九年级数学竞赛及答案

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1、2014年吉安县桐坪中学数学竞赛九年级试题（刘书文）（本卷满分120分，考试时间120 分钟）ABCNM（第2题图）一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1. 从长度是2cm，2cm，4cm，4cm的四条线段中任意选三条线段，这三条线段能够组成等腰三角形的概率是（）A B C D12如图，M是ABC的边BC的中点，AN平分BAC，ANBN于N，且AB=10，BC=15，MN=3，则ABC的周长为（ ）A38 B39 C40 D. 41 3已知，且有，则的值等于（ ）（第4题图）A B C D4已知直角三角形的一直角边长是4，以这个直角三角形的三边为直径作三个半圆(如图所示)，已知

2、两个月牙形(带斜线的阴影图形)的面积之和是10，那么以下四个整数中，最接近图中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是（ ）A6 B. 7 C8 D95如图,RtABC中，ABAC，AB=3，AC=4，P是BC边上一点，作PEAB于E，PDAC于D，设BPx，则PD+PE（ ）A. B. C. D. （1） （2）（第6题图）6计算机中的堆栈是一些连续的存储单元，在每个堆栈中数据的存入、取出按照“先进后出”的原则，如图，堆栈（1）中的2个连续存储单元已依次存入数据，取出数据的顺序是，；堆栈（2）的3个连续存储单元已依次存入数据，取出数据的顺序是，现在要从这两个堆栈中取出5个数据（每次取出1个数据

3、），则不同顺序的取法的种数有（ ）A5种 B6种 C10种 D12种二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7若，则满足该方程的所有根之和为 . 8如图，等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC边上的两个动点，且总使AD=BE，AE与CD交于点F，AGCD于点G，则 9已知，且，则 10元旦期间，甲、乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相同，且每件商品的单价只有8元和9元两种.若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有 件11如图，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD与地面成，A=，CD=4m，BC=m，则电

4、线杆AB的长为 m (第11题图)ABCD（第8题图A）BCDAE（第8题图）D12实数与，使得，四个数中的三个有相同的数值，则所有具有这样性质的数对为 三、解答题（本大题共4个小题，共60分）13. （本题满分10分） 已知平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程：x2mx+=0的两个实数根，（1）当m为何值的，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；（2）当AB=2时，平行四边形ABCD的周长是多少？14（本题满分10分）.如图所示，不透明圆锥DEC放在水平面上，在A处灯光照射下形成影子，设BP过圆锥底面的圆心，已知圆锥的高为2m，底面半径为2 m，BE=4 m.（1）求B的

5、度数；15.（本题满分20分）如图，将OA = 6，AB = 4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M，N以每秒个单位的速度分别从点A，C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NPBC，交OB于点P，连接MP （1）点B的坐标为 ；用含t的式子表示点P的坐标为 ；（2）记OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0 t 6）；并求t为何值时，S有最大值？（备用图）(第14题图)（3）试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是ONC面积的？若存在，求出点T的坐标；若不存在

6、，请说明理由 16. （本题满分20分）(1）请在图中作出两条直线，使它们将圆面四等分；（2）如图21，M是正方形ABCD内一定点，请在图21中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M），使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由问题解决：图（3）如图，在四边形ABCD中，ABCD，AB+CD=BC，点P是AD的中点，如果AB=a，CD=b，且ba，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由2013年九年级试卷参考答案一、 选择题（每小题5分，共30分）16 C D B A DAC二、 填空题（每小题5分，共

7、30分）：7. ； 8. A：；B：； 9. 4； 10. 12； 11. ； 12. .三、解答题：（每题20分，共60分）13. 解：（1）四边形ABCD为菱形，AB=AD.又=m24（）=m22m+1=(m1)2.当(m1)2=0，即m=1时，四边形ABCD是菱形.把m=1代入x2mx+=0得x2x+=0，x1=x2=.菱形ABCD的边长为.（1） 把x=2代入x2mx+=0得42m+=0,解得m=.把m=代入x2mx+=0得x2x+1=0,解得x1=2,x2=AD=.四边形ABCD为平行四边形.平行四边形ABCD的周长为2（2+）=5.点拨：把平行四边形的边长与一元二次方程的根相联系，

8、那么平行四边形的性质和一元二次方程根的性质都要掌握.首先平行四边形变为菱形，各边相等，那么一元二次方程就有两个相等的实数根.对于（2）就是已知一元二次方程的一根再求另一根.22. 解：（1）圆锥的高DO=2m.在RtDOB中，OB=BE+EO=4+2=6(m).BD2=BO2+DO2=62+(2)2=48.BD=4m,则BD=2DO.B=30.（2） 过A作AFBP于F.ACP=B+BAC=2B，B=BAC=30.AC=BC=BE+EC=8(m).在RtACF中，CAF=90ACP=902B=30.CF=AC=4(m).AF= =4 (m).故光源A距水平面的高度为4m.点拨：投影问题在本题中

9、转化为在直角三角形中求角度和边长的问题，通过作高，构造直角三角形，应用直角三角形中边、角之间的关系去求值.14. 解：（1）（6，4）；（）.（其中写对B点得1分）3分（2）SOMP =OM， S =（6 -t）=+2t （0 t 6）当时，S有最大值8分 （3）存在 由（2）得：当S有最大值时，点M、N的坐标分别为：M（3，0），N（3，4），则直线ON的函数关系式为： 设点T的坐标为（0，b），则直线MT的函数关系式为：，解方程组得直线ON与MT的交点R的坐标为SOCN 436，SORT SOCN 210分一、 当点T在点O、C之间时，分割出的三角形是OR1T1，二、 如图，作R1D1y轴

10、，D1为垂足，则SOR1T1RD1OT b2.， b =.b1 ，b2 （不合题意，舍去）此时点T1的坐标为（0，）.15分 当点T在OC的延长线上时，分割出的三角形是R2NE，如图，设MT交CN于点E，（备用图）R2T1T2R1D2D1点E的纵坐标为4，由得点E的横坐标为，作R2D2CN交CN于点D2，则SR2NEEND2 =2.，b=.b1，b2（不合题意，舍去）此时点T2的坐标为（0，）综上所述，在y轴上存在点T1（0，），T2（0，）符合条件20分15（1）如答图3.答图3（3） 如答图3.理由如下：点O是正方形ABCD的对角线的交点，点O是正方形ABCD的对称中心，AP=CQ，EB=

11、DF，在AOP和EOB中,AOP=90AOE，BOE=90AOE，AOP=BOE，OA=OB，OAP=EBO=45，AOPBOE，AP=BE=DF=CQ，设O到正方形ABCD一边的距离为d，则（AP+AE）d=（BE+BQ）d=（CQ+CF）d=（PD+DF）d，S四边形AEOP=S四边形BEOQ=S四边形CQOF=S四边形DPOF，直线EF、OM将正方形ABCD面积四等分；答图4（3）存在，当BQ=CD=b时，PQ将四边形ABCD的面积二等分.理由如下：如答图4，延长BA至点E，使AE=b，延长CD至点F，使DF=a，连接EF.BECF，BE=CF，四边形BCFE为平行四边形，BC=BE=a+b，平行四边形BCFE为菱形.连接BF交AD于点M，则MABMDF，AM=DM.即点P、M重合.点P是菱形EBCF对角线的交点,在BC上截取BQ=CD=b，则CQ=AB=a.设点P到菱形EBCF一边的距离为d.连接CP，SABP+SQBP= (AB+BQ)d= (CQ+CD)d=SCQP+SCDP，即S四边形ABQP=S四边形PQCD.当BQ=b时，直线PQ将四边形ABCD的面积分成相等的两部分.