52常用统计分布

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1、二、概率分布的分位数二、概率分布的分位数三、内容小结三、内容小结第二节 常用统计分布第五章一、常见分布一、常见分布一.常见分布 (1)2 分布分布定义定义5.6 :设随机变量设随机变量nXXX,21独立同分布独立同分布,且每个且每个),(10NXi则称随机变量则称随机变量niinnXXXX12222212 所服从的分布为自由度为所服从的分布为自由度为n2 的的分布分布.记为记为).(nn22 自由度自由度:独立变量的个数独立变量的个数n随机变量随机变量2n 也称为也称为2 变量变量.其它002212122xexnxpxnn)()( (2)2 的概率密度的概率密度.)(2图图分布的概率密度曲线如

2、分布的概率密度曲线如n 性质性质1).(,),(),(2122121222121nnYYYYnYnY 则则立立独独并且并且设设)(2分布的可加性分布的可加性 (此性质可以推广到多个随机变量的情形此性质可以推广到多个随机变量的情形).(,), 2, 1(),(21212mmiiiiinnnYmiYnY 则则独立独立相互相互并且并且设设分布的性质分布的性质2 (3)性质性质2.2)(,)(),(2222nDnEnnnn 则则若若)(2分布的数学期望和方差分布的数学期望和方差 dtexnnPxntxnnn22212lim,),(222 有有则则对对任任意意设设性质性质3).2 ,().1 , 0(2

3、,222nnNNnnnnn近似近似进而进而近似服从近似服从很大时很大时当当也即也即分布分布分布的极限分布是正态分布的极限分布是正态即即).(,/,),(),1, 0(2ntTtnnYXTYXnYNX记为记为分布分布的的服从自由度为服从自由度为则称随机变量则称随机变量独立独立且且设设 t 分布又称分布又称学生氏学生氏(Student)分布分布.分布分布t2.(1)定义定义5.7图图分布的概率密度曲线如分布的概率密度曲线如t.0对称的对称的显然图形是关于显然图形是关于 t当当n充分大时充分大时, 其图其图形类似于标准正态形类似于标准正态变量概率密度的图变量概率密度的图形形. tntnnnthn,1

4、221)(212 分布的概率密度函数为分布的概率密度函数为)()2(nt(3) T的数字特征的数字特征)2(2)(, 0)( nnnTDTE,21)(lim22tneth 因为因为,)1 , 0(分布分布分布近似于分布近似于足够大时足够大时所以当所以当Ntn.)1 , 0(,分布相差很大分布相差很大分布与分布与但对于较小的但对于较小的Ntn).,(),(/,),(),(2121212212nnFFFnnnYnXFYXnYnX分分布布，记记为为的的服服从从自自由由度度为为则则称称随随机机变变量量独独立立且且设设 分分布布F3.(1)定义定义5.8其中其中1n称为第一自由度称为第一自由度,2n称为

5、第二自由度称为第二自由度.分布的概率密度为分布的概率密度为),()2(21nnF 其它其它, 00,1222)(2212112221212111ynynnnynnnnynnnn 曲线如图曲线如图分布的概率密度分布的概率密度F分布有以下性质分布有以下性质F)3().,(1),(1221nnFFnnFF则则若若1)(,)()()()(),(,)(4422222222212122222nnnnnnnFDnnnFE2)dtexFDFEFPxnnnFFtxn22121)()(lim,4),(221 有有对对任任意意时时则则当当设设3)这说明这说明F分布极限分布也是正态分布分布极限分布也是正态分布.二、概

6、率分布的分位数二、概率分布的分位数.,),10(9 . 5分分位位数数的的分分布布的的上上侧侧为为则则称称使使若若存存在在和和给给定定的的对对于于总总体体定定义义 XxxXPxX 1. 定义定义2. 常用分布的上侧分位数记号常用分布的上侧分位数记号 分布分布 N(0,1) t(n)F(n1,n2) 记号记号)(2n u)(2n )(nt ),(21nnF 3. 查表法查表法(1) 若若X的分布密度关于的分布密度关于y轴对称，则轴对称，则 xx 1 1 xyO x x特例：特例： uuN 1)1 , 0()1：)()(:)()21ntntnt ：正正态态分分布布的的上上侧侧分分位位数数 u)1满

7、足满足分位数分位数则其上侧则其上侧服从标准正态分布服从标准正态分布设设 uNX),1 , 0( )(uuXP 11xeuXPuxd2122 1)(u即即.2,的的值值可可查查得得由由附附表表给给定定 u050.u附表附表2-12-10250.u根据正态分布的对称性知根据正态分布的对称性知. uu1,645. 1 ,96. 1 附表附表2-22-2 1)(u0.950.975)05. 0( )025. 0( .)()(d)()(, 10,)(分位点分位点分布的上分布的上为为的点的点称满足条件称满足条件对于给定的对于给定的 ntnttthnttPnt .分位点的值分位点的值得上得上可以通过查表求可

8、以通过查表求 由分布的对称性知由分布的对称性知).()(1ntnt .)(,45 untn 时时当当2)t分布的上侧分位数分布的上侧分位数)(nt )10(05. 0t附表附表3-1,8125. 1 )15(025. 0t.1315. 2 附表附表3-2在在Matlab中求解中求解(2) 若若X的分布密度无对称性，的分布密度无对称性，:)()12n 460时时，可可查查表表当当 n.)()(d)()(, 10,22)(222分布的上侧分位数分布的上侧分位数为为的点的点称满足称满足对于给定的正数对于给定的正数nnyypnPn )8(2025. 0 )10(2975. 0 )25(21 . 0 附

9、表附表4-14-1(表表4只详列到只详列到 n=60 为止为止).,535.17 ,247. 3 附表附表4-24-2.382.34 附表附表4-34-3.2)(,2分位点分位点是标准正态分布的上是标准正态分布的上其中其中充分大时充分大时当当 uunnnn 例如：例如：64. 12401201202120)120(05. 0205. 0 u . 5 .145 费歇资料费歇资料费歇费歇(R.A.Fisher)公式：公式：.2)(602 unnnn 时，时，当当)12, 9(105. 0F ：),()221nnF . 851 . 0,05. 0,025. 0,01. 0可可直直接接查查表表等等，对

10、对于于 此外，还可利用关系此外，还可利用关系.),(1),(12211nnFnnF .1 FF 求得求得由由)9 , 21(59 . 0F如：如：8 . 21 .357. 0 )30,14(05. 0F.31. 2 附表附表 5)8 , 7(025. 0F附表附表 8,90. 4 戈塞特戈塞特 1899年年Gosset在英国都柏林在英国都柏林Guinness酿酒公司做酿酒酿酒公司做酿酒师，在对小样本进行质量控制的研究中发现了师，在对小样本进行质量控制的研究中发现了t分布，即分布，即著名的著名的Studentt分布。由于涉及商业机密，分布。由于涉及商业机密，Gosset便便以以学生学生为笔名发表

11、了这个研究成果。特别需要指出的为笔名发表了这个研究成果。特别需要指出的是，是，1908年年Gosset那篇论文的意义在于开创了小样本统那篇论文的意义在于开创了小样本统计的新纪元。但是他数学欠佳，并没有解决计的新纪元。但是他数学欠佳，并没有解决t检验的理论检验的理论和应用问题。他发现和应用问题。他发现t分布主要依靠随机数的抽样试验分布主要依靠随机数的抽样试验(包括使用扑克牌包括使用扑克牌)得出得出t分布曲线，因此成为用分布曲线，因此成为用Monte-Carlo方法说明统计规律的先行者。关于方法说明统计规律的先行者。关于t 检验理论的最检验理论的最后完善，后完善，Fisher，Neyman和和E Pearson作出了重要贡献，作出了重要贡献，或者说是理论指导实践的产物。正如后人评价的那或者说是理论指导实践的产物。正如后人评价的那样样:“Gosset提出实际问题提出实际问题, Fisher和和E Pearson将其转成统将其转成统计问题计问题, Neyman归纳为数学问题归纳为数学问题”。 费歇资料费歇资料Ronald Aylmer FisherBorn: 17 Feb 1890 in London, EnglandDied: 29 July 1962 in Adelaide, Australia