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1、高考数学精品复习资料 2019.53.三角函数与平面向量要点重温·1三角函数的定义：在平面直角坐标系中，设的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r>0，那么sin ，cos ，tan (x0)特别地，当r1时，sin y，cos x，tan .应用1已知角的终边经过点P(3，4)，则sin cos 的值为_答案2弧长公式：l|R，扇形面积公式：SlR|R2,1弧度(1 rad)57.3°.应用2已知扇形的周长为8 cm，圆心角为2 rad，求该扇形的面积解设扇形的半径为r, 弧长为l，则有，解得 .故扇形的面积为Srl4 cm2.3关于函数yAsin(
2、x)，( A，>0)五点法作图；应用3函数f(x)sin x2|sin x|, x(0,2)的图象与直线yk有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是_答案(1,3)(要作出yf(x)的图象，运用数形结合的思想求解. ) 周期T.一般来说，周期函数加绝对值或平方，其周期减半如ysin2x, y|cos x|，但y|tan x|的周期是，y|sin x|cos x|的周期是；函数ysin(x2), ysin|x|都不是周期函数应用4函数y|sin x|cos x1的最小正周期与最大值分别为_. 【导学号：07804168】解析y 作出其图象(图略)知原函数的最小正周期为2，最大值为. 答案2
3、； 单调性和对称性：ysin x的单调递增区间为(kZ)；单调递减区间为(kZ)；对称轴为xk(kZ)；对称中心为(k，0)(kZ)ycos x的单调递增区间为2k， 2k(kZ)；单调递减区间为2k，2k(kZ)；对称轴为xk(kZ)；对称中心为(k，0)(kZ)ytan x的单调递增区间为(kZ)；对称中心为(kZ)应用5函数f(x)2sin，x，0的单调递减区间为_解析x，0，x，令zx，则z，正弦函数ysin z在上单调递增，由x得：x0.函数f(x)2sin在x，0的单调递增区间为.函数f(x)2sin在x，0的单调递减区间为.答案应用6求函数ysin4x2sin xcos xcos
4、4x的最小正周期和最小值；并写出该函数在 0，上的单调递增区间解函数ysin4x2sin xcos xcos4x (sin2xcos2x)(sin2xcos2x)sin2x sin2xcos2x2sin(2x)故该函数的最小正周期是.当2x2k时，即xk时，y有最小值由于函数y2sin，ymin2，令2k2x2k，kZ.解得kxk，kZ.令k0时， x.又0x，0x， k1时， x又0x.x.故该函数的最小正周期是；最小值是2；单调递增区间是，. 变换：ysin xysinysinysin xysin(2x)ysin你知道上述两种变换过程的区别吗？应用7要得到函数ycos x的图象，只需将函数
5、ysin的图象上所有的点()A横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度 B横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度 C横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度 D横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度解析将函数ysin(2x)图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得函数ysin(x)的图象；再向左平行移动个单位长度后便得ysin(x)cos x的图象故选C.答案C应用8将函数ysin(2x)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为_. 【导学号：07804169
6、】ABC0D解析ysin(2x)ysinsin，由于所得函数为偶函数，则f(0)sin±1，kk，kZ，取k0得，故选A.答案A用待定系数法求函数yAsin(x)解析式由图中的最大值或最小值确定A，再由周期确定，由图象上“特殊点”的坐标来确定.特别提醒：将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为x002k(kZ)，其他依次类推即可应用9已知函数ysin(x)(0，)的图象如图4所示，则_.图4解析由图象可得T2，解之得.将代入ysin，得sin1，则2k，kZ，即2k，kZ.又，)，. 答案.4三角恒等变换的切入点(1)角
7、的变换：可利用和、差、倍、半角公式；(2)名的互换：诱导公式、正切化正余弦公式；(3)次的变换：利用升、降幂公式；(4)形的变换：统一函数形式值得注意的是：在三角恒等变换中，要特别注意角的各种变换如：()，()， ；应用10已知sin()，则sin(2)_.解.(提示：设)注意sin cos ，sin cos ，sin cos 三者间的关系应用11已知，sin cos ，求的值解， 因为，sin cos ，所以sin cos ，sin cos ，所以原式.在三角函数的求值问题中，要特别关注角的范围，通常需要结合已知的三角函数值进一步缩小角的范围，以确定所求值的符号，这是此类问题中的难点应用12
8、设为第四象限的角，若，则tan2_. 【导学号：07804170】解析cos22cos22cos21cos2.又为第四象限角，即2k2k2，kZ，4k324k4，kZ，即2为第三、四象限角sin2.tan2.答案注意二倍角公式的变形，如： sin2，cos2.辅助角公式：asin xbcos xsin(x)，其中tan.应用13已知函数f(x)sincoscos2 .(1) 将f(x)写成Asin(x)k的形式并求其图象对称中心的横坐标；(2) 如果ABC的三边，a，b，c成等比数列，且边b所对的角为x，试求x的取值范围及此时函数f(x)的值域解(1)f(x)sin，由sin0，即x k(kZ
9、)得x，kZ.即对称中心的横坐标为，kZ.(2)由已知b2ac，cos x，又xB(0，)，0x，x(，sinsin1.<sin1， 即f(x)的值域为.5解三角形(1)正弦定理：2R；(2)余弦定理：a2b2c22bccos A，cos A；(3)内切圆半径：r；面积公式：Sabsin Cbcsin Acasin B；注意：你要会证明正弦定理和余弦定理应用14在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b，cos Asin B(csin A)cos(AC)0.(1)求角B的大小；(2)若ABC的面积为，求sin Asin C的值解(1)由cos Asin B(csinA)cos(
10、AC)0，得cos Asin B(csin A)cos B0，即sin(AB)ccos B，sin Cccos B，cos B，因为，所以cos B，即tan B，B.(2)由Sacsin B，得ac2，由b及余弦定理得()2a2c22accos Ba2c2ac(ac)23ac，所以ac3，所以sin Asin C(ac).(4)解三角形时，可能会出现多解的情况，一定要注意检验比如，在已知两边a，b及一边的对角A的情况下，如果A为锐角，那么可能出现以下情况(如图5). 图5absin Aabsin Absin Aabab 无解一解 两解一解应用15在ABC中，已知b6，c10，B30°
11、;，则解此三角形的结果有() 【导学号：07804171】A无解B一解C两解D一解或两解解析由正弦定理知sin C，又由c>b>csin B知，C有两解也可依已知条件，画出ABC(图略)，由图知有两解故选C.答案C6向量共线基本定理：ab存在实数，使得ba(a0)x1y2x2y10应用16若a(2，2)，则与a平行的单位向量的坐标为_答案，7平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.特别地，12，则121是三点P，A，B共线的充要条件应用17如图6，在ABC中，H为BC上异于B，C的任一点
12、，M为AH的中点，若，则_.图6解析由B，H，C三点共线，可令x(1x).又M是AH的中点，所以x(1x).又，所以x(1x).答案8夹角与数量积的关系(1)当为锐角时，a·b0，且a、b不同向，a·b>0是为锐角的必要不充分条件；(2)当为直角时，a·b0，但由a·b0，不能得到ab，还可能a0或b0.(3)当为钝角时，a·b0，且a、b不反向，a·b<0是为钝角的必要不充分条件应用18已知a(2,1)，b(，1)，R，a与b的夹角为.若为锐角，则的取值范围是_解析由为锐角，得a·b0，且a、b不同向0<
13、1，解得的取值范围是|>且2答案|>且29解决向量问题有两条途径：数的角度：利用平面向量基本定理，用两个基向量表示所求向量； 建系，利用坐标运算形的角度：利用向量运算的几何意义应用19如图7在ABC中，BAC120°，AB1，AC2，D为BC边上一点，2，则·_.图7答案10向量中常用的结论：(1) (，为实数)，若1，则三点A、B、C共线；(2)在ABC中，若D是BC边的中点，则()；(3)已知O，N，P在ABC所在平面内若|，则O为ABC的外心；若0，则N为ABC的重心；若···，则P为ABC的垂心应用20已知O是边长为1的正三
14、角形ABC的中心，则()·()_. 【导学号：07804172】解析取边长为1的等边ABC的边AB的中点为D，边AC的中点为E，则2，2，而由等边三角形的性质可得，OA2OD，ODAB，所以AOD，同理可得AOE，再根据ODOE·，可得()·()2·24·4××cos.答案查缺补漏·1点A(sin 2 018°，cos 2 018°)位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限C因为sin2 018°sin(11×180°38°)sin 38°
15、;<0，cos 2 018°cos(11×180°38°)cos 38°<0，所以点A(sin 2 018°，cos 2 018°)位于第三象限，选C.2若非零向量a，b满足|a|b|，且(ab)(3a2b)，则a与b的夹角为()A.BC.DA(ab)(3a2b)(ab)·(3a2b)03a22b2a·b0a·bb2.cosa，ba，b.选A.3在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c2a，bsin Basin Aasin C，则sin B为()【导学号：0780417
16、3】A.BC.DA因为bsin Basin Aasin C，所以b2a2ac，c2a，a2c2b24a2ac3a2，cos B，由于0<B<，解得：sin B，故选A.4将函数f(x)sin(2x)的图象向右平移个单位，所得到的图象关于y轴对称，则函数f(x)在上的最小值为()A.BCDDf(x)sin(2x)向右平移个单位得到函数g(x)sinsin2x，此函数图象关于y轴对称，即函数g(x)为偶函数，则k，kZ.又|，所以，所以f(x)sin.因为0x，所以2x，所以f(x)的最小值为sin，故选D.5在ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2b22c2，则co
17、s C的最小值为()ABCDCcos C，又a2b22ab，2ab2c2.cos C.cos C的最小值为.6如图8，平行四边形ABCD中，AB2，AD1，A60°，点M在AB边上，且AMAB，则·等于()图8ABC1D1D，又，所以·()·()22·1·|·|cos 60°×1×2×1.7函数f(x)2sin(x)(0,0)的部分图象如图9所示，其中A，B两点之间的距离为5，则f(x)的单调递增区间是() 【导学号：07804174】图9A6k1,6k2(kZ)B6k4,6k1(kZ
18、)C3k1,3k2(kZ)D3k4,3k1(kZ)B|AB|5，|yAyB|4，|xAxB|3，即3，T6，.f(x)2sin过点(2，2)，即2sin2，sin1，又0，解得，f(x)2sin，由2kx2k(kZ)，得6k4x6k1(kZ)，故f(x)的单调递增区间为6k4,6k1(kZ)故选B.8在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，O为ABC的外心，D为BC边上的中点，c4，·5，sin Csin A4sin B0，则cos A()A.BC.DC由题意O为ABC的外心，D为BC边上的中点，可得：()，·5，可得·()(·)(·
19、)5，同理，5，即5；c4，b2，又sin Csin A4sin B0，4bca，a4，由余弦定理可得：cos A，故选C.9已知cos ，sin()，0<<，0<<，则cos _.0<<且cos <cos ，<<.又0<<，<<，又sin()<，<<.cos()，sin .cos cos()cos()cos sin()sin .10当0x时，函数f(x)的最小值为_解析f(x)4tan x4，当且仅当tan x时取等号，所以最小值为4.答案411某同学用“五点法”画函数f(x)Asin(x)B(A
20、>0，>0，|<)在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：xx1x2x3x02Asin(x)B14121(1)求函数f(x)的解析式；(2)若<<，f，求f的值. 【导学号：07804175】解(1)由题意可得，即.由题意可得，即函数f(x)的解析式为：f(x)3sin1(2)由f可得3sin1，化简得sin，f3sin13sin1 3sin16sin·cos1.又，cos，f6sincos16××1.12(20xx·青岛模拟)已知向量，a，b，实数k为大于零的常数，函数f(x)a·b，xR，且函数f(x)的最大值为.(1)求k的值；(2)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若<A<，f(A)0，且a2，求·的最小值解(1)由已知f(x)a·b·ksincoskcos2ksink·sin.因为xR，所以f(x)的最大值为，则k1.(2)由(1)知，f(x)sin，所以f(A)sin0化简得sin.因为<A<，所以<<.则，解得A.因为cos A，所以b2c2bc40，则b2c2bc402bcbc，所以bc20(2)则·|cosbc20(1)所以·的最小值为20(1)
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