定义域与值域

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1、一意弯学引网第二节函数的定义域和值域备考方向要明了 考什么怎么考会求简单函数的定1.函数的定义域经常作为基本条件或工具出现在高考试题的客观题 中，且多与集合问题相交汇，考查与对数函数、分式函数、根式函 数有美的定义域问题.如 2012年江四T2,江苏T5等.义域和值域.2.函数的值域或最值问题很少单独考查，通常与不等式恒成立等问题相结合作为函数综合问题中的某一问出现在试卷中图G3圜加福鱼图瓶明图科窟密等倒舄弊1归纳知识整合1 .常见基本初等函数的定义域(1)分式函数中分母不等于零.(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0.(3) 一次函数、二次函数的定义域均为R(4) y=ax(a0且 awl)

2、, y=sin x, y=cos x,定义域均为 R.(5) y= log ax( a 0 且 aw 1)的定义域为(0 , 十0).山、一，1兀1(6)y=tan x 的定义域为x| xk% +y, k Z(7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数 自变量的制约.2 .基本初等函数的值域(1) y=kx + b(kw0)的值域是 R(2) y= ax2+ bx+ c( aw。)的值域是：/ 曷音寻习网j 4acb2 I当a0时，值域为叩y1;4auJ4acb2当a0时，值域为叩yk (3) y= -( kw 0)的值域是 y| y w 0. x(4) y

3、= ax( a0 且 aw 1)的值域是y| y0.(5) y= log ax( a0 且 aw 1)的值域是 R(6) y= sin x, y= cos x 的值域是1,1.y= tan x的值域是R探究1.若函数y=f(x)的定义域和值域相同，则称函数y=f(x)是圆满函数，则函数y=1；y=2x;y= 也；y= x2中是圆满函数的有哪几个？x提示：y=1的定义域和值域都是(8, 0) U (0 , +8),故函数y =：是圆满函数；yxx=2x的定义域和值域都是 R,故函数y= 2x是圆满函数；y= 5的定义域和值域都是0 , 十 ),故y= qx是圆满函数；y = x2的定义域为 R,

4、值域为0, 十),故函数y = x2不是 圆满函数.2.分段函数的定义域、值域与各段上的定义域、值域之间有什么关系?提示：分段函数的定义域、值域为各段上的定义域、值域的并集.自测牛刀小试4 x1 .(教材习题改编)函数f(x)=y7的定义域为()x 1A. 8, 4B. 4 , +OO)x4,即，所以函数xw 1.C.(巴 4)D.(巴 1) U (1,4解析：选 D要使函数f (x)=一;x有意义,只需“x- 1x1W0,的定义域为(8, 1) U(1,4.2.下表表示y是x的函数，则函数的值域是()x0x55 x1010x1515 x0,即 0 V 2x+ 1 1,解得一12vx0,即x4

5、.又 y=x2-6x+ 7=(x-3)2-2, ymin = (4 3) 2= 1 2 = 1.，其值域为1, +8).答案：1, +oo)If |求函数的定义域C. -2,2D. (-1,2(2)已知函数f(x21)的定义域为0,3,则函数y=f(x)的定义域为音音学引网音音学引网x 一即 :XW0,、一2 X0自主解答(1) x满足3X+1W1,4-x20解得1x0 或 0xW2.(2)OW x0解得log 6x2? 0x V6,故所求定义域为(0, V6 答案：(0 ,乖(2) f(x)的定义域是2,4,- -2 x2-3x0 且 x=2,于是 y= 2-t = -(t + 1),一 1

6、,一，1+ 1,由于t0,所以y0,即xw八 11所以ywf 12厂2，即函数的值域是 Wlyw2.（3）法一：（基本不等式法）当x0时，x + -2xx -=4,x , x ，当且仅当x = 2时“=”成立；当 x0 时，x+-= (x -) 4, xx当且仅当x= 2时=”成立.即函数的值域为(00, - 4 U 4 , +8).一 .4 x2 4法二：(导数法)f (x) = 1 =7.x(-oo, 2)或 xC(2, +8)时，f(x)单调递增,当xC ( 2,0)或xC (0,2)时，f(x)单调递减.故 x = 2 时，f (x)极大值=f ( - 2) = 4;i Ao同音与习网

7、www.gkxx.conix = 2 时，f (x)极小值=f (2) = 4.即函数的值域为(00, - 4 U 4 , +8).酗屐 4,若将本例(3)改为“ y=x-，如何求解？x44解：易知函数y=x x在(-, 0)和(0, +)上都是增函数，故函数y=x又的值域为R 求函数值域的基本方法(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域.(2)配方法：二次函数类”用配方法求值域.(3)换元法：形如y= ax+ bycx + d(a, b, c, d均为常数，且aw。)的函数常用换元法 求值域，形如y = ax+a-bx2的函数用三角函数代换求值域.4分离常数法：形如cx+ d y ax+

8、 b的函数可用此法求值域5单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其 增减性进而求最值和值域.6数形结合法：画出函数的图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找 其变化范围.网变式训练2.求下列函数的值域.(1) y=x2+2x, xC 0,3;(2) y=x2xx2 x+ 1 y= log 3x+ log x3 1.解：(1)(配方法)y=x2 + 2x=(x+1)21,-0 x3, - 1 x+14.1( x+1)&16.0 y15,即函数 y=x2+2x(xC 0,3)的值域为0,15高森导引网x2 x+1 1.x2-x+ 1 =(2) y x2-x

9、+ 1 _ 1x2_x+ 1 高考学习网一中国最大高考学习网站G |我们负责传递知识!，01 - . 7 1-3y1 时，t0, y2 y1 1 = 1,一，1 r，一,、当且仅当t=f即10g3x=1, x=3时，等号成立;2 1 = - 3.y=一当 0x1 时，t0,则对于正数 b,f(x) = ax2+bx的定义域为 D=x|ax2+bx0= 一0,0 , +8),但f(x)的值域A? 0, +8),故dw A,即a0不符合条件；若a0,则对于正数 b,f (x) = ax2 + bx的定义域 D= 0, 一b|由于此时f(X)max= f故f(x)的值域为。，2aj则b=%a物件1由

10、函数的定义域或值域求参数的方法已知函数的值域求参数的值或取值范围问题，通常按求函数值域的方法求出其值域，然 后依据已知信息确定其中参数的值或取值范围.3. (2013 温州模拟)若函数f(x)=7在区间a, b上的值域为|1, 1 I则a+b =X 13解析：.由题意知 X10,又xCa, b,1 ，一一，a1.则f(x)=x彳在a, b上为减函数,贝U f ( a) = -一= 1 且 f ( b) = T7= 7 , a 1b 1 3a= 2, b=4, a+b=6.答案：6通法归纳领悟1种意识一一定义域优先意识函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础.因

11、此，我们一定要树立函数定义域优先的意识.4个注意求函数定义域应注意的问题(1)如果没有特别说明，函数的定义域就是能使解析式有意义的所有实数x的集合.(2)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化.(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得 各式子都有意义的公共部分的集合.(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接， 而应该用并集符号“U”连接.高考学习网一中国最大高考学习网站G |我们负责传递知识!i Ap曷音学二网j 4个准则一一函数表达式有意义的准则函数表达式有意义的准则一般有：分式中的分母不为0；偶次根式的被开方数

12、非负;y=x0要求xwo；对数式中的真数大于 0,底数大于0且不等于1.6种技巧妙求函数的值域(1)当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；(2)若与二次函数有关，可用配方法；(3)若函数解析式中含有根式，可考虑用换元法或单调性法；(4)当函数解析式结构与基本不等式有关，可考虑用基本不等式求解；(5)分段函数宜分段求解；(6)当函数的图象易画出时，还可借助于图象求解阅蜀皿型四福野口固弘脸信遢静图塞圜碳易误警示一一与定义域有关的易错问题典例(2013 福州模拟)函数f(x)=:三VTx的定义域为X T IDJ3,103 _,人1解析：选C令t=f(x),则Wtw3.易知

13、函数g(t)=t+1在区间(2, 1上上是减函数，在1,3上是增函数.1510又因为 g版广2, g=2，g(3)= -3.11101可知函数F(x) = f ( X) + fx的值域为，y I2.已知函数f ( JX+2) =x+24X,则函数f(x)的值域为解析：令 2 + yx=t ,则 x=(t2)2(t 2). .f(t) = (t2)2+2(t2) =t2 2t (t 2). .f (x) = x2- 2x(x2).f(x) = (x-1)2-1(2- 1)2-1=0,即f (x)的值域为0 , + ).答案：0 , +8)二演痴髓辎测隐因谢毁。婚率星缭旗区总旗励弱福法一、选择题(

14、本大题共6小题，每小题5分，共30分)1 .已知a为实数，则下列函数中，定义域和值域都有可能是R的是()A. f(x)=x2 + aB. f(x) = ax2+1C. f(x)=ax2 + x+1D. f(x) = x2+ax+ 1y关于腰长x的函数关系为y= 10- 2x,则函数解析：选C当a=0时，f (x) = ax2+x+1 = x+1为一次函数，其定义域和值域都是R2.已知等腰4 AB%长为10,则4的定义域为()B. x|x0fr - 5 LD. x| 2Vx5A. RC. x|0x55即二 x0,解析：选D由题意知S102x0,2x102x3.设 M= x| -2x2, N= y

15、|0y0C. x| x1,或 x1D. x|0x1&65.函数y = 2 x2 + 4x的值域是()A. -2,2B.C. 0,2D.解析：选 C 一 x2+4x= - (x-2)2+4.OW yW2.,g x.1,2-R V2 0 w q - x + 4x W2) - 2a 一 一 x+ 4x w 0)+ x+ 4, xgx ,6.设函数 g(x) =x -2(x F) , f (x) =i lg x -x()7 91A. |-4 0 1(1 , +刃B. 0 , 十99C. 1-4，+ JD. 1-4, 0解析：选 D 令 x0,解得 x- 1x2+x+2, x2,解得一1W xW2,故函

16、数f (x) = 1 2x -x- 2, - 1 x2.储1) =2;当一1w xW2 时，函数 f 2 r f (x)g x ,oo )u(2 ,+oo)或 x2;令 xg(x),即 x2- x-20,当 x2 时，函数 f (x)f(9-0,即x2+x60,故一3Vx2,则函数y=的最小值是.t2 + 5t+4 , y=t=tx+1“ 一 x + 1 +4_ L x + 11解析：y=一x.+一1 ,设 x+ 1=t,则 03,那么+ 4+ 5,在区间2, +8)上此函数为增函数，所以 t = 3时，函数取得最小值即 ymin=28t3答案:28高考学习网一中国最大高考学习网站G |我们负

17、责传递知识!9 . (2013 厦门模拟)定义新运算“”：当 ab时，a b=a；当a1),求a, b的值.121解：. f(x) =2(x- 1) +a-2,，其对称轴为x=1,即1 , b为f(x)的单调递增区间.1_f (x)min=f(1) =a-2=1,f (x)max= f ( b) =2b2 b+a=b.由解得卜=2、b= 3.11.设O为坐标原点，给定一个定点A(4,3),而点Rx, 0)在x轴的正半轴上移动，l (x)表不AB的长，求函数y= ix的值域.解：依题意有x0,l (x)=y xJ 2+32 = 52 8x + 25,所以尸 E = * 8x+25 =卜8+|5由

18、于n = 25口-9+烹 x x x 2525所以即函数y=的值域是|0, 51 8+2U|,故 0y0.,g(a) = 2a| a+3| = a 3a + 2a+1)+1479 LI.二次函数g(a)在|- 1单调递减,3口门19g 户 g(a)0时，亍有意义,x因此函数 y =.的定义域为x|x0.对于A,函数f(x) = ln x的定义域为x|x0;1 对于B,函数f(x)=-的定义域为x|xw0, xCR； x对于C,函数f(x) = |x|的定义域为R;对于D,函数f(x)=ex的定义域为R.1 一所以与函数y=有相同te义域的是 f(x)=ln x.2 .函数y=卜2xS=的定义域

19、为()yjx3x+4A. 4, -1)B. (-4,1)C. (-1,1)-x2-3x+ 40 解析：选C由0ft.D. (1,1得一1x1,因此该函数的定义域是(一1,1).f x 3 .若函数y= f(x)的定义域为0,2,则函数g(x)= 二 的定义域是()A. 0,1B. 0,1)C. 0,1) U(1,4D. (0,1)02x2,解析：选B要使g(x)有意义，则，x 1 W0,解得0Wxn3；当h(a)的定义域为n, m时，值域为n2, m2 ?若存在，求出 m| n的值；若不存在，请说明理由.解：(1)由 f(x) = g), xe -1,1,昌音寻亘网www.gkxx.coni知

20、 f(x) j3, 3 I,令 t = f(x) j3, 3 记g(x) =y = t2 2at + 3,则g(x)的对称轴为t=a,故有：128 2a当aw时，g(x)的最小值h(a)=w 三，393当a3时，g(x)的最小值h(a) = 12 6a,12当.a3时，g(x)的取小值h(a) = 3 a3综上所述,28 2a豆一百，1崂，h(a) = 3-a2, -a3(2)当 a3 时，h(a) = 6a+12,故 mn3 时，h(a)在n, m 上为减函数，所以h( a)在n, mj上的值域为h( m, h(n).h m = n2,6m+12= n2,由题意，则有i2? *2，两式相减得

21、 6n- 6m= n2- m,又h n = m,6n + 12=m,mr5 n,所以n= 6,这与mn3矛盾，故不存在满足题中条件的m n的值.高考学习网一中国最大高考学习网站G |我们负责传递知识!x +1 t1 - x 0,解析，要使函数f(x)=F一产有意义则1+y0,，函数f(x)的定义域为x|xW1,且xw 1.答案(8, 1)U( 1,1易误辨析1 .本题若将函数f(x)的解析式化简为f(x)=(x+1)-vrx后求定义域，会误认为其定义域为(8, 1.事实上，上述化简过程扩大了自变量x的取值范围.2.在求函数的值域时，要特别注意函数的定义域.求函数的值域时，不但要重视对应关系的作用，而且还要特别注意定义域对值域的制约作用.变式训练1 11 11.若函数f(x)的值域是|-, 3* 1,则函数F：x) =f(x)+-的值域是()/f x71A2, 5