不等式基础知识与典型例题复习

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1、数学基础知识与典型例题 第六章不等式不 等 式 知 识 关 系 表不等武实数大小比较T轼辜扯韦匚腐爭式迪團卜一|翳 旦 辺再L|可厂年刮普0gL-L*芈 悴型齬 搭歼一| _ J琴氐虻晅厂f五哺璋斤活恫股璃舉” 一I製我絆*錚怔|IS匍超烟*SKr捨韻创磊圧肄垃目卜卜赋】馆斤鲂械盂1 IK li It trt S程皎粘饵1.定理1:如果a,b x|x是正实数，那么a b > ab （当且仅当a=b时取“=”号）2注:该不等式可推出：当a、b为正数时,（当且仅当a亠b221 1+_a ba = b时取“=”号)即:平方平均数算术平均数几何平均数调和平 均数不 等 式 的 性 质不等式的性质

2、（对称性或反身性）a . b ：= b ： a ;（传递性）a b, b .c= a . c ;（可加性）ab = a c b c,此法则又称为移项法则； （同向可相加）a b， c .d=a，c b d（可乘性）a .b, c .O=ac .be； a b，c ：0= ac ：bc. （正数同向可相乘）a b - 0， c - d 0 = ac bd（乘方法则）a b - 0（ nN） ：= an - bn 0（开方法则）a ? b , 0 n 三 N ,n > 2） ：= "：a , ' b ,01 1（倒数法则）a - b, ab 0 =-a b掌握不等式的性质，

3、应注意：条件与结论间的对应关系， 是“ = ”符号还是“：二”符号；运用不等式性质的关键是 不等号方向的把握，条件与不等号方向是紧密相连的。运用不等式的性质可以对不等式进行各种变形，虽然这些变形都很简单，但却是我们今后研究和认识不等式的基本 手段.例1.“ a+b>2c成立的一个充分条件是（）（A）a>c 或 b>c （B） a>c 且 b<c （C）a>c 且 b>c （D） a>c 或 b<c例2.若a>b,下列式子中 1 < ;a3>b3;a b lg（ a21） lg（ b2 1）; 2a 2b,正确的有（）（A）

4、1 个（B）2 个（C）3 个（D）4 个例 3.、8 - 6与” 7 -、一 5 的大 小关系为.例4.设n乜1 ,且n = 1,则 n 3 T与n2 n的大小关系 是.例 5.已知满足'-1 卩 < 1 一-,试求二匕：1 W 二 2 - < 3的取值范围.重 要 不 等 式2.含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）：3322 a b > a b ab由 a3加 3+c33abc = （a +b +c）（a2 +b2 +c2ab ac be） 可推出 ab 3 c? > 3abc（a ：卜b：卜c p、0等 式即可成立，a=b=c或aOb - c = 0

5、时取等）;如果a,b,cx|x是正实数，那么a_b p盂.3（当且仅当a=b=c时取“=”号）3.绝对值不等式： a| b < a-b < a - b (ab > 0时，取等号) a1 a2 ' a3 匕 |a1 - a2 - a3注：均值不等式可以用来求最值 （积定和小，和 定积大）,但特别要注意条件的满足： 一正、二定、三 相等.例 6."a>0 且 b>0"是"a b > ab 2-的（）（A）充分而非必要条件（B）必要而非充要条件（C）充要条件（D）既非充分又非必要条件例 7.若 f (X) = log 1 x

6、,2a= f -), g= f(/a?5,2H= f ( 2ab )，其中 a,b迂 R+， a + b则A,G,H的大小关系是()(A) Aw GW H( B) AW H < G(C) H w G< A( D) G< H w A例 8.若a,b,cR ,且1 1 1a b c = 1，那么_亠_亠有 a b c最小值()(A)6(B)9(C)4(D)3例 9.不等式 y = x(1-3x) (0<X<"1)3的最大值是()4111(A) (B) (C) 一 (D)2431 26472例 10.若 a +b +c = 3,且 a、b、1 1c R+ ,贝

7、y -的最小值a + b c为.第1页第3页不 等 式 解 法解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。一兀一次不等式和一兀二次不等式是最简单的 不等式其它不等式，如高次不等式、分式不等式、 无理不等式、指数和对数不等式、绝对值不等式、 含有字母系数的不等式等，一般都转化为一兀一次 不等式(组)或一元二次不等式(组)来解。解不等式时，要注意不等式的同解原理和变形 过程的等价性的正确运用，对各类不等式要掌握它 的特点，变形过程的程序性和特殊性，注意归纳解 各类不等式的思路和方法。(1)高次不等式 f (x )>0 (或<0)若f (x )可以

8、分 解成几个含x的一次因式，可用列表法或数轴标 根法来解。(2)分式不等式二匸)>0(或a 0)或ULLck或< 0) g (x )g (x)要正确运用以下同解原理。(或 <0)与 f(X)g (x(或 <0 同解不等式组")g(x Y0g X .亍0或 fx g x <0 .0同解例11.若关于x的不等式ax 2 bx2 . 0的解集是11(-：, )(-,：*),则 ab 等23于()(A)-24(B)24(C)14(D ) -14例12.不等式 X > X的|2 十 x |2 + x解集是()(A)(-2, 0)(B) -2,0(C)R(D)

9、(-：,2)(-2,二)(3)无理不等式：将无理不等式变形为与它同解的 不等式组。不等式.7> g x的同解不等式组是g x > 0f x > 0f_g或 g X ：0f x A 0不等式.f x < g x的同解不等式组是(4)指数、对数不等式指数不等式a - '(a0且a 1的同解不等式：当 a -1 时，为 f x g x ;当 0 : a ： 1 时，为 f x : g x .例13.不等式 5 _x A x 1 的解集是()(A) x | -4 < x < 1(B) x|x < -1(C) x|x < 1(D ) x | -1

10、W x W 1log 1 X,例14.不等式x 2 :J的解集X是()(A) x|1 £ x < 2(B) x|x > 2 或 x £1(C) -(D) x0 C x £1 或 x A 2不 等 式 解 法对数不等式log a f(xplogag(xaA0且a式1)的 同解不等式：f X)0当a >1时，为 '丿°，g(xp0'f XpgX) f fx、>0当0 < a c 1时，为丿耳 g(x)A0 hxFg(x)因此，在解指数、对数不等式时，首先要注意 利用对数的性质化为同底不等式.(5)绝对值不等式解绝

11、对值不等式关键是化为等价的不含绝对值 符号的不等式(组)，主要方法：|f(x/a二 f(xpa或 f(x)ca；|f(x<a= 一 a<f(x)<a ；lf(X»|g(xX f(x)T>g(x)丁对含有几个绝对值符号的不等式，用分区间的 方法化为等价的不含绝对值的不等式组。注:绝对值的几何意义：x表示数轴上的数 X对应的点与原点的距离.X-a表示数轴上的数 X对应的点与数 a对 应的点的距离.(6)含字母系数的不等式 对上述各类不等式，都可能涉及到不等式中的 字母系数，解不等式时，对字母的取值要进行恰当 的分类，分类时要不重、不漏，然后根据分类进行 求解。注：

12、解不等式是求定义域、值域、参数的取值 范围时的重要手段，与“等式变形”并列的“不等 式的变形”，是研究数学的基本手段之一。例15.不等式lg(x21) £1的解住B.集是.例16. 解不等式1lg( x一)c 0.X例17.解关于x的不等式22x + (a 1)x + 32 > 1.x + ax不 等 式 的不等式的证明1.证明不等式的基本依据：(1) 实数大小的比较原则；(2) 不等式的性质；(3) 几个重要不等式，特别是算术 一一几何平 均值不等式例18.已知x R,2+、小2x 2x 1小求证：2W 2<2.X 一 x+ 1第5页第4页证 明（4）已知函数的增减性；

13、（5） 实系数一元二次方程的根的判别式.不等式的证明2.证明不等式的常用的方法： 比较法： 作差比较，要点是：作差变形判断。这种比较法是普遍适用的，是无条件的。根据a b>0吕a>b，欲证a>b只需证a b>0; 作商比较，要点是：作商变形判断。这种比较法是有条件的，这个条件就是“除式” 的符号一定。,a当 b>0 时，a>b= >1 。b比较法是证明不等式的基本方法，也是最重要 的方法，有时根据题设可转化为等价问题的比较（如幕、方根等）。分析法：就是不断寻找并简化欲证不等式成立的充 分条件，到一个明显或易证其成立的充分条件为止。 对于思路不明显，感到

14、无从下手的问题宜用分析法 探究证明途径。这种方法的实质是“充分条件”的化简。分析法证明不等式的逻辑关系是：B U BtU B2 U U Bn U A .分析法的思维特点是：执果索因 -综合法：就是从已知的不等式及题设条件出发， 运用不等式性质及适当变形（恒等变形或不等变形） 推导出要求证明的不等式。用综合法证明不等式的关键是适当选择一个已 知的不等式，从此出发推出所证结果，怎样选择已 知的不等式就适当呢？ 一般有两条途径。（1）从分析法找思路，（2）从 重要不等式”，特别是平均值 不等式找思路。用综合法证明不等式的逻辑关系是：A nb2 二n Bn 二 B .综合法的思维特点是：由因导果 -例

15、 19.若 a > 0, b > 0, c > 0, 求证:Ja2 +b2 +Jb2 +c2 +Jc2 +a2 > 172(a + b +c).例 20.设 a , b, X, y E R ,且2 亠，2 2 亠 2 + a + b =1,x+ y =1, 求证:ax +by w 1.例21.设a,b,c r*用放缩法 证明:1 <a +b +c <2 .a +b b +c c +a后 然CA 明证。 优B" ”，“QQ .nu A贝 A ” , “ B 1 > 明C 去证“ 放 证 再不等式的证明用 造 可 。上 要用内 灵生构 代 也炜

16、强运关重t,合駐 性 推切 Mn,w分 仆综也 是一备询 魏:t增等应 M洙篇IO 里一二身间 稚的角题 汗析始花 这W需棣 魂度三问W分WE 然 卅必摻。 埶力、合 住一、商等 :场 借它笳性 詁的数综 L法反A ( 邛是处确 3查代的 拆较说弋 式 立一11正 試考合明 協比 忖 等页一其 略力综证 ，附 不遐 遐性证定 不能和式 的去关 明wW殊陀确 侧雄式等 式厅法、 证知。知特抑W而打思等不 降明纳> 法賤明W备痕从 啟对不关 討证归式 纳然证然具¥ , M着明<-堆的学等 归第法第需切质 燉随证的 牌用数不 学挡纳挡必婵性 曲但法生 翳常、或 数有归有它数条

17、拝，方产 敦八用袪数 用 学 是 两W,种而。 运匹函 数 述 内多容视 活反止求 边， 二数 V 的正C " C为 C Bm> "且 b+m 裂：S m z , a + 2 a a 例是ffi:不等式的应用:| 私心函似 方到t,数 究用N' 研仙M/W 用是勢鈿«-。 时等北划剛毗 式不题最方用 等 考、论应 不 高域讨关心旅0%间踱甘到 角馳额为 时以燧n先 8m咪2价 淋半肌以 谁 1肌皿 吨有 MWWWA 功池“側 W甲、一仙W乙 积水折也 旧 另一舒甲 个无的肮 肿地走加十n 形2J乙 T 亍乙 式 - 苣om元己 、彳:另卄£

18、 SLS 一予入元 甲mm走 ,m昨 X止每O 至 亍电果地 23的壁154走度行説如定 2"池 2线速n行女指 例22和和 例跆以度m走达第5页第6页数学基础知识与典型例题(第六章不等式)答案例 1.C例 2. B例 3. '.8 一:： .7 一 ,5例 4. n3+1>n2+n例5.提示:把“ G +目”、“ G +2 B ”看成一个整体解° 壽=2(.工 2'- ) _(、；、I')又 T 2 < 2(爲 -2 '-) < 6 , -1 < (、：.I -) < 1.I 1 W很亠3 - < 7 ,

19、二 -3的取值范围是 例6. A例7.A4例 10.-3例9. B例 12.D例 13. C例 15.( -.11, -1)(1, ,11)例16.解：原不等式等价于2x -10,x-2x -11.x情形1当x>0时，上述不等式组变成情形2当x<0时，上述不等式组变成所以原不等式解集为|-1:x例17.解:原不等式等价于1,7 例8.B例 11.B例 14.D2x-2x :2> 1'解得:x 1.当yM 2时，要方程有实数解，须厶=(2 y)2 4(y 2)(y+1)0 得2 W y W 2，又.yM 2- - 2 W y<2;当 y=2 时,代入(y 2)x2

20、+(2 y)x+y+1=0 中，得 3=0，矛盾. 综上所述，-2W y<2得证.例 19.综合法提示:Ja2 +b2 > /(a+b)=返3 + &)V 22另外本题还可用几何法.证明:对于a2 b2，可想到直角三角形的斜边，先考虑a、b、c为正数的情况，这时可构造出图形：以a+b+c为边长画一个正方形，女口图，贝U AR = Ja2 +b2, RP2 =Jb2 + c2, P2B = Jc2 + a2， AB|=T2(a + b + c).显然 AR + PR +| P?B > AB， 即.b . b? c? . c? a?J2(a b c).当a、b、c中有负数

21、或零时，显然不等式成立.例20.答案见高中数学第二册(上)第27页例1 可用分析法，比较法，综合法,三角换元法以及向量法等证例21.提示:利用fl/Z1 +75:x :21 -V5 一1 ： x.2x < 12x，解得x x 1.1 -51 ：5 _. x |1 ： x2 2例22.高中数学第二册(上)第17页习题9 法一:构造函数法xm证明： f(x) =(m>0) = 1 在(0, + 00)上单调递增,x + mx + m且在 ABC中有a + b > c>0，f(a + b)>f(c)，即2x -X 3x ax又*a baba，b R，a-ma7?7m +

22、 irbrm2由于x-x 30对x R恒成立,2x ax - 0,即 x(x a) 0abc-.a m b m c m法二:分析法当 a>0 时， x | x ： -a或 x 0; 当 a=0 时， X I x R 且 x = 0;当 a<0 时，x | x : 0 或 x *a.证明:要证aa十m2例 18.证明:令 y= 2x2 2x 1，去分母，整理得(y2)x2+(2- y)x+y+ 仁0. x 一 x +1只要证 a(b + m)(c + m) + b(a + m)(c + m) c(a + m)(b + m)>0，即 abc + abm + acm + am2 +

23、 abc + abm + bcm + bm2 abc acm bcm cmi2>0， 即 abc + 2abm + (a + b c)m2>0，由于 a,b,c ABC 的边长，m>0, 故有 a + b> c，即(a + b c)m2>0 0第7页第9页所以 abc + 2abm + (a + b c)m2>0 是成立的,第11页第10页因此abc+>a - m b m c m例 23.5400,例24.答案见2005-7-30高中数学第二册（上）第13页例46、当你发现有“非凡天赋”，就“疯狂地造梦”吧!Think great thoughts a

24、nd you will be great! 伟大的理想，会让你变得伟大！丁俊晖练球常常进入到痴迷的状态，整天与台球为伴，很快，父亲送给他的台 球杆被练断了。修理后又接着打，不久又断了 ,反反复复，一支杆要打断6 7次，变得不能再打了，才换新球杆。即使这样，他父亲还时刻提醒、监督他，有时刚吃完饭，丁俊晖在一边坐着休 息的时间稍长一点，父亲就过来催促：“你去房间练球吧，空调已帮你开好了。 ”他父亲说：“人做事一定要坚定，做一件事就要把它做好，如果连这点精神和承 担失败的勇气都没有，做其他事也不可能成功！人活着就要轰轰烈烈，在有生之 年做些事，但我不会强加给他没兴趣的东西做。 我坚信我儿子是5000

25、年才出一个 的神童！ ”一个人的梦想有多么伟大，他就有多么伟大！伟大的目标，即使吹起牛来都很爽！所以，目标一定要远大！你人生才会过得充 实而干劲十足！也许，是先有了伟大的丁俊晖父亲，才有了 18岁成为世界级台球冠军的丁俊晖 现在丁俊晖已经在老家买了新房，他实现了当初许下的用球杆为父母挣回一套房 的承诺！用手中的球杆，兑现了夺得世界冠军的诺言！所以，伟大的梦想造就伟大的人生!Great dreamsmakegreat men!我在这十多年疯狂英语的奋斗路上，我发现一个真理：“人的潜能无限！相信自己，就能创造奇迹；怀疑自己，人生就会在可怜、悲 惨中度过！”目标定得小，成绩就小。有大志才会有大成就！

26、Think little goals and expect little achievements. Think big goals and win big success!每个人其实都是一座宝藏！ “相信自己”是人生最重要的品格，“I can”是家庭 给孩子最宝贵的财富。而可悲的是，大多数的父母并没有给自己孩子这把“最重要的钥匙”，因为他们的父母，和他们所处的时代，也没有给他们这把钥匙。我们太多人，就像是在黑暗中苦苦摸索，当我们发现有这把钥匙的时候，已经 年过30岁了,其实，成功根本不用等到 30！ 10岁、20岁就可以很成功！而“相信自己”就 是人生最大的成功源头。在此，我非常急切地想与大

27、家分享一个“ 18岁就成功的故事”，告诉你如果发 现自己有“非凡天赋”时，就疯狂地造梦想吧，从此，你就会自发地苦练，并为自 己的家庭带来梦中渴求的一切。在丁俊晖8岁时，父亲送给他一件特别的礼物一一一支台球杆。他很快发现： 儿子在台球桌上有非凡的天赋，两年下来，已经打遍当地无敌手。有一次，爸爸让小俊晖与台球名将亨得利一起合影照相，没想到他却口吐狂言:“我跟他照什么相，我以后把球打好了，别人找我照相还差不多，总有一天我要 战胜他。”看到儿子有如此雄心大志，父亲做出了一个惊人的决定：卖掉家乡的房子，辞 去工作，全家搬迁到陌生的广东东莞，让儿子专心学习台球，成为职业台球手。为了节省开销，他们没有租住球馆宿舍，只是在宿舍走道的尽头蹭了张床，木 板隔出一个6平方米的空间，全家三口只睡一张单人床。隔板外，是宿舍楼公厕， 闷热、蚊虫叮咬、厕所异味,竟然令 13岁的丁俊晖含泪向父母发誓：一定要用 球杆，为他们打回一套房子！从此，他把台球当成了自己一辈子奋斗的职业。第 12 页第 11 页