2014参数的假设检验

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1、第五章参数假设检嬲舒懒朝触鲫蝴期建蠡鼠傩场前鹤验 笏豳嘉急你施差礴验第五章参数假设检验.假设检验的基本原理与检验步骤二.单个正态总体均值与方差的检验三.两个正态总体均值与方差的检验在本讲中，我们将讨论不同于参数估计 的另一类重要的统计推断问题.这就是根据样本的信息检验关于总体的某个假设是否正确.这类问题称作假设检验问题.参数假设检验假设检验E参数假设检验（一）一个例子例1某工厂生产10欧姆的电阻.根据以往生产的电阻实际情况,可以认为其电阻值XN" , Q2）,标准差。=0 .现在随机抽取10个电阻,测得它们的电阻值为:9. 9, 10. 1, 10. 2, 9. 7, 9. 9, 9

2、. 9, 10, 10. 5, 10, 1, 10. 2.试问:从这些样本,我们能否认为该厂生产的电阻的平均值pi为10欧姆?问题怎么建立:确定总体：记X为该厂生产的电阻的测量值. 根据假设,XN3, /),这里a=0. 1.明确任务：通过样本推断X的均值11是否等于10欧姆.Hypothesis :上面的任务就是要通过样本去检验“X的均值n二1 0这样一个假设是否成立,(在数理统计中把“X的均值以二1 0这样一个待检验的假设记作":T称为或零假设”原假设的对立面是“X的均值1171 0 ” 记作":诸10”称为“对立假设”或“备择假 设”.把它们合写在一起就是：Ho: 口

3、= 1 0 %:诸 10解决问题的思路分析:样本均值是u的一个良好估计.，如果u = 1即原假设成立时,那么：应该比较小.反之,如果它过于大,那么想必是原假设不成立.的大小可以用来检验原假设是 否成立.当合理的周X -出一个界限C,时,我们就接受原假设“ ,而当X -10 > c时,我们就拒绝原假设为这里的问题是,我们如何确定常数C呢细致的分析：n=10 n=0. 1于是，当原假设Ho: u= 1成立时，有:X -10八O.l/y/lO为确定常数C,现在我们考虑一个相当小的 正数a（理由下面讲）.例如a =0. 05.于是，当原假设Ho:1成立时，有：X -100.1/而即尸X -10

4、> Za/。/何）卜取 C = Z0/2 <01 /河）现在我们就得到检验准则如下:当X - 10 2 c时我们就拒绝原假设Ho:1 0 .而当X -10 < c时我们就接受原假设Ho:1 0 .其中c二Z,/2,（0l/W）X 10oj7Z/To称为检验统计量.X-10 >Za/2-(0.1/710)也即育强"a称为该检验的拒绝域.用以上检验准则处理我们的问题.计算得T = 10.05 /. 一工二？ =1.581 o.i/Vioc = 0.05 查表得Z0/2=L96，接受原假设Ho: u= 1 0 .(H)道理(小概率事件的构造)首先构造一个统计量，它包

5、含待检验参数，而当假 设成立时，它的分布是完全已知的.在引例中，假设“o : =4,则z =N(0,l).给定小概率%构造一个小概率事件4,满足P(A) = a.设Za为N(0,l)的双侧100a百分位点，则P|W > Za=%22, Z =>Za为小概率事件2回国回回若小概率事件4出现,则否定“0,反之则接受H小概率事件出现时，有旧 飞,或者声一闯Nzp上否定外,这个区域(-8, - U , 一)称为关于的否定域22注意：a越小，小概率事件越难出现否定“0的机会越小反之，否定“o的机会越大；所以称a为显著性水平在实际中，倾向于接受右,则a取小些;倾向于否定H0,4 .假设检验的一

6、般步骤(1)提出假设%: = o(2)选定显著性水平/选取合适的检验用统源(服从正态，力2/分布).(4)求出否定域以样本观察值计算出该统计量的观察值,若观察值落在否定域内,则拒绝假设;若观察值不落在否定域内,则接受假设.5 .两类错误第一类错误（弃真）：“°是正确的，通过取样检验后却否定了“o.显然P（AI%） = a,从而P（否定为真）=第二类错误（取伪）：“。不正确，通过取样检验后却接受了“o.诳（接物o I 4不真）=P.一般着重控制a,希望母。越小越好.理论上，自然希望犯这两类错误的概率都很小，但当样本容量固定时,不能同时都小，即变小时，密就变大；而画变小时,就变大.在实际

7、应用中，一般原则是：控制犯第一类错误的概率,即给定踽然后通过增大样本容量区来减小鹿关于显著性水平a的选取：若注重经济效益，可小些，如a = 0.01;若注重社会效益,可大些，如a = 0.1;若要兼顾经济效益和社会效益，一般可取a = 0.05.教材例85设总体¥阳内，）,其中o2=o：为已知而均值N只能取或内（伐0即）二者之一，X1,X2,X”是取自总体X的一个样本，检验假设: K = Ko，H: k =内犯第一类错误的概率Q = P 拒绝Hol"。为真"PlNZCIllullo尸三十二9¥小 /a/Col 7n而当H。为真时，即x 瓦N (0,1)Z

8、q =N =: Wo时，因而 a=l-0（，？ cr0/Vn=Po7n犯第二类错误的概率0 =尸接受H°l"。不真=尸接受H°ld为真=PX<CI|i = pJ1 =尸X /辛 < C 一胃 I N = %7rl ?o7rl而当修为真时，即(1 =由时，三5N (0,1) °o/因而Qo/Wl% 一Oo/M两类错误是互相关联的，当样本容量固定时,一类错误概率的减少导致另一类错误概率的 增加某厂生产的一种螺钉,标准要求长度是68 实际生产的产品,其长度服从正态分布例:mm.N(,36),考虑假设检验问题H0:/ = 68, Hi：w68设 为样

9、本均值，按下列方式进行假设检验:IX-681>1IX-681<1时，拒绝假设时，接受假设%；4（1）当样本容量血时,求犯第一类错误的概率a；当时,求犯第一类错误的概率当我不成立（设4 = 70),。时，按上述检验法，求犯第二类错误的概率B例2 (1)当样本容量n = 36,求犯第一错误的概率a；36所以36= N(,0.62),a =成立二尸<671%成立+尸%>691凡成立69-680.6=0(-1.67) + 1-0(1.67)=21-0(1.67)= 21- 0.9525 = 0.0950.例2 (2)当时，求犯第一类错误的概率 解当就时，有N(",0.

10、452),a =尸1/<671%成立+尸|>691”0成立可储冲-睛)=21 0(2.22)= 21-0.9868= 0.0264.:随着样本容量的增大，得到关于总体的信息更多，从而犯弃真错误的概率越小.例2 (3)当时，按上述检验法，求犯第二类错误的概率解当时,Y N(70,0.452),这时,I接受域为X w 67,69所以犯第二类错误的概率2(70) = P67<X <69<69-70I 0.45f67-70 I 0.45=0(2.22)-。(一6.67)：0(6.67)-0(222)=1 - 0.9868 =进一步，当n = 64, = 66时，同样可计算

11、得夕(66) = 0.0132;n = 64,4 = 68.5XN(685,0452).£(68.5) = P67<X < 69/ = 68.569 68.50.4567 68.50.45= <D(L11)-<D67-68.50.45= 0.8665-l-0.9995 = 0.8660.:由中可知,在样本容量确定的条件下,也的真 值越接近犯取伪错误的概率越大二.单个正态总体均值与方差的检验XN(N22)1 .一已知，检验关于的假设步骤:(这种方法称为Z检验)回回回回(1)提出假设“0 ： 二 0，耳(2)取定显著水平a选取统计最=消 NW)(4)由a查表得心,

12、其中(七)=1一得否定域Z|>Z«2计算观察儆=/,若I#十贝J否定"。.2 ./未知，检验关于"的假设步骤：(这种方法称为£检验)(1)提出假设以0 ： = 0，区："()(2)取定显著水平a选取统计黄=SNn(4)由a查表得一 1),得否定域|/|>(n-l) 计算观察值/ =若，之q(-1),则否定例1,某批矿砂的5个样品中的银含量经测定为(% %)：325,327,324,326,3.24,设测定值服从正态分布.问在a=0.01下能否接受假设：这批矿砂的平均银 含量为325解(1)彳发班°: = 3.25,H1：w

13、3.25(2)a = 0.01, = 5，« "o t(n 1)/4n(4)查表徵典(4) = %.oo5(4) = 4.6041.,否定域为I才4.60411 5而上=-£/=3252,5*11 5.否定域为 I/IN 4.6041S2 = -Xi-x)2 = 1.70 X 104 4=13.252-3.251.30乂10一2/Z/5=0,345任否定域接受假设"o,即认为这批矿砂的平均操含量为325例2已知某炼铁厂铁水的含碳量在正常情况下服从正态分布，即XN(4.55,0.1082),某日抽查5炉铁水得含碳量如下4.24.4 04.4 24.3 54

14、.3 7问：该日铁水含碳量有无显著性变化(«=0.05) ?解按题意需检验为 : = 4.55, H ： R 手 4.55选用z检验，无= 4.364,2 = Z0025 =L96,由z检验法2知拒绝域为I z 1=2 Zo.O25 = L96这里为 = 4.55, n = 5,经计算有4.36 4.550.108/a/5= 3.93 >1.96由于z落入拒绝域，故拒绝Ho,该日铁水含碳量 有显著性变化.注意 在假设“0 : =用下还有容许假设“1，其中外可能是% ： W例泣1: > 0；"1: "0 称“0为原假设,"1为备选假设 从而假设

15、检验一般有:双边检验:Ho : = JUq,H1 : n 手 No 右边检验: jli ="o，H : > o 即“0 : < 0，“1 : > 0 左边检验:以0 ： JU =40，% : V 0 即 “0 ： > 011 ：" < "0单边检验右边检验H o , "，"0'H、. fl > %左边检验% ： 2 %凡： < %PV / 少 F5-1) S/ yfn拒绝域为T>ta(n-1)拒绝域为T < -ta (n -1),未知，用,检验t = £( -1)SHnt&

16、gt;ta(n-1)M已知，用z检验 加曙=*令'（。,1） 双边检验I Z e Q右边检验左边检验z %1 工（"一1）例3 .已知用某种钢生产的钢筋的强度(kg/mm2)服从正态分布，且均值%=5200.今改变钢的配方，从新 法炼钢后生产的钢筋中抽取7根，测得强度为:52.45,48.51,56.02,51.53,49.02,53.38,54.04, 问新法所生产的钢筋其强度的均值u是否有明显的提高?(a=0.05)解(1)H0= No = 52.00, a1：No(2)a = 0.05, = 7(3)1 = 与 -1)AJn(4)查表得.05(6) = L94,.否定域

17、为£ > 1.941 7而上= -xz = 52.14,7 i=l1 7s2 = zX（XiT）2=（270）252七:52.00 = 0J372任否定域 %7接受”0,认为强度无明显提高3."未知，检验关于/的假设(这种方法叫/检验)(1)双边检验/ ：，= £,为 :，w加设统计量力2 =(?S 力2(则P/ >/或/ < %> = a,如图/.否定域为(0 </2< % . ( - 1)U (釐(n-l)</2< +co)1 22回回回回(2)右边检验/ :a2 =aH1:cr2 >(Jq 由尸/得否定域

18、化之之"s 1)左边检验% :，=加,% : b2 Vbm由?力2 V%)a =。得否定域始的1)回回叵回.测定某种溶液中的水分，由它的10个测定值算出x = 0.452(%) ,S=0.037,设测定值总体服从正态分布，试在5%的显著性水平下，分别检验假设：“。：|1 = 0.5;"1平0.5(2)H0: o = 0.04;0.04解(1) M未知,选和一其中。=0.05/= 10查表徼0.05=1.8331,.否定域为 -1.8331而”?=-4.1024 e否定域.否电U.UJ / / 710回回回回2选取,2 =疗，(”-1),其中幽”1。查表版M.05（9） =

19、Zo.95（9） = 3.325,.否定域为0</43.325而，* =锻察=7.史否定域接受”三.两个正态总体均值与方差的检验设X N（2，b；）分别有样本（占,玛，,一0与（丫1，为，,»，样本均值为Y与F,样本方差为S：与用.1.已知关于的检验已知（7；，5;，检验假设修。：4=N2，H:4* 2此时选取统计量=X-Ym n N(O,1)对于给定的小概率/有PI z>z = a画画回,否定域为I z l> z”其中(Z,) = 1-4 222类似地已知of,4检验假设Hq : M = %，H1:4> 2则否定域为z > Za淇中( ) = l-a已

20、知of,食，检验假设/ ：氏=2声1 ：4V 42 则否定域为z W -Z,其中(Zn=1 -。设X '(4,2)与丫N(2,2)分别有样本(芯,牙2，凡与(匕，/，%)，样本均值为丫与匕样本方差为S：与叶.2. 6；=0；=02未知,关于"1一 42的检验(l)b；=勇=，未知，检验假设"o :4=2，”1 :4，2此时选取统计量t_X-Y m nm +n-2-t(m+n-2)对于给定的小概率有P" IN晨 = 22.否定域为"I之，(加+ - 2)回回回画 乙类似地(2)b； =0-2 = b?未知，检验假设Bo ：出=2，81 ： 4 &g

21、t; 2则否定域为之心(加+ 2)(3)cr： =0-2 = )2未知，检验假设“0 :4=2，1 ： 4 V 2则否定域为，< ta(m + n 2)设X '（4,才）与丫 N（2,犬）分别有样本（占,王2，,一心）与（匕黑，一羽）， 样本均值为Y与F,样本方差为除与用.3. “I,由未知，关于的检验心2未知，检验假设% :苏=: b； W房52此时选取统计量F =号b（机-1/ -1）52对于给定的小概率以有尸尸24（加_1,”1）二名22OfPF<Fx_Sm-ln-Y）即夕/ > Fa（加1, 1）或/ < F ,（m-l,n-l） = ay_万-回回回回

22、,否定域为0<F < F._a(m - lyn -lyn-l)<F < +1-22类似地外,2未知，检验假设% : d =矍， : b： 食则否定域为厂Fa(m-l,n-l)(3)4,2未知，检验假设 : b： = b；,% : of V b；则否定域为/例4.今有两台机床加工同一零件，分别取6个及9个零件 测其口径，数据记为（必“2，6）及（，1，2，一为），66 ,计算得 =204.6,= 6978.93,1=11=199 cJ7.= 370.8, £=15280.173, j=lj=l假设零件口径服从正态分布，给定显著性水平a=0.05,问是否可以认为这

23、两台机床加工零件口径的方差无显著性的差异?解(l)“o b； =: b；，O-2(2)a = 0.05,/w = 6/ = 9回回回回（3）选虹=X b（机一 1/ 一 1）q2（4）查表得小（5,8）=居ms（5,8） = 4.82,2-= 0.148 冏）.025（8,5）工_姻（5,8）=为55（5,8）=2二.否定域为户 4.82或尸 0.1481 61而尺=-（£%" 6无2）= ±697893 -（204.6）2 = 0.4145 i=i5619S； = ：（E$9y2）b j=l=-15280.173 -（370.8）2 = 0.40162589回回

24、回回黑ri，任否定域接受"o,即认为这两台机床加2零件口径的方差无显著性差异例5.某香烟厂生产两种香烟，独立地随机抽取容量大 小相同的烟叶标本测其尼古丁含量的毫克数，实 验室分别作了6次测定，数据记录如下：甲：25, 28, 23, 26, 29, 22乙：28, 23, 30, 25, 21, 27试问这两种香烟的尼古丁含量有无显著性差异？给定显著性水平a=0.05,假设含量服从正态分布并具有公共方差.解(1)“0 :从L =: W 42(2)a = 0.05即=n =6选和=t(mn-2)x-yTl 回 T忌+(T)S； m n m+n-2(4)查表徵 a (m + - 2) =

25、 % 025(10) = 2.2281 2.,否定域为"22.2281(5)而上=25.5, y = 25.67,S： = 7.5, Sj = 11.067例=-0.0970否定域接受”0,即认为这两种香烟的尼古丁含量无显著性差异例6:研究机器A和机器B生产的钢管的内径,随机抽取机器A生产的管子18只，测得样本方差=0.34（mm2）；抽取机器B生产的管子13只,测得样本方差0.29（mm2）o设两样本相互独立，且设由机器A,机器B生产的管子的内径分别服 从正态分布N（43；） ,N（2,o；），这里出q2（j二1J）均未知。作假设检验：（取。=0.1）it2 Tj t _ 2 K

26、2Il q . (7 j - 0,0).解：此处ni = 18)/l213Ja(18-l,13-l) = F0,1(17,12) = 1.96由(3.4)式拒绝域为、之 1.96.现在S；二 0.34,S；= 0.29,5.72 = L17 < 1.961乙1，乙故接受Ho.三、假设检验的两类错误假设检验会不会犯错误呢?由于作出结论的依据是下述小概率原理不是一定不发生基本上如果为成立，但统计量的实测值落入否定 域，从而作出否定外的结论，那就犯了 “以真 为假”的错误.如果为不成立，但统计量的实测值未落 入否定域，从而没有作出否定外的结论，即 接受了错误的“0,那就犯了 “以假为真”的错误

27、.请看下表假设检验的两类错误实际1青况决定%为真为不真拒正确接受外正确犯两类错误的概率:P拒绝为包为真,P接受/外不真二万.显著性水平a为犯第一类错误的概率.两类错误是互相关联的，当样本容量固定时,一类错误概率的减少导致另一类错误概率的增加.要同时降低两类错误的概率或者要在a不变的条件下降低&需要增加样本容量.你不能同时减少两类错误!以泡防3天算就像 翘就阪，小P就 北?邙就小5.4.3假设检验中的大样本方法前面的各假设检验中均假设总体X服从正态分布。在总体X的概率分布未知，但样本容量n 充分大时，根据中心极限定理知，可以近似地 应用前面的各种假设检验方法。例略基本概念正小数a2肩二*

28、拒绝/ I %为真二。区域 C:lzl>拒绝域的边界点-q/2, Z*拒绝域% - OH0-H0-H H HZa/2 H拒绝时 L临界点拒绝其检验问题提法：在显著性水平a下，检验假设双边检验 左边检验 右边检验单正态总体方差已知时均值的双边检验拒绝域I z l za/2类似可得：左边检验拒绝域Z 4 - Z a尸与誓-zJ = P甘巨绝/名为真 = a cr/ J n右边检验拒绝域Z 2 Z aP与誓ZJ =*拒绝4 I %为真 = a 。/ Tn方差(J?未知情形t检验法 双边检验 0： = 0,对于给定的显著性水平如查分布表得k = ta 2, 可得拒绝域为"1=1七芈 &

29、gt; 乙/2( 一 1)，s/ 7n 右边检验： / ： < 0，匕 ： > “0，拒绝域为 t = X>ta(n-l).s/ y/n(3) 左边检验：风：心 A。,% : v %,拒绝域为t = X<-ta(n-l).snn(3)42检验法检验假设 HQ:a2 =: a2 * cr：.拒绝域为 X2 =S 2 < Zl-a 2 （n - 1） /或/=勺32之嫁2（一1）右边检验：Hq tcr2 Wb；,H :a2 >cr；,拒绝域为 / =JS2 N%；（T）b。左边检验：b；,% : a2 < b；,拒绝域为 力? = " s 2 &

30、lt;式 _ I、b0知识腼w结束放噪正态总体的假设检验一览表H。条件检验统计量及分布拒绝域4 = 4。方差 CT2 已知N（o,l）a 7n 二 o方差 CT2 未知X - NoSNn£（一1）t >/2（W-l：ft>ta（n-l）t « Ta（n - 1）H。兄条件检验统计量及分布拒绝域b2=b；d Wb；均值 未知2 _ （仁1过 力一 GX >/：-山2（-1）/之片("_1)b2 Vbi力2 <力；_式”-1）1一2=0Nl -No方差已知_X -Y - %N(O,1)lzKZa/2一 2<01一2 >0Z之&quo

31、t;a1 - 2之0从一2<0Z 4 Za1一2=01一2 W0方差 b;,G未知，但b; = 61 LF1+ % - 2)1一2<0从一 2>0+ 九2 2)，之（乙+2-2）"1 一2*01一2 V0t K一+% -2)练习：对甲、乙两种玉米进行评比试验，得如下产量资料甲：951 966 1008 1082 983乙：730 864 742 774 990问这两种玉米的产量差异有没有统计意义？ (c = 0.05)解：再对均值作检验：H20 “21：4x = 998.0, S； =51.52； 1 = 820。 =108.62因为已假设方差相等，故用T检验。&#

32、171;3.31 > 2.306 = L ()95998 8205L52X4 + 1086X4 11 18 V5 + 5所以拒绝原假设H20,即认为两种玉米的产量差异有统计意义。练习：（P161Ex20)测得两批电子器材的样本的电阻为:（单位：Q）第一批：0.140第二批：0.1350.138 0.143 0.142 0.144 0.1370.140 0.142 0.136 0.138 0.140设这两批器材的电阻均服从正态分布，试检验Ho：(a = 0.05)解 这是一个两正态总体的方差检验问题，用F检验法假设 Ho : 0-2 = CT；; ： b； W b；由样本观测数据得5,2

33、= 0.00282;53 =0.00272 所以 b= 1.108 X而 E 0。25（5,5） = 0.13993;凡。2式5,5） = 7.14638 所以，接受原假设，即可认为两批电子器材的方差相等例:比较甲，乙两种安眠药的疗效。将20名患者分成两 组，每组10人.其中10人服用甲药后延长睡眠的时数分 别为 1.9,0.8,1.1,0.1,-0.1,4.4, 5.5,1.6,4.6,3.4;另 10人服 用乙药后延长睡眠的时数分别为0.7, -1.6, -0.2, -1.2, -0.1, 3.4, 3.7,0.8,0.0,2.0.若服用两种安眠药后增加的睡眠时 数服从方差相同的正态分布.

34、试问两种安眠药的疗效 翥无显著性差异?(a=0.10)解：I!。：" "2 ；"i : 41 -Y _y% 下，T = 一/7（18）5J1/10 + 1/10白p|T户5（18） = 0.05,即得拒绝域T 认。5（18） =1.7341.这里:x = 233,邑=2.002 y = 0.75, & = 1.789至"1.898x-yvv71/10 + 1/10 T86 > L7341拒绝H0认为两种安眠药的疗效有显著性差异I上题中，试检验是否甲安眠药比乙安眠药疗效 碍誉 K 2；"1：4>2y _y%下，T = 一/*18)5J1/10 + 1/10由pT2%(18) = 0.1,即得拒绝域TN h1(18) = 1.3304这里:t=l.86>l.3304,故拒绝H。认为甲安眠药比乙安眠药疗效显著上题中，试检验是否乙安眠药比甲安眠药疗效 些显著？