高考数学考纲解读及热点难点试题演练【专题15】二项式定理及数学归纳法含解析

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1、高考数学精品复习资料 2019.520xx高考对本内容的考查主要有：(1) 二项式定理的简单应用，B级要求；(2)数学归纳法的简单应用，B级要求 1二项式定理(1)二项式定理：(ab)nCanCan1bCanrbrCbn，上式中右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，其中C(r1,2,3，n)叫做二项式系数，式中第r1项叫做展开式的通项，用Tr1表示，即Tr1Canrbr；(2)(ab)n展开式中二项式系数C(r1,2,3，n)的性质：与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即CC；CCCC2n；CCCC2n1.来源:2二项式定理的应用(1)求二项式定理中有关系数的和通常用“赋值法”(2)

2、二项式展开式的通项公式Tr1Canrbr是展开式的第r1项，而不是第r项3数学归纳法运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立，第二步是归纳递推(或归纳假设)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立，只要完成这两步，就可以断定命题对从n0开始的所有的正整数都成立，两步缺一不可4数学归纳法的应用(1)利用数学归纳法证明代数恒等式的关键是将式子转化为与归纳假设的结构相同的形式，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论(2)利用数学归纳法证明三角恒等式时，常运用有关的三角知识、三角公式，要掌握三角变换方法(3)利用

3、数学归纳法证明不等式问题时，在由nk成立，推导nk1成立时，过去讲的证明不等式的方法在此都可利用(4)用数学归纳法证明整除性问题时，可把nk1时的被除式变形为一部分能利用归纳假设的形式，另一部分能被除式整除的形式. (5)解题时经常用到“归纳猜想证明”的思维模式考点1、二项式定理的应用来源:【例1】已知an(1)n(nN*)(1)若anab(a，bZ)，求证：a是奇数；(2)求证：对于任意nN*都存在正整数k，使得an.【变式探究】已知数列an的首项为1，p(x)a1C(1x)na2Cx(1x)n1a3Cx2(1x)n2anCxn1(1x)an1Cxn(1)若数列an是公比为2的等比数列，求p

4、(1)的值；(2)若数列an是公比为2的等差数列，求证：p(x)是关于x的一次多项式 (2)证明若数列an是公差为2的等差数列，则an2n1.p(x)a1C(1x)na2Cx(1x)n1anCxn1(1x)an1CxnC(1x)n(12)Cx(1x)n1(14)Cx2(1x)n2(12n)CxnC(1x)nC1nx(1x)n1Cx2(1x)n2Cxn2Cx(1x)n12Cx2(1x)n2Cxn考点2、数学归纳法的应用【例2】记的展开式中，x的系数为an，x2的系数为bn，其中nN*.(1)求an；(2)是否存在常数p，q(pq)，使bn，对nN*，n2恒成立？证明你的结论【方法技巧】 运用数学

5、归纳法证明命题P(n)，由P(k)成立推证P(k1)成立，一定要用到条件P(k)，否则不是数学归纳法证题来源:【变式探究】已知ABC的三边长都是有理数(1)求证：cos A是有理数；(2)求证：对任意正整数n，cos nA是有理数1求证：122225n1能被31整除【证明】1225n132n1(311)n131nC31n1C31C131nC31n1C3131(31n1C31n2C)，31n1，C31n2，C都是整数，原式可被31整除来源:2已知n的展开式的二项式系数之和比(ab)2n的展开式的系数之和小240，求n的展开式中系数最大的项3已知(1x)na0a1(x1)a2(x1)2an(x1)

6、n(nN*)(1)求a0及Sna1a2a3an；(2)试比较Sn与(n2)2n2n2的大小，并说明理由假设当nk(k4)时结论成立，即3k(k1)2k2k2，4已知多项式f(n)n5n4n3n.(1)求f(1)及f(2)的值；(2)试探求对一切整数n，f(n)是否一定是整数？并证明你的结论m5m4m3mf(m)m4是整数综上，对一切整数n，f(n)一定是整数5.如图，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，Pn(xn，yn)(0y1y2yn)是曲线C：y23x(y0)上的n个点，点Ai(ai,0)(i1,2,3，n)在x轴的正半轴上，且Ai1AiPi是正三角形(A0是坐标原点)(1)写出a1，

7、a2，a3；(2)求出点An(an,0)(nN*)的横坐标an关于n的表达式来源:6对于定义域为A的函数f(x)，如果任意的x1，x2A，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则称函数f(x)是A上的严格增函数；函数f(k)是定义在N*上，函数值也在N*中的严格增函数，并且满足条件f(f(k)3k.(1)证明：f(3k)3f(k)；(2)求f(3k1)(kN*)的值；(3)是否存在p个连续的自然数，使得它们的函数值依次也是连续的自然数；若存在，找出所有的p值，若不存在，请说明理由【解析】解(1)证明：对kN*，f(f(k)3k，ff(f(k)f(3k)由已知f(f(k)3k，ff(f(k)3f(k)，由、f(3k)3f(k)