三角形的中位线经典课件

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1、判判定定文字语言文字语言图形语言图形语言 符号语言符号语言定定义义两组对边分别平行的两组对边分别平行的四边形是平行四边形四边形是平行四边形ABCD,ADBC 是平行四边形是平行四边形定定理理两组对边分别相等的两组对边分别相等的四边形是平等四边形四边形是平等四边形AB=CD,AD= BC 是平行是平行四边形四边形定定理理对角线互相平分的四对角线互相平分的四边形是平行四边形边形是平行四边形OA=OC,OB=OD 是平行是平行四边形四边形推推论论两组对角分别相等的两组对角分别相等的四边形是平行四边形四边形是平行四边形A=C,B=D是平行四边形是平行四边形O从边来判定从边来判定1、两组对边分别平行的四

2、边形是平行四边形、两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形、两组对边分别相等的四边形是平行四边形3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形从角来判定从角来判定两组对角分别相等的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形从对角线来判定从对角线来判定两条对角线互相平分的四边形是平行四边形两条对角线互相平分的四边形是平行四边形平行四边形的判定方法平行四边形的判定方法（1）如图，）如图，SBC AECD AFBCDFEA（2）同底（等底）同高（等高）的）同底（等底）同高（等高）的 平行四边形面积相等。平行四边形面

3、积相等。BCDFEA练习：练习：2、如图，在、如图，在ABCD中，中，AEBC于于E， AFCD于于F，ADC60，BE2， CF1. 求求DEC的面积的面积.BCDFEA练习：练习：3、如图，、如图，O是是ABCD的对角线的对角线AC的中点，的中点， 过点过点O的直线的直线EF分别交分别交AB、CD于于E、F两两 点点. 求证：四边形求证：四边形AECF是平行四边形是平行四边形.OFBCDEA练习：练习：4、如图，、如图， AC是是ABCD的一条对角线，的一条对角线， BMAC， NDAC，垂足分别是，垂足分别是M、N . 求证：四边形求证：四边形BMDN是平行四边形是平行四边形.BCDNM

4、A回顾与联想：回顾与联想： ABCD(1) ABCD, BCAD(2) AB=CD，BC=AD(4) A= C ， B= D(5) AO=OC, BO=OD平行四边形的判定方法平行四边形的判定方法现有一张三角形纸片，你能通过裁剪，将它拼现有一张三角形纸片，你能通过裁剪，将它拼成一个平行四边形吗？成一个平行四边形吗？问题问题1：需要把三角形剪成几块？需要把三角形剪成几块？问题问题2：如何将剪开的部分拼成一个平行四边形？如何将剪开的部分拼成一个平行四边形？ABCDEADEFABCDEFDE=EF 、AED=CEF 、AE=ECADE CFE证明：证明：如如 图，延图，延 长长DE 到到 F，使，使

5、EF=DE ，连，连 结结CF.AD=FC 、A=ECFABFC又又AD=DB BD CF且且 BD =CF所以所以 ，四边形，四边形BCFD是平行四边形是平行四边形还有另外的还有另外的证法吗？证法吗？DFBC，DFBC又又12DEDF 12DEBC即即DEBC例例1、如图，点如图，点D、E分别是分别是ABC的边的边AB、AC的中点，求证的中点，求证DEBC且且DE= BC12位置关系位置关系数量关系数量关系2DE=BCFE连结三角形两边中点的线段叫连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线三角形的中位线。思考：思考：1、一个三角形有几条中位线？、一个三角形有几条中位线？2、这三条中位线把三角形

6、分成几个三角形？、这三条中位线把三角形分成几个三角形？ABCD例如：例如：DE是是ABC的中的中位线位线3条条四个四个 三角形的中位线与三角形的中线有三角形的中位线与三角形的中线有什么区别？什么区别？EDCBAFCBA 中位线是中位线是两条边中点两条边中点的连线，而中线是的连线，而中线是一一个顶点个顶点和对边和对边中点中点的连线。的连线。1、如图在等边、如图在等边ABC中，中，AD=BD，AE=EC，BCDEAADE是什么三角形？是什么三角形？DE与与BC有什么样关系？有什么样关系？等边三角形等边三角形21DEBC 一般的三角形的中位线与第三边也存在一般的三角形的中位线与第三边也存在这样的关系

7、吗？这样的关系吗？DE是是ABC的什么线？的什么线？中位线中位线ABCDEF又又DE=EF 1=2ADE CFE证明：如证明：如 图，延图，延 长长DE 到到 F，使，使EF=DE ，连，连 结结CF.AD=FC 、A=ECFABFC又又AD=DB BD CF且且 BD =CF四边形四边形BCFD是平行四边形是平行四边形还还有有另另外外的的证证法法吗？吗？DFBC，DFBC又又12DEDF 12DEBC即即DEBC 例例4 4、已知：在、已知：在ABC ABC 中，中，DEDE是是ABC ABC 的中位线的中位线 求证：求证：DEBCDEBC，且，且DE= BCDE= BC 。 1212点点E

8、是是AC的中点的中点AE=ECABCEDF证明：如图，延长证明：如图，延长DE至至F,使使EF=DE，连接，连接CD、AF、CFAE=EC DE=EF四边形四边形ADCF是平行四边形是平行四边形AD FC又又D为为AB中点，中点，DB FC四边形四边形BCFD是平行四边形是平行四边形DE= BC/21又又DE DF21DEBCDE= BCCEDFBA证法三：过点证法三：过点C作作AB的平行线交的平行线交DE的延长线于的延长线于FCFAB，A=ECF又又AE=EC，AED=CEF ADE CFE AD=FC又又DB=ADDB=AD，DB = FCDB = FC四边形四边形BCFD是平行四边形是平

9、行四边形DE/ BC 且且DE=EF=1/2BC三角形中位线定理三角形中位线定理 三角形的中位线三角形的中位线平行于第三边平行于第三边，且，且等于等于第第三边三边的一半的一半。CABD E 用符号语言表示用符号语言表示DEDE是是ABCABC的中位线的中位线 DEBCDEBC，DE= BC.DE= BC.21（数量关系）（数量关系）（位置关系）（位置关系）归纳：归纳：主要用途：主要用途：(1)证明平行证明平行 (2)证明一条线段是另一条线证明一条线段是另一条线段的段的2倍或倍或212如图：在如图：在ABC中，中，DE是中是中位线。位线。 （1）若）若ADE=60，则，则B= ; （2）若）若B

10、C=8cm，则，则DE= cm. （3）DE +BC=12cm,则则BC=604D EABCD8cmcm巩固新知：巩固新知：.三角形的中位线三角形的中位线_第三边第三边,并且并且_第三边的第三边的_平行于平行于等于等于一半一半3若等腰若等腰ABC的周长的周长40cm,AB=AC=14cm,则中位线则中位线DE4 4. .如图如图, MN, MN为为ABCABC的中位线的中位线, ,若若ABC=61ABC=61则则AMN=AMN= , ,若若MN=12,MN=12,则则BC=BC= . .AMBCN 61 6124245. 5. 如图如图, , ABCABC中中,D,E,D,E分别为分别为AB,

11、AC AB,AC 的中点的中点, ,当当BC=10BC=10时时, ,则则DE=DE= . .5 5A AD DB BC CE E 6.6.如图如图, ,已知已知ABCABC中中,AB =3,AB =3,BC=3.4cm ,BC=3.4cm ，AC=4AC=4 且且D,E,FD,E,F分别为分别为AB,BC,ACAB,BC,AC边的中点边的中点, ,则则DEFDEF的周长是的周长是 . .ABCDEF F5.27、如下图：在、如下图：在Rt ABC中，中，A=90,D、E、F分别是各边中点分别是各边中点, AB=6cm，AC=8cm，则，则DEF的周长的周长= cm。12EFBACD 4.4.

12、如图如图, , MN MN 为为ABC ABC 的中位线的中位线, ,若若ABC ABC =61=61则则AMN AMN = = , , 若若MN MN =12 ,=12 ,则则BC BC = = . .AMBCN 61 6124248.如图， A 、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，怎样测出A、B两点的实际距离？根据是什么？ABCABCDEFGH已知：如图，在四边形已知：如图，在四边形ABCDABCD中，中，E E、F F、G G、H H分别分别是是ABAB、BCBC、CDCD、DADA的中点。的中点。求证：四边形求证：四边形EFGHEFGH是平行四边形是平行四边形。证明：

13、连结证明：连结ACAC AE=EB、CF=FB,(三角形中位线定理三角形中位线定理)21EFAC，EF= AC四边形四边形EFGH是平行四边形是平行四边形同理：同理： HGAC，HG= AC21EF HG，且EF=HG9、求证顺次连结四边形各边中点所得的四边形、求证顺次连结四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。是平行四边形。任意四边形四边中点连线所得的四边形一任意四边形四边中点连线所得的四边形一定是平行四边形。定是平行四边形。10.如图，点D、E、F分别是ABC的边AB、 BC、CA的中点，以这些点为顶点，你能在 图中画出多少个平行四边形？BAFEDC巩固练习巩固练习1.如图，点如图，点D、

14、E、F分别是分别是ABC的边的边AB、 BC、CA的中点，以这些点为顶点，你能的中点，以这些点为顶点，你能在在 图中画出多少个平行四边形？图中画出多少个平行四边形？BAFEDC 如图，如图，l l1 1 / l/ l2 2 ， 线段线段AB/CD/EF, AB/CD/EF, 且且点点A A、C C、E E在在l l1 1上，上，B B、D D、F F在在l l2 2上，则上，则ABAB、CDCD、EFEF的长短相等吗？为什么？的长短相等吗？为什么？l1l2EFCDAB夹在两平行线间的平行线段相等。夹在两平行线间的平行线段相等。l1l2EFCDAB 如图，如图，l l1 1 / l/ l2 2

15、，点点A A、C C、E E在在l l1 1上，上，线段线段ABAB、CDCD、EFEF都垂直与都垂直与l l2 2 ，垂足分别为，垂足分别为B B、D D、F F，则，则ABAB、CDCD、EFEF的长短相等吗？为什么？的长短相等吗？为什么？一条一条直线上的任一点直线上的任一点到到另一条直线的另一条直线的距离距离，叫做这，叫做这两条平行线间的距离两条平行线间的距离。平行线间的距离处处相等平行线间的距离处处相等它与点与点的它与点与点的距离、点到直距离、点到直线的距离的联线的距离的联系与区别系与区别如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCD的一组对边的一组对边AD、BC上截取上截取EFMN，连

16、接，连接EM、FN，EM和和FN有怎样的关系？为什么？有怎样的关系？为什么？ABCDEFMN 1.1.如图如图1,1,在在RtRtABCABC中，中，ACB=90ACB=90，点，点D,FD,F分别为分别为ACAC，BCBC的中点，的中点，CECE是斜是斜边的中线，如果边的中线，如果DF=3cmDF=3cm，则则CE=_cmCE=_cm。ABCDEF图图12.2.已知如图已知如图2 2，BDBD、CECE分别是分别是 ABCABC的外的外角角 平分线，过点平分线，过点A A作作AFBD,AG CEAFBD,AG CE，垂，垂足分别是足分别是F F、G G，连结，连结FGFG，延长，延长AFAF

17、、AGAG，与，与直线直线BCBC相交相交, ,求证求证: :FG=1/2FG=1/2（AB+BC+ACAB+BC+AC）ABCDEFGHHK直角三角形斜边上的中线等于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。斜边的一半。 思考题：思考题：已知如图：在已知如图：在ABC中，中，AB、BC、CA的中点分别是的中点分别是E、F、G，AD是高。求是高。求 证：证：EDG EFG。GFEDCBA分析：分析：EF是是ABC的中位线的中位线ACEF21DG是是RtADC斜边上的中线斜边上的中线ACDG21EFDG你还想到了什么？你还想到了什么？注意：注意：在处理问题时在处理问题时,要求要求出现出现及及有中点连

18、线而无三角形有中点连线而无三角形,要作辅助线要作辅助线产生三角形产生三角形有三角形而无中位线有三角形而无中位线,要要连结两边中点得中位线连结两边中点得中位线定定 理理 应应 用：用：定理为证明定理为证明平行关系平行关系提供了新的工具提供了新的工具定理为证明一条线段是另一条线段的定理为证明一条线段是另一条线段的2 2倍或倍或 1/21/2提供了一个新的途径提供了一个新的途径小结小结1、三角形中位线的定义、三角形中位线的定义2、三角形中位线定理、三角形中位线定理连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于三角形的中位

19、线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半第三边的一半3 3、两条平行线间的距离、两条平行线间的距离一条直线上的任一点到另一条直线的距离，一条直线上的任一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离叫做这两条平行线间的距离平行线间的距离处处相等平行线间的距离处处相等知识总结知识总结：1。判定定理判定定理：一：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形组对边平行且相等的四边形是平行四边形2.定义定义 ：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线3.三角形的中位线定理：三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。的第三边，且等于第三边的一半。4.4.