应用题专项练习

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1、高考冲刺一一应用题专项练习1.在某海滨城市附近海面有一台风，据测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南2（cosJ）万向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北 4510袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增大,市开始受到台风的侵袭？受到台风的侵袭的时间有多少小时？方向移动，台风侵问几小时后该城解：设经过t小时台风中心移动到 Q点时，台风边沿恰经过由题意可得：OP=300, PQ=20t, OQ=r（t）=60+10tO城,丁北2_ , .7,2因为 COS , a = 9 -45 ，所以 Sin , COS1010由余弦定理可得：OQ2=OP2+

2、PQ2-2 OP PQ COS即(60+10t)2=3002+(20t) 2-2 - 300 20t - 45即 t2 36t 288 0,解得 t1 12,t2 24t2 t1 12答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭，受到台风的侵袭的时间有45P12小时。2.某唱片公司要发行一张名为春风再美也比不上你的笑的唱片，该公司计划用X （万元）请我校李老师进行创作，经调研知：该唱片的总利润y （万元）与（3 x）x2成正比的关系，当x 2时y 32 .又有一x一0,t ,其中t是常数，且t 0,2 .2（3 x）（I）设y f x ,求其表达式，定义域（用 t表示）；(n)求总利润 y的最大值及

3、相应的 x的值.解：(I) y k 3 x x2,当 x 2时，y 32. k 823xy 24x2 8x3 定义域：Q0,t2 3 x(n) y -24x x-20 x 0或 x 26t2t 1讨论：若2 -6，即1 t 2时, 2t 1所以 ymax f 232f（x）在（0,2）单调递增，在（2,也）上单调递减2t 1ymax-6，即 0 t 1 时 f/(x)2t 12.6t 864t20,所以f（x）在（0,-6）上为增函数。2t 12t 1 2t 1综上述：当1 t2 时，ymaxf 232 ；当 0 t 1 时，ymax2864t22t83 .环保监察部门对某大型企业自2012年

4、1月1日起向某湖区排放的污水量进行了三个月的跟踪监测，并预测，如果不加以治理，该企业向湖区排放的污水量将以公比为2的等比数列增长，且1月的污水排放量为1万m3。(1)如果不加以治理，求该企业从 2012年1月1日起，n个月后，该企业向湖区排放的污水总量为多少1万m3。(2)为保护环境，当地政府和该企业决定从7月份开始投资安装污水处理设备，进行污水处理，预计7月份污水排放量比6月份的排放量减少4万m3,以后每月的污水排放量比上月的排放量减少 4万m3,当企业停止排放污水后，再以每月16万m3的速度处理湖区中的污水，问什么时候可以使湖区中的污水不多于50万m3。(1) 2n 1 . (2) 8 个

5、月后4 .已知某海滨城市 。位于东西方向海岸线的 。处，在距海滨城市 O 300，彳3海里，北偏东3 一(tan 2)角的A小岛建有一处海上物资供给站，一科学考察船正在沿海滨城市。北偏东(cos3 10 一 一 ，一，、)角的航线上进行科考，现科考指挥部(设在海滨城市10船的航线与海岸线围成的三角形面积征调在海滨城市。的正东，距离为t海里的B处的补给船，速往小岛 A装运物资供给科考 船，该船接到指令后，立即沿 BA方向全速赶往科考船，并正好在C处相遇，经测算：当两S最小时，这种补给最适宜。(1)求S关于t的函数关系式S(t);2)问应征调海岸线上何处的补给船，补给最适宜。5 某市有两个传统强镇

6、 A、 B， 它们相距 80km， 过 A、 B 分别有一条笔直的公路相交于M ，且 M 到两镇中心的距离之和为 100km ，为了加快区域经济的发展，该市拟选择这两个传统强镇 A 、 B 为龙头带动周边乡镇的发展，并决定在这两个镇的周边修建一条过M 的环形高速公路，环形高速公路所在的曲线为E,曲线E上的点到两镇中心的距离之和相等。( 1 ) 在 M 处原有一个中型加油站， 现再在曲线E 上建一个小型加油站N ， 使两个加油站与镇B在一条直线上，且相距 80km (直线距离)，求两个加油站到镇 A的距离之和；(2)在A、B连线的正中间 。有一景点，该市计划过O再修一条笔直的公路与环形高速公路所

7、在的曲线E 相交于 P、 Q， 并确定在四边形PABQ 区域开发旅游业， 问该公路如何修建，可使开发区域面积最大？最大开发区域面积是多少？6.如图，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P和居民区O的公路，点P所在2的山坡面与山脚所在水平面 所成的二面角为 (090),且sin A，点P到平面 的距离PH 0.4 (km).沿山脚原有一段笔直的公路 AB可供利用.从点 。到山脚修 路的造彳介为 a万元/km ,原有公路改建费用为 a万元/km .当山坡上公路长度为 l km2_(K l 2)时，其造彳介为(l 1)a 万元.已知 OA，AB , PB AB , AB 1.5(km),OA

8、73(km).(I)在AB上求一点D,使沿折线PDAO修建公路的总造价最小；(II)对于(I)中得到的点 D ,在DA上求一点E ,使沿折线PDEO 修建公路的总造价最小.(III )在AB上是否存在两个不同的点 D , E ,使沿折线PD EO修建公路的 总造价小于(II)中得到的最小总造价，证明你的结论.B,PB AB ,由三垂线定理逆定理知,解：(I)如图，PH , HBAB HB ,PH所以 PBH是山坡与 所成二面角的平面角，则PBH , PB 1.设 BD x(km) , 0& x0 1.5 .则PD Jx2 PB2 Jx2 1 1,2.记总造价为f1(x)万元,据题设有fi(x)

9、21-2111-(PD21 -ADAO)a(x2-x, 3)a2143 -x a3 a416-1 1当x ,即BD (km)时，总造价f1(x)最小.4 45 43a 16(II)设AE y(km) , 0& y0 ,总造价为f2(y)万元，根据题设有 4f2(y)PD21 T1 31y a . y2 242y 1 ，一一则 f2y /= a ,由 f2 (y) 0 ,得 y 1.y2 3 2(01)时，f2 (y) 0, f2(y)在(0,1)内是减函数;5 一5当y 1,一时，f2 (y) 0, f2(y)在1,内是增函数4467故当y 1,即AE 1 (km)时总造价f2(y)最小，且最小总造价为 ？a万元.16(III )不存在这样的点 D , E .事实上，在 AB上任取不同的两点 D , E .为使总造价最小，E显然不能位于 D 与B3之间.故可设 E 位于 D 与 AN间，且 BD=x1 (km) , AE y1 (km) , 0 x1 y2 ,216y2x1y11同时成立时，上述两个不等式等号同时成立，此时AE1(km)-67S取得最小值a,点D , E16分别与点D, E重合，所以不存在这样的点 价小于(II)中得到的最小总造价.,E ,使沿折线PDEO修建公路的总造