左顶点，渐近线方程：. 过点A与渐近线平行的直线方程为，即. 解方程组，得. 2分 所以所求三角形的面积1为. 4分 （2）设直线PQ的方程是.因直线与已知圆相切， 故，即. 6分 由，得. 设P(x1, y1)、Q(x2, y2)，则.（lb ylfx） 又2，所以 ，故OPOQ. 10分 （3）当直线ON垂直于x轴时， |ON|=1，|OM|=，则O到直线MN的距离为. 当直线ON不垂直于x轴时， 设直线ON的方程为（显然），则直线OM的方程为. 由，得，所以.

24、同理. 13分 设O到直线MN的距离为d，因为， 所以，即d=. 综上，O到直线MN的距离是定值. 16分【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系、椭圆的标准方程和圆的有关性质.特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为，它的渐近线为，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题 30.【20xx高考陕西理19】本小题满分12分）已知椭圆，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率。（1）求椭圆的方程；（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆和上，求直线的方程。 【解析】（）由已知可设椭圆的方程为，其离心

25、率为，故，则，故椭圆的方程为（）解法一 两点的坐标分别为，由及（）知，三点共线且点不在轴上，因此可设直线的方程为.将代入中，得，所以，将代入中，得，所以，又由，得，即，解得 ，故直线的方程为或解法二 两点的坐标分别为，由及（）知，三点共线且点不在轴上，因此可设直线的方程为.将代入中，得，所以，又由，得，将代入中，得，即，解得 ，故直线的方程为或31.【20xx高考山东理21】（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为.（）求抛物线的方程；（）是否存在点，使得直线与抛物线相切于点？若存在，求出点的坐标；

26、若不存在，说明理由；（）若点的横坐标为，直线与抛物线有两个不同的交点，与圆有两个不同的交点，求当时，的最小值.解：（）依题线段为圆的弦，由垂径定理知圆心的纵坐标，又到抛物线准线的距离为，所以. 所以为所求.（）假设存在点，又，设，.变形为因为直线为抛物线的切线，故，解得，即，.又取中点，由垂径定理知，所以，所以存在，.（）依题，圆心，圆的半径， 圆心到直线的距离为，所以，.又联立，设，则有，. 所以，.于是， 记，所以在，上单增，所以当，取得最小值，所以当时，取得最小值.32.【20xx高考江西理20】 （本题满分13分）已知三点O（0,0），A（-2,1），B（2,1），曲线C上任意一点M（

27、x，y）满足.（1） 求曲线C的方程；（2） 动点Q（x0，y0）（-2x02）在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为l向：是否存在定点P（0，t）（t0），使得l与PA，PB都不相交，交点分别为D,E，且QAB与PDE的面积之比是常数？若存在，求t的值。若不存在，说明理由。解：（1）依题意可得，由已知得，化简得曲线C的方程： （2）假设存在点P（0，t）（t0）满足条件，则直线PA的方程是，直线PB的方程是，曲线C在点Q处的切线l的方程为它与y轴的交点为，由于，因此当时， ，存在，使得，即l与直线PA平行，故当时不符合题意当时，所以l 与直线PA，PB一定相交，分别联立方程组，解得D，E的横坐标

28、分别是则，又，有，又于是对任意，要使QAB与PDE的面积之比是常数，只需t满足，解得t=-1，此时QAB与PDE的面积之比为2，故存在t=-1，使QAB与PDE的面积之比是常数2。【点评】本题以平面向量为载体，考查抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系以及分类讨论的数学思想. 高考中，解析几何解答题一般有三大方向的考查.一、考查椭圆的标准方程，离心率等基本性质，直线与椭圆的位置关系引申出的相关弦长问题，定点，定值，探讨性问题等；二、考查抛物线的标准方程，准线等基本性质，直线与抛物线的位置关系引申出的相关弦长问题，中点坐标公式，定点，定值，探讨性问题等；三、椭圆，双曲线，抛物线综合起来考查.一般椭圆与抛物线结合考查的可能性较大，因为它们都是考纲要求理解的内容.33.【20xx高考天津理19】（本小题满分14分）设椭圆的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点.（）若直线AP与BP的斜率之积为，求椭圆的离心率；（）若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k满足【答案】（1）取，；则（2）设；则线段的中点