高考数学理二轮复习教师用书:第3部分 考前增分策略 专题1 3.三角函数与平面向量 Word版含答案

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1、高考数学精品复习资料 2019.53.三角函数与平面向量要点重温·1三角函数的定义:在平面直角坐标系中,设的终边上任意一点P的坐标是(x,y),它与原点的距离是r>0,那么sin ,cos ,tan (x0)特别地,当r1时,sin y,cos x,tan .应用1已知角的终边经过点P(3,4),则sin cos 的值为_答案2弧长公式:l|R,扇形面积公式:SlR|R2,1弧度(1 rad)57.3°.应用2已知扇形的周长为8 cm,圆心角为2 rad,求该扇形的面积解设扇形的半径为r, 弧长为l,则有,解得 .故扇形的面积为Srl4 cm2.3关于函数yAsin(

2、x),( A,>0)五点法作图;应用3函数f(x)sin x2|sin x|, x(0,2)的图象与直线yk有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围是_答案(1,3)(要作出yf(x)的图象,运用数形结合的思想求解. ) 周期T.一般来说,周期函数加绝对值或平方,其周期减半如ysin2x, y|cos x|,但y|tan x|的周期是,y|sin x|cos x|的周期是;函数ysin(x2), ysin|x|都不是周期函数应用4函数y|sin x|cos x1的最小正周期与最大值分别为_. 【导学号:07804168】解析y 作出其图象(图略)知原函数的最小正周期为2,最大值为. 答案2

3、; 单调性和对称性:ysin x的单调递增区间为(kZ);单调递减区间为(kZ);对称轴为xk(kZ);对称中心为(k,0)(kZ)ycos x的单调递增区间为2k, 2k(kZ);单调递减区间为2k,2k(kZ);对称轴为xk(kZ);对称中心为(k,0)(kZ)ytan x的单调递增区间为(kZ);对称中心为(kZ)应用5函数f(x)2sin,x,0的单调递减区间为_解析x,0,x,令zx,则z,正弦函数ysin z在上单调递增,由x得:x0.函数f(x)2sin在x,0的单调递增区间为.函数f(x)2sin在x,0的单调递减区间为.答案应用6求函数ysin4x2sin xcos xcos

4、4x的最小正周期和最小值;并写出该函数在 0,上的单调递增区间解函数ysin4x2sin xcos xcos4x (sin2xcos2x)(sin2xcos2x)sin2x sin2xcos2x2sin(2x)故该函数的最小正周期是.当2x2k时,即xk时,y有最小值由于函数y2sin,ymin2,令2k2x2k,kZ.解得kxk,kZ.令k0时, x.又0x,0x, k1时, x又0x.x.故该函数的最小正周期是;最小值是2;单调递增区间是,. 变换:ysin xysinysinysin xysin(2x)ysin你知道上述两种变换过程的区别吗?应用7要得到函数ycos x的图象,只需将函数

5、ysin的图象上所有的点()A横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),再向左平行移动个单位长度 B横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再向右平行移动个单位长度 C横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平行移动个单位长度 D横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平行移动个单位长度解析将函数ysin(2x)图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得函数ysin(x)的图象;再向左平行移动个单位长度后便得ysin(x)cos x的图象故选C.答案C应用8将函数ysin(2x)的图象沿x轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则的一个可能取值为_. 【导学号:07804169

6、】ABC0D解析ysin(2x)ysinsin,由于所得函数为偶函数,则f(0)sin±1,kk,kZ,取k0得,故选A.答案A用待定系数法求函数yAsin(x)解析式由图中的最大值或最小值确定A,再由周期确定,由图象上“特殊点”的坐标来确定.特别提醒:将点的坐标代入解析式时,要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为x002k(kZ),其他依次类推即可应用9已知函数ysin(x)(0,)的图象如图4所示,则_.图4解析由图象可得T2,解之得.将代入ysin,得sin1,则2k,kZ,即2k,kZ.又,),. 答案.4三角恒等变换的切入点(1)角

7、的变换:可利用和、差、倍、半角公式;(2)名的互换:诱导公式、正切化正余弦公式;(3)次的变换:利用升、降幂公式;(4)形的变换:统一函数形式值得注意的是:在三角恒等变换中,要特别注意角的各种变换如:(),(), ;应用10已知sin(),则sin(2)_.解.(提示:设)注意sin cos ,sin cos ,sin cos 三者间的关系应用11已知,sin cos ,求的值解, 因为,sin cos ,所以sin cos ,sin cos ,所以原式.在三角函数的求值问题中,要特别关注角的范围,通常需要结合已知的三角函数值进一步缩小角的范围,以确定所求值的符号,这是此类问题中的难点应用12

8、设为第四象限的角,若,则tan2_. 【导学号:07804170】解析cos22cos22cos21cos2.又为第四象限角,即2k2k2,kZ,4k324k4,kZ,即2为第三、四象限角sin2.tan2.答案注意二倍角公式的变形,如: sin2,cos2.辅助角公式:asin xbcos xsin(x),其中tan.应用13已知函数f(x)sincoscos2 .(1) 将f(x)写成Asin(x)k的形式并求其图象对称中心的横坐标;(2) 如果ABC的三边,a,b,c成等比数列,且边b所对的角为x,试求x的取值范围及此时函数f(x)的值域解(1)f(x)sin,由sin0,即x k(kZ

9、)得x,kZ.即对称中心的横坐标为,kZ.(2)由已知b2ac,cos x,又xB(0,),0x,x(,sinsin1.<sin1, 即f(x)的值域为.5解三角形(1)正弦定理:2R;(2)余弦定理:a2b2c22bccos A,cos A;(3)内切圆半径:r;面积公式:Sabsin Cbcsin Acasin B;注意:你要会证明正弦定理和余弦定理应用14在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b,cos Asin B(csin A)cos(AC)0.(1)求角B的大小;(2)若ABC的面积为,求sin Asin C的值解(1)由cos Asin B(csinA)cos(

10、AC)0,得cos Asin B(csin A)cos B0,即sin(AB)ccos B,sin Cccos B,cos B,因为,所以cos B,即tan B,B.(2)由Sacsin B,得ac2,由b及余弦定理得()2a2c22accos Ba2c2ac(ac)23ac,所以ac3,所以sin Asin C(ac).(4)解三角形时,可能会出现多解的情况,一定要注意检验比如,在已知两边a,b及一边的对角A的情况下,如果A为锐角,那么可能出现以下情况(如图5). 图5absin Aabsin Absin Aabab 无解一解 两解一解应用15在ABC中,已知b6,c10,B30°

11、;,则解此三角形的结果有() 【导学号:07804171】A无解B一解C两解D一解或两解解析由正弦定理知sin C,又由c>b>csin B知,C有两解也可依已知条件,画出ABC(图略),由图知有两解故选C.答案C6向量共线基本定理:ab存在实数,使得ba(a0)x1y2x2y10应用16若a(2,2),则与a平行的单位向量的坐标为_答案,7平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数1,2,使a1e12e2.特别地,12,则121是三点P,A,B共线的充要条件应用17如图6,在ABC中,H为BC上异于B,C的任一点

12、,M为AH的中点,若,则_.图6解析由B,H,C三点共线,可令x(1x).又M是AH的中点,所以x(1x).又,所以x(1x).答案8夹角与数量积的关系(1)当为锐角时,a·b0,且a、b不同向,a·b>0是为锐角的必要不充分条件;(2)当为直角时,a·b0,但由a·b0,不能得到ab,还可能a0或b0.(3)当为钝角时,a·b0,且a、b不反向,a·b<0是为钝角的必要不充分条件应用18已知a(2,1),b(,1),R,a与b的夹角为.若为锐角,则的取值范围是_解析由为锐角,得a·b0,且a、b不同向0<

13、1,解得的取值范围是|>且2答案|>且29解决向量问题有两条途径:数的角度:利用平面向量基本定理,用两个基向量表示所求向量; 建系,利用坐标运算形的角度:利用向量运算的几何意义应用19如图7在ABC中,BAC120°,AB1,AC2,D为BC边上一点,2,则·_.图7答案10向量中常用的结论:(1) (,为实数),若1,则三点A、B、C共线;(2)在ABC中,若D是BC边的中点,则();(3)已知O,N,P在ABC所在平面内若|,则O为ABC的外心;若0,则N为ABC的重心;若···,则P为ABC的垂心应用20已知O是边长为1的正三

14、角形ABC的中心,则()·()_. 【导学号:07804172】解析取边长为1的等边ABC的边AB的中点为D,边AC的中点为E,则2,2,而由等边三角形的性质可得,OA2OD,ODAB,所以AOD,同理可得AOE,再根据ODOE·,可得()·()2·24·4××cos.答案查缺补漏·1点A(sin 2 018°,cos 2 018°)位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限C因为sin2 018°sin(11×180°38°)sin 38°

15、;<0,cos 2 018°cos(11×180°38°)cos 38°<0,所以点A(sin 2 018°,cos 2 018°)位于第三象限,选C.2若非零向量a,b满足|a|b|,且(ab)(3a2b),则a与b的夹角为()A.BC.DA(ab)(3a2b)(ab)·(3a2b)03a22b2a·b0a·bb2.cosa,ba,b.选A.3在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c2a,bsin Basin Aasin C,则sin B为()【导学号:0780417

16、3】A.BC.DA因为bsin Basin Aasin C,所以b2a2ac,c2a,a2c2b24a2ac3a2,cos B,由于0<B<,解得:sin B,故选A.4将函数f(x)sin(2x)的图象向右平移个单位,所得到的图象关于y轴对称,则函数f(x)在上的最小值为()A.BCDDf(x)sin(2x)向右平移个单位得到函数g(x)sinsin2x,此函数图象关于y轴对称,即函数g(x)为偶函数,则k,kZ.又|,所以,所以f(x)sin.因为0x,所以2x,所以f(x)的最小值为sin,故选D.5在ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若a2b22c2,则co

17、s C的最小值为()ABCDCcos C,又a2b22ab,2ab2c2.cos C.cos C的最小值为.6如图8,平行四边形ABCD中,AB2,AD1,A60°,点M在AB边上,且AMAB,则·等于()图8ABC1D1D,又,所以·()·()22·1·|·|cos 60°×1×2×1.7函数f(x)2sin(x)(0,0)的部分图象如图9所示,其中A,B两点之间的距离为5,则f(x)的单调递增区间是() 【导学号:07804174】图9A6k1,6k2(kZ)B6k4,6k1(kZ

18、)C3k1,3k2(kZ)D3k4,3k1(kZ)B|AB|5,|yAyB|4,|xAxB|3,即3,T6,.f(x)2sin过点(2,2),即2sin2,sin1,又0,解得,f(x)2sin,由2kx2k(kZ),得6k4x6k1(kZ),故f(x)的单调递增区间为6k4,6k1(kZ)故选B.8在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,O为ABC的外心,D为BC边上的中点,c4,·5,sin Csin A4sin B0,则cos A()A.BC.DC由题意O为ABC的外心,D为BC边上的中点,可得:(),·5,可得·()(·)(·

19、)5,同理,5,即5;c4,b2,又sin Csin A4sin B0,4bca,a4,由余弦定理可得:cos A,故选C.9已知cos ,sin(),0<<,0<<,则cos _.0<<且cos <cos ,<<.又0<<,<<,又sin()<,<<.cos(),sin .cos cos()cos()cos sin()sin .10当0x时,函数f(x)的最小值为_解析f(x)4tan x4,当且仅当tan x时取等号,所以最小值为4.答案411某同学用“五点法”画函数f(x)Asin(x)B(A

20、>0,>0,|<)在某一个周期内的图象时,列表并填入的部分数据如下表:xx1x2x3x02Asin(x)B14121(1)求函数f(x)的解析式;(2)若<<,f,求f的值. 【导学号:07804175】解(1)由题意可得,即.由题意可得,即函数f(x)的解析式为:f(x)3sin1(2)由f可得3sin1,化简得sin,f3sin13sin1 3sin16sin·cos1.又,cos,f6sincos16××1.12(20xx·青岛模拟)已知向量,a,b,实数k为大于零的常数,函数f(x)a·b,xR,且函数f(x)的最大值为.(1)求k的值;(2)在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,若<A<,f(A)0,且a2,求·的最小值解(1)由已知f(x)a·b·ksincoskcos2ksink·sin.因为xR,所以f(x)的最大值为,则k1.(2)由(1)知,f(x)sin,所以f(A)sin0化简得sin.因为<A<,所以<<.则,解得A.因为cos A,所以b2c2bc40,则b2c2bc402bcbc,所以bc20(2)则·|cosbc20(1)所以·的最小值为20(1)

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