高考数学22题坐标系与参数方程[8页]

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1、第41练坐标系与参数方程题型分析高考展望高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.体验高考1.(2016课标全国甲)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x6)2y225.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A、B两点，|AB|，求l的斜率.（可以利用直线参数t的几何意义求解，即取原点为特殊点得）解(1)由xcos ，ysin 可得圆C的

2、极坐标方程212cos 110.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为(R).设A，B所对应的极径分别为1，2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得212cos 110.于是1212cos ，1211.|AB|12|.由|AB|得cos2，tan .所以l的斜率为或.2.(2015江苏)已知圆C的极坐标方程为22sin40，求圆C的半径.解以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为2240，化简，得22sin 2cos 40.则圆C的直角坐标方程为x2y22x2y40，即(x1)2(y1)26，所以圆C的半径为.高考

3、必会题型题型一极坐标与直角坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(，)，则例1在极坐标系中，曲线C1：(cos sin )1与曲线C2：a(a0)的一个交点在极轴上，求a的值.解(cos sin )1，即cos sin 1对应的普通方程为xy10，a(a0)对应的普通方程为x2y2a2.在xy10中，令y0，得x.将代入x2y2a2得a.点评(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一.(2)在与曲线的方程进行互化时，一定要注

4、意变量的范围，要注意转化的等价性.变式训练1在以O为极点的极坐标系中，直线l与曲线C的极坐标方程分别是cos()3和sin28cos ，直线l与曲线C交于点A、B，求线段AB的长.解cos()cos cos sin sin cos sin 3，直线l对应的直角坐标方程为xy6.又sin28cos ，2sin28cos .曲线C对应的直角坐标方程是y28x.解方程组得或所以A(2，4)，B(18，12)，所以AB16.即线段AB的长为16.也可以直接两方程联立，利用公式。或取一个特殊点，利用直线参数方程的几何意义。题型二参数方程与普通方程的互化1.直线的参数方程过定点M(x0，y0)，倾斜角为的

5、直线l的参数方程为(t为参数).2.圆的参数方程圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(为参数，02).3.圆锥曲线的参数方程(1)椭圆1的参数方程为(为参数).(2)抛物线y22px(p0)的参数方程为(t为参数).例2(2015福建)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(t为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为sinm(mR).(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；(2)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值.解(1)消去参数t，得到圆C的普通方程为(x1)2(y2)29.由sinm

6、，得sin cos m0.所以直线l的直角坐标方程为xym0.(2)依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即2，解得m32.点评(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法.常见的消参方法有代入消参法，加减消参法，平方消参法等.(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若x、y有范围限制，要标出x、y的取值范围.变式训练2已知直线l的参数方程为(t为参数)，P是椭圆y21上的任意一点，求点P到直线l的距离的最大值.解由于直线l的参数方程为(t为参数)，故直线l的普通方程为x2y0.因为P为椭圆y21上的任意一点，故可设P(2cos ，

7、sin )，其中R.因此点P到直线l的距离是d.所以当k，kZ时，d取得最大值.题型三极坐标、参数方程的综合应用解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等.例3(2015课标全国)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t0)，其中0，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2sin ，曲线C3：2cos .(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值.解(1)曲线C2的直角坐标方程为x2y22y0，曲线C3的直角

8、坐标方程为x2y22x0.联立解得或所以C2与C3交点的直角坐标为(0，0)和.(2)曲线C1的极坐标方程为(R，0)，其中0.因此A的极坐标为(2sin ，)，B的极坐标为(2cos ，).所以|AB|2sin 2cos |4.当时，|AB|取得最大值，最大值为4.点评(1)利用参数方程解决问题，要理解参数的几何意义.(2)解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用.变式训练3(2015陕西)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数).以原点为极点，x轴

9、正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为2sin .(1)写出C的直角坐标方程；(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标.解(1)由2sin ，得22sin ，从而有x2y22y，所以x2(y)23.(2)设P，又C(0，)，则|PC|，故当t0时，|PC|取得最小值，此时，P点的直角坐标为(3，0).高考题型精练1.已知圆的极坐标方程为4cos ，圆心为C，点P的极坐标为(4，)，求CP的长.解由4cos 得24cos ，即x2y24x，即(x2)2y24，圆心C(2，0)，又由点P的极坐标为(4，)可得点P的直角坐标为(2，2)，CP2.2.(2015安徽改编)

10、在极坐标系中，求圆8sin 上的点到直线(R)距离的最大值.解圆8sin 化为直角坐标方程为x2y28y0，即x2(y4)216，直线(R)化为直角坐标方程为yx，结合图形知圆上的点到直线的最大距离可转化为圆心到直线的距离再加上半径.圆心(0，4)到直线yx的距离为2，又圆的半径r4，所以圆上的点到直线的最大距离为6.3.在极坐标系中，已知三点M(2，)、N(2，0)、P(2，).(1)将M、N、P三点的极坐标化为直角坐标；(2)判断M、N、P三点是否在一条直线上.解(1)由公式得M的直角坐标为(1，)；N的直角坐标为(2，0)；P的直角坐标为(3，).(2)kMN，kNP.kMNkNP，M、

11、N、P三点在一条直线上.4.(2015重庆改编)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos 24，求直线l与曲线C的交点的极坐标.解直线l的直角坐标方程为yx2，由2cos 24得2(cos2sin2)4，直角坐标方程为x2y24，把yx2代入双曲线方程解得x2，因此交点为(2，0)，其极坐标为(2，).5.以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是4cos ，求直线l被圆C截得的弦长.解直线l的参数方程(t为参数)化

12、为直角坐标方程是yx4，圆C的极坐标方程4cos 化为直角坐标方程是x2y24x0.圆C的圆心(2，0)到直线xy40的距离为d.又圆C的半径r2，因此直线l被圆C截得的弦长为22.6.(2016江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(为参数).设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长.解直线l的方程化为普通方程为xy0，椭圆C的方程化为普通方程为x21，联立方程组得解得或A(1，0)，B.故AB.也可以直接两方程联立，利用公式。7.(2015湖南)已知直线l：(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标

13、方程为2cos .(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M的直角坐标为(5，)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|MB|的值.解(1)2cos 等价于22cos .将2x2y2，cos x代入即得曲线C的直角坐标方程为x2y22x0.(2)将 代入式，得t25t180.设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义即知，|MA|MB|t1t2|18.8.已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程为4cos.(1)将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若圆上有且仅有三个点到直线l的距离为，求实数a的值.解(1)由4cos，得4cos 4sin .即

14、24cos 4sin .由得x2y24x4y0，得(x2)2(y2)28.所以圆C的直角坐标方程为(x2)2(y2)28.(2)直线l的参数方程可化为y2xa，则由圆的半径为2知，圆心(2，2)到直线y2xa的距离恰好为.所以，解得a6.92018全国I在直角坐标系中，曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的直角坐标方程；（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程.解:（1）由，得的直角坐标方程为（2）由（1）知是圆心为，半径为的圆由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线记轴右边的射线为，轴左边的射线为由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只

15、有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点综上，所求的方程为102017全国I在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为.（1）若a=1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求a.解：（1）曲线的普通方程为.当时，直线的普通方程为.由解得或.从而与的交点坐标为，.（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为.当时，的最大值为.由题设得，所以；当时，的最大值为.由题设得，所以.综上，或.、