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1、高考数学精品复习资料 2019.5第2讲三角变换与解三角形考情解读(1)高考中常考查三角恒等变换有关公式的变形使用，常和同角三角函数的关系、诱导公式结合(2)利用正弦定理或余弦定理解三角形或判断三角形的形状、求值等，经常和三角恒等变换结合进行综合考查1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(±)sin cos ±cos sin .(2)cos(±)cos cos sin sin .(3)tan(±).2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 22sin cos .(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2.(3)tan 2.3三角恒
2、等式的证明方法(1)从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简(2)等式的两边同时变形为同一个式子(3)将式子变形后再证明4正弦定理2R(2R为ABC外接圆的直径)变形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C.sin A，sin B，sin C.abcsin Asin Bsin C.5余弦定理a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C.推论：cos A，cos B，cos C.变形：b2c2a22bccos A，a2c2b22accos B，a2b2c22abcos C.6面积公式SABCbcsin Aacsin Babsin C.
3、7解三角形(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解(4)已知三边，利用余弦定理求解.热点一三角变换例1(1)已知sin()sin ，<<0，则cos()_.(2)(20xx·课标全国)设(0，)，(0，)，且tan ，则2_.思维启迪(1)利用和角公式化简已知式子，和cos()进行比较(2)先对已知式子进行变形，得三角函数值的式子，再利用范围探求角的关系答案(1)(2)解析(1)sin()sin ，<<0，sin cos ，sin cos ，cos(
4、)cos cossin sincos sin .(2)由tan 得，即sin cos cos cos sin ，sin()cos sin()(0，)，(0，)，(，)，(0，)，由sin()sin()，得，2.思维升华(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解设函数f(x)cos(2x)sin2x.(
5、1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；(2)若是第二象限角，且f()0，求的值解(1)f(x)cos(2x)sin2xcos 2xcossin 2xsinsin 2x.所以f(x)的最小正周期为T，最大值为.(2)因为f()0，所以sin 0，即sin ，又是第二象限角，所以cos .所以.热点二解三角形例2在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足a2sin A，0.(1)求边c的大小；(2)求ABC面积的最大值思维启迪(1)将0中的边化成角，然后利用和差公式求cos C，进而求c.(2)只需求ab的最大值，可利用cos C和基本不等式求解解(1)0，ccos B2acos C
6、bcos C0，sin Ccos Bsin Bcos C2sin Acos C0，sin A2sin Acos C0，sin A0，cos C，C(0，)，C，c·sin C.(2)cos C，a2b2ab3，3ab3，即ab1.SABCabsin C.ABC面积的最大值为.思维升华三角形问题的求解一般是从两个角度，即从“角”或从“边”进行转化突破，实现“边”或“角”的统一，问题便可突破几种常见变形：(1)abcsin Asin Bsin C；(2)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，其中R为ABC外接圆的半径；(3)sin(AB)sin C，cos(AB)cos
7、C.(1)ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin Bbcos2Aa，则_.(2)(20xx·江西改编)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2(ab)26，C，则ABC的面积是_答案(1)(2)解析(1)因为asin Asin Bbcos2Aa，由正弦定理得sin2Asin Bsin Bcos2Asin A，即sin Bsin A，即，.(2)c2(ab)26，c2a2b22ab6.C，c2a2b22abcos a2b2ab.由得ab6.SABCabsin C×6×.热点三正、余弦定理的实际应用例3(20xx
8、83;江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量cos A，cos C.(1)求索道AB的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？思维启迪(1)直接求sin B，
9、利用正弦定理求AB.(2)利用余弦定理和函数思想，将甲乙距离表示为乙出发后时间t的函数(3)利用正弦定理求BC，将两位游客互相等待的时间不超过3分钟用不等式表示解(1)在ABC中，因为cos A，cos C，所以sin A，sin C.从而sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C××.由正弦定理，得AB×sin C×1 040(m)所以索道AB的长为1 040 m.(2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t
10、)22×130t×(10050t)×200(37t270t50)，由于0t，即0t8，故当t min时，甲、乙两游客距离最短(3)由正弦定理，得BC×sin A×500(m)乙从B出发时，甲已走了50×(281)550(m)，还需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为v m/min，由题意得33，解得v，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内思维升华求解三角形的实际问题，首先要准确理解题意，分清已知与所求，关注应用题中的有关专业名词、术语，如方位角、俯角等；其次根据题意画
11、出其示意图，示意图起着关键的作用；再次将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识建立数学模型，从而正确求解，演算过程要简练，计算要准确；最后作答如图，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A地侦察发现，在南偏东60°方向的B地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C地行驶，企图抓捕正在C地捕鱼的中国渔民此时，C地位于中国海监船的南偏东45°方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的速度赶往C地救援我国渔民，能不能及时赶到？(1.41，1.73，2.45)解如图，过点A作ADBC，交BC的延长线于点D.因为CAD4
12、5°，AC10海里，所以ACD是等腰直角三角形所以ADCDAC×105(海里)在RtABD中，因为DAB60°，所以BDAD×tan 60°5×5(海里)所以BCBDCD(55)(海里)因为中国海监船以每小时30海里的速度航行，某国军舰正以每小时13海里的速度航行，所以中国海监船到达C点所用的时间t1(小时)，某国军舰到达C点所用的时间t20.4(小时)因为<0.4，所以中国海监船能及时赶到1求解恒等变换问题的基本思路一角二名三结构，即用化归转化思想“去异求同”的过程，具体分析如下：(1)首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常
13、用变换形式，角的变换是三角函数变换的核心(2)其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦”(3)再次观察代数式的结构特点2解三角形的两个关键点(1)正、余弦定理是实现三角形中边角互化的依据，注意定理的灵活变形，如a2Rsin A，sin A(其中2R为三角形外接圆的直径)，a2b2c22abcos C等，灵活根据条件求解三角形中的边与角(2)三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“三角形的内角和等于”和诱导公式可得到sin(AB)sin C，sin cos 等，利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题等3利用正弦定理、余弦定理解决实际问题的关键是如何将实际问题转化为数学问题，
14、抽象出三角形模型.真题感悟1(20xx·浙江改编)已知R，sin 2cos ，则tan 2_.答案解析sin 2cos ，sin24sin ·cos 4cos2.用降幂公式化简得：4sin 23cos 2，tan 2.2(20xx·江苏)若ABC的内角满足sin Asin B2sin C，则cos C的最小值是_答案解析由sin Asin B2sin C，结合正弦定理得ab2c.由余弦定理得cos C，故cos C<1，且3a22b2时取“”故cos C的最小值为.押题精练1在ABC中，已知tan sin C，给出以下四个结论：1；1<sin Asin
15、 B；sin2Acos2B1；cos2Acos2Bsin2C.其中一定正确的是_答案解析依题意，tan sin C.sin C0，1cos(AB)1，cos(AB)0.0<AB<，AB，即ABC是以角C为直角的直角三角形对于，由1，得tan Atan B，即AB，不一定成立，故不正确；对于，AB，sin Asin Bsin Acos Asin(A)，1<sin Asin B，故正确；对于，AB，sin2Acos2Bsin2Asin2A2sin2A，其值不确定，故不正确；对于，AB，cos2Acos2Bcos2Asin2A1sin2C，故正确2在ABC中，角A，B，C所对的边分
16、别为a，b，c，q(2a,1)，p(2bc，cos C)，且qp.(1)求sin A的值；(2)求三角函数式1的取值范围解(1)q(2a,1)，p(2bc，cos C)且qp，2bc2acos C，由正弦定理得2sin Acos C2sin Bsin C，又sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，sin Ccos Asin C.sin C0，cos A，又0<A<，A，sin A.(2)原式1112cos2C2sin Ccos Csin 2Ccos 2Csin(2C)，0<C<，<2C<，<sin(2C)1，1<sin(
17、2C)，即三角函数式1的取值范围为(1，(推荐时间：60分钟)一、填空题1(20xx·浙江改编)为了得到函数ysin 3xcos 3x的图象，可以将函数ycos 3x的图象向_平移_个单位答案右解析因为ysin 3xcos 3xsin(3x)sin3(x)，又ycos 3xsin(3x)sin3(x)，所以应由ycos 3x的图象向右平移个单位得到2(20xx·无锡质检)已知(，)，sin()，则cos _.答案解析(，)(，)sin()，cos()，cos cos()cos()cossin()sin()××.3在ABC中，若3，b2a2ac，则cos
18、B的值为_答案解析由正弦定理得3，由余弦定理得cos B×.4(20xx·陕西改编)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为_答案直角三角形解析由bcos Cccos Basin A，得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A，即sin(BC)sin2A，所以sin A1，由0<A<，得A，所以ABC为直角三角形5已知tan ，sin()，其中，(0，)，则sin 的值为_答案解析依题意得sin ，cos .注意到sin()<sin ，因此有>(否则，若，则有0<<
19、;，0<sin <sin()，这与“sin()<sin ”矛盾)，则cos()，sin sin()sin()cos cos()sin .6已知ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且tan B，·，则tan B等于_答案2解析由题意得，·|·|cos Baccos B，即cos B，由余弦定理，得cos Ba2c2b21，所以tan B2.7已知tan，且<<0，则_.答案解析由tan，得tan .又<<0，可得sin .故2sin .8在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2c22b，且sin
20、 Acos C3cos Asin C，则b_.答案4解析由sin Acos C3cos Asin C得·3··，所以a2b2c23(b2c2a2)，a2c2，解方程组，得b4.9已知0<<<<，cos()，sin()，则cos()_.答案解析因为0<<<<，所以<<，<<.所以sin()>0，cos()<0.因为cos()，sin()，所以sin()，cos().所以cos()cos()()cos()cos()sin()sin()××.10如图，嵩山上原有一条笔
21、直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角ABC为120°；从B处攀登400米到达D处，回头看索道AC，发现张角ADC为150°；从D处再攀登800米方到达C处，则索道AC的长为_米答案400解析如题图，在ABD中，BD400米，ABD120°.因为ADC150°，所以ADB30°.所以DAB180°120°30°30°.由正弦定理，可得.所以，得AD400(米)在ADC中，DC800米，ADC150°，由余弦定理，可得AC2AD2CD22×AD
22、15;CD×cosADC(400)280022×400×800×cos 150°4002×13，解得AC400(米)故索道AC的长为400米二、解答题11(20xx·安徽)设ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b3，c1，A2B.(1)求a的值；(2)求sin的值解(1)因为A2B，所以sin Asin 2B2sin Bcos B.由正、余弦定理得a2b·.因为b3，c1，所以a212，a2.(2)由余弦定理得cos A.由于0<A<，所以sin A .故sinsin Acos cos
23、Asin××.12已知函数f(x)4cos x·sin(x)1(>0)的最小正周期是.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)求f(x)在，上的最大值和最小值解(1)f(x)4cos x·sin(x)12sin xcos x2cos2x1sin 2xcos 2x2sin(2x)最小正周期是，所以，1，从而f(x)2sin(2x)令2k2x2k，kZ.解得kxk，kZ.所以函数f(x)的单调递增区间为k，k(kZ)(2)当x，时，2x，在x处f(x)取得最小值f()2sin.因为sin2sincos，且sin2cos1，所以f()2sin；在x处f(x)取得最大值f()2sin2，故f(x)2sin(2x)，2，所以f(x)在，上的最大值和最小值分别为2，.13已知角A、B、C是ABC的三个内角，若向量m(1cos(AB)，cos)，n(，cos)，且m·n.(1)求tan Atan B的值；(2)求的最大值解(1)m·ncos(AB)cos2cos Acos Bsin Asin B，cos Acos B9sin Asin B，得tan Atan B.(2)tan(AB)(tan Atan B)2.(tan Atan B>0，A，B均是锐角，即其正切值均为正)tan Ctan(AB)，所求最大值为.
高考数学理科二轮复习【专题3】三角变换与解三角形含答案
