维随机向量的分布

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1、第三章第三章 随机向量随机向量从本讲起，我们开始第三章的学习从本讲起，我们开始第三章的学习.一维随机变量及其分布一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 由于从二维推广到多维一般无实质性的由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量困难，我们重点讨论二维随机变量 .它是第二章内容的推广它是第二章内容的推广.设设X,Y是定义在同一个样本空间是定义在同一个样本空间 上的随机上的随机变量，则称由它们构成的二维向量变量，则称由它们构成的二维向量(X,Y)为二维二维随机向量随机向量。二维随机变量二维随机变量(X,Y)的性质不仅与的性质不仅与X,Y各自的性各自的性随

2、机变量随机变量整体的统计规律性整体的统计规律性,我们引入我们引入联合分布联合分布3.1 二维随机变量的分布二维随机变量的分布质有关质有关,而且还依赖于它们之间的相互关系而且还依赖于它们之间的相互关系,因此因此必须把它们作为一个整体来研究必须把它们作为一个整体来研究.为了描述二维为了描述二维函函数数的概念的概念.一、二维随机向量及其联合分布一、二维随机向量及其联合分布定义定义1 设设(X，Y)为二维随机向量为二维随机向量, 对于任意对于任意x，称为称为(X，Y)的分布函数的分布函数,或称为或称为X与与Y的联合的联合),(),(yYxXPyxF y，二元函数，二元函数分布函数分布函数.注注 1)联

3、合分布函数联合分布函数),(),(yYxXPyxF 的概率意义的概率意义： XY),( yxO图图1落在以落在以),( yx为顶点的左为顶点的左下方的无穷矩形的概率下方的无穷矩形的概率.),(yxF是随机点是随机点),(YX),(22yxF 2)设设2121,yyxx ),(11yx),(22yx),(21yx),(12yxXYO),(2121yYyxXxP 则则),(12yxF ）21,(yxF ),(11yxF 3) 联合分布函数联合分布函数F(x,y)的基本性质：的基本性质：（1） F(x,y)关于关于x与与y是单调增函数是单调增函数.即，固定即，固定y,2121xxRxx ),(),(

4、21yxFyxF 有有固定固定x,2121yyRyy ),(),(21yxFyxF 有有; 1),(02 yxF）（3） 固定固定x,有有; 0),( xF固定固定y,有有; 0),( yF，0),( F，1),( F, 1),( yF但但 . 1),( xF（4）F(x,y)在间断点在间断点(x,y)上分别关于上分别关于x 和和 y 右连续右连续.例例1 已知二元函数已知二元函数 0001),(yxyxyxF问此问此F(x,y)是否是某个二维随机向量是否是某个二维随机向量(X,Y)的分的分布函数布函数? ?)1, 1()1, 2()2 , 1()2 , 2( FFFF010111 解解: :

5、 由于由于)21, 21( YXP所以所以F(x,y)不是某个二维随机向量不是某个二维随机向量(X,Y)的分的分布函数布函数. .二、离散型随机向量的联合分布律二、离散型随机向量的联合分布律定义定义2 如果二维随机向量的每一个分量如果二维随机向量的每一个分量X和和Y, 2 , 1;, 2 , 1,),( jipyYxXPijji称称为随机向量（为随机向量（X，Y）的）的联合概率分布律联合概率分布律。, 2 , 1;, 2 , 1 ji,),(jiyx型随机向量。若型随机向量。若 (X，Y)的所有可能值为的所有可能值为都是离散型随机变量，则称都是离散型随机变量，则称(X，Y)为离散为离散XY1x

6、2x1y2y11p12p离散型随机向量的联合分布律离散型随机向量的联合分布律nxmymp122p21pmp22np1np nmp ijijijpjip1, 2 , 1, 0二维随机变量（二维随机变量（X,Y）联合分布联合分布离散型离散型,),(ijjipyYxXP i, j =1,2, X和和Y 的联合概率函数的联合概率函数 ,)(kkpxXP k=1,2, 离散型离散型一维随机变量一维随机变量X, 0 kpkkp1k=1,2, X的概率函数的概率函数 例例2 袋中有袋中有5只球，其中只球，其中2只白球，只白球，3只黑球，只黑球， 第第一一次次取取到到黑黑球球第第一一次次取取到到白白球球10X

7、 第二次取到黑球第二次取到黑球第二次取到白球第二次取到白球10Y 试分别求出有放回和无放回取球情况下试分别求出有放回和无放回取球情况下(X,Y)的的取球两次，每次取一个球取球两次，每次取一个球,定义下列随机变量：定义下列随机变量：联合分布律。联合分布律。 离散型二维随机向量联合概率分布确定方法离散型二维随机向量联合概率分布确定方法: 1. 找出随机变量找出随机变量X和和Y的所有取值结果的所有取值结果,得得3. 列出联合概率分布表列出联合概率分布表.值对的概率值对的概率;2. 利用古典概型或概率的性质计算每个数利用古典概型或概率的性质计算每个数到到(X,Y)的所的所 有取值数对有取值数对; 例例

8、3 设随机变量设随机变量Y服从标准正态分布服从标准正态分布N(0,1)，)2 , 1(10 iiYiYXi令令求求(X1, X2)的联合概率分布。的联合概率分布。例例4 把一枚均匀硬币抛掷三次，设把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三为三次抛掷中正面出现的次数，而次抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出为正面出解：解：X所有可能取值为所有可能取值为0,1,2,3;Y所有可能取值为所有可能取值为P(X=0, Y=3)=(1/2)3=1/8P(X=1, Y=1)=3(1/2)3=3/8P(X=2, Y=0)=0P(X=3, Y=0)=1/8(X,Y)的概率函数的概率函数 .现次数与反面出现次数之差的绝对值，

9、求现次数与反面出现次数之差的绝对值，求0,1,2,3.P(X=0, Y=0)=0P(X=0, Y=i)=0, i=1,2,P(X=1, Y=0)=0P(X=1, Y=i)=0, i=2,3;P(X=2, Y=1)=3/8 P(X=2, Y=i)=0P(X=3, Y=i)=0, i=1,2,3XY0112008/ 1233000000000008/38/38/1XY012313008/ 38/ 3008/ 18/ 1三、连续型随机向量的联合密度函数三、连续型随机向量的联合密度函数定义定义3 对于二维随即向量对于二维随即向量(X,Y)的分布函数的分布函数),(yxF，如果存在一个非负可积函数，如果

10、存在一个非负可积函数f (x, y)使得对于使得对于,Ryx xydudvvufyxF),(),(有有称称(X,Y)是一个二维连续型随机向量，称是一个二维连续型随机向量，称f(x,y)为连续型二维随机向量为连续型二维随机向量(X,Y)的联合密的联合密度函数，记作度函数，记作(X，Y)f (x , y).注注 f (x, y)的基本性质：的基本性质：0),()1( yxf1),()2( dxdyyxf ),(),(00200yxfyxyxFyyxx 若若(X，Y)f (x, y)212122121,),(),(yyxxRyyxx 2121),(),(2121xxyydxdyyxfyYyxXxPo

11、xy2x1x2y1y D是平面上的一个区域，则随机点是平面上的一个区域，则随机点(X,Y)落在落在 DdxdyyxfDYXP),(),(区域区域D上的概率记作上的概率记作:oxyD 连续型二维随机向量连续型二维随机向量(X，Y)的联合分布函数的联合分布函数 xydudvvufyxF),(),(的概率意义是：以曲面的概率意义是：以曲面f (x, y)为顶面，以为顶面，以(x, y)为顶点的无穷矩形区域为底面的曲顶柱体的体积。为顶点的无穷矩形区域为底面的曲顶柱体的体积。 其它其它00, 0),()32(yxAeyxfyx例例5 设随机向量（设随机向量（X，Y）的联合密度函数为：）的联合密度函数为：

12、试求：试求：(1)常数常数A；，),()2(DYXP 其中其中D是如图是如图1的阴影部分；的阴影部分；（3）(X,Y)的联合分布函数的联合分布函数F (x, y).oxy32632 yxD例例6 设随机向量设随机向量(X，Y)的联合密度函数为：的联合密度函数为： 其其它它0,),(dycbxaAyxf其中其中a b, c d, 求常数求常数A。这就是这就是二维均匀分布二维均匀分布。 DyxDyxDSyxf),(0),()(1),(由此可将二维均匀分布推广：由此可将二维均匀分布推广：其中其中S(D)是平面上一个可以度量的有界区域是平面上一个可以度量的有界区域D匀分布。匀分布。的面积，则称随机向量

13、的面积，则称随机向量(X,Y)服从区域服从区域D上的均上的均三、边缘分布三、边缘分布定义定义4 二维随机向量二维随机向量(X,Y)中的每个随机变量中的每个随机变量X，)(),(yFxFYX，其中，其中关于关于X,Y的分布函数分别为的分布函数分别为Y的分布，称为随机向量的分布，称为随机向量(X,Y)的的边缘分布边缘分布。即。即)()(xXPxFX ),( YxXP),( xF)()(yYPyFY ),(yYXP ),(yF 由于由于X与与Y本身也是一个随机变量本身也是一个随机变量,因此也有各因此也有各自的分布函数自的分布函数,因此有：因此有： 例例7 设二维随机变量设二维随机变量(X，Y)的分布

14、函数为的分布函数为 其其它它, 00, 0,1),(yxeeeyxFxyyxyx称此分布为二维指数分布称此分布为二维指数分布,其中参数其中参数. 0 易得易得,关于关于X和和Y的边缘分布函数分别为的边缘分布函数分别为 0, 00,1),()(xxexFxFxX 0, 00,1),()(yyeyFyFyY 注意注意 边缘分布与参数边缘分布与参数 无关！这说明研究多维无关！这说明研究多维 正是整体的涌现正是整体的涌现,它反映了它反映了X与与Y之间存在着之间存在着们作为一个整体来研究们作为一个整体来研究.随机变量随机变量,仅仅研究边缘分布是不够仅仅研究边缘分布是不够,而必须将他而必须将他的某种关系的

15、某种关系. (1) 离散型随机向量的边缘分布离散型随机向量的边缘分布由于由于 1)(,jjiiyYxXPxXP 1,jjiyxP 1jijp故关于故关于X的边缘分布律为的边缘分布律为: 1jijiipxxPp同理关于同理关于Y的边缘概率密度为的边缘概率密度为 1iijjjpyYPp 可以将联合分布律与边缘分布律写成下述形式可以将联合分布律与边缘分布律写成下述形式:XYmnmnpppp11111xmx1yny ipjp 1 pnp mp 1p例例8 设二维随机变量设二维随机变量 的分布律为的分布律为),(YXY1y2yX1x2x0.1ab0.4已知已知.32)|(22 yYxXP试求常数试求常数

16、ba,的值的值.解解 由由14 . 01 . 0 ba|22yYxXP 解得解得3.0,2.0 ba,222yYPyYxXP 324 . 04 . 0 a iPjP a 1 . 0b 4 . 0b 1 . 0a 4 . 05 . 0 ba例例9 设设(X,Y)的联合概率分布表为的联合概率分布表为:Pi. . 0.250.250.40.40.350.35X-101Y 0 1 2 0.05 0.1 0.1 0.1 0.2 0.1 0.1 0.2 0.05p. .j0.250.50.25求求:X,Y的边缘分布的边缘分布; 解解:由分析得由分析得: X -1-1 0 1 P 0.25 0.4 0.35

17、Y 0 1 2P 0.25 0.5 0.25(2) 连续型随机向量的边缘分布连续型随机向量的边缘分布),()( xFxFX xdvduvuf),( xXduuf)( xdudvvuf),(所以所以,关于关于 的边缘概率密度为的边缘概率密度为:X dyyxfxfX),()(同理同理,关于关于 的边缘概率密度为的边缘概率密度为:Y dxyxfyfY),()(例例10 设设 的概率密度为的概率密度为),(YX)1)(1(),(22yxAyxf 求求1) 常数常数 ;A);0, 1() 3 YXP (X,Y)落在以落在以(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的正为顶点的正方形内概率方形内

18、概率;).(),(yfxfYX5) 边缘密度函数边缘密度函数),(yxF2)联合分布函数联合分布函数 ;解解 1) dxdyyxAdxdyyxf)1)(1 (),(122)11)(11(22dyydxxA 21 A yxAarctanarctan)2(2)2(2 A2 A2) xydudvvufyxF),(),( yxvuA arctanarctan xydudvvuA)1)(1 (22 2arctan2arctan12yx3) 10),(0, 1dxdyyxfYXPdxdyyx 10222)1)(1(11812412 012arctanarctan1 yx 设设D为如图所示的单位正为如图所示

19、的单位正Oyx11(1,1)D方形区域方形区域,则所求的概率为则所求的概率为 1010222)1)(1 (11dxdyyx10102arctan(arctan1yx ),(DYXP 22)4(1 161 5) dyyxfxfX),()( yxarctan)1(122同理同理)1 (1)(2yyfY )1(12x dyyx)1)(1(11222例例11 设随机向量设随机向量(X,Y)的联合密度函数为：的联合密度函数为： 其它其它0,)(1),(dycbxacdabyxf求边缘密度函数。求边缘密度函数。例例11 设设 (X,Y)的联合密度函数为的联合密度函数为 其其它它0, 106),(2xyxxyxf求边缘密度函数。求边缘密度函数。均匀分布，则它的两个边缘分布未必服从一维均匀分布，则它的两个边缘分布未必服从一维例例10、11说明说明:若若(X,Y)服从矩形区域服从矩形区域a,bc,d上的均匀分布，则它的两个边缘分布服从一维上的均匀分布，则它的两个边缘分布服从一维均匀分布，但如果均匀分布，但如果(X,Y)不是服从矩形区域上的不是服从矩形区域上的均匀分布。均匀分布。oxy)1 , 1(