高中数学 第三章 变化率与导数单元测试1 北师大版选修11

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1、6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3

2、3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 第三章第三章 变化率与导数变化率与导数 (时间：100 分钟，满分：120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1已知函数f(x)13，则f(x)等于( ) A33 B0 C.33 D. 3 解析：选 B.因为f(x)13，所以f(x)(13)0. 2已知某质点的运动规律为st23(s的单位：m，t的单位：s)，则该质点在t3 s到t(3t)s

3、 这段时间内的平均速度为( ) A(6t)m/s B(6t9t)m/s C(3t)m/s D(9tt)m/s 解析：选 A.平均速度为st（3t）23（323）t(6t)m/s. 3设f(x)为可导函数，且满足limx0 f（1）f（1x）2x1，则过曲线yf(x)上点(1，f(1)处的切线斜率为( ) A2 B1 C1 D2 解析：选 D.kf(1)limx0 f（1x）f（1）x 2limx0 f（1）f（1x）2x2. 4已知函数f(x)在x1 处的导数为 3，则f(x)的解析式可能是( ) Af(x)(x1)33(x1) Bf(x)2(x1) Cf(x)2(x1)2 Df(x)x1 解

4、析：选 A.利用排除法，分别对四个选项求导数f(x)，再求f(1) 5已知曲线yx243ln x的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( ) A3 B2 C1 D.12 解析：选 B.设切点坐标为(x0，y0)，且x00， 因为y12x3x， 所以k12x03x012， 所以x02. 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1

5、D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6已知y2x33xcos x，则y等于( ) A6x2x23sin x B6x2x23sin x C6x213x23sin x D6x213x2

6、3sin x 解析：选 D.y(2x3)(x13)(cos x) 6x213x23sin x. 7给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f(x)存在，且导函数f(x)在D上也可导， 则称函数f(x)在D上存在二阶导函数， 记f(x)(f(x).若f(x)0 在D上恒成立，则称函数f(x)在D上为凸函数，以下四个函数在0，2上不是凸函数的是( ) Af(x)sin xcos x Bf(x)ln x2x Cf(x)x32x1 Df(x)xex 解析：选 D.对 A，f(x)cos xsin x，f(x)sin xcos x00 x2， 故f(x)在0，2上是凸函数； 对 B，f(x)1x2，f(x

7、)1x200 x2，故f(x)在0，2上是凸函数； 对 C，f(x)3x22，f(x)6x00 x2，故f(x)在0，2上是凸函数； 对 D，f(x)exxex，f(x)exexxexex(2x)00 x2， 故f(x)在0，2上不是凸函数，选 D. 8已知曲线C：y2x2，点A(0，2)及点B(3，a)，从点A观察点B，要实现不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是( ) A(4，) B(，4) C(10，) D(，10) 解析：选 D.在曲线C：y2x2上取一点D(x0，2x20)(x00)，因为y2x2， 所以y4x，所以y2x2在D点处切线的斜率为 4x0， 令2x202x04x0，解得x

8、01，此时D(1，2)，所以kAD2（2）104， 所以直线AD的方程为y4x2，要实现不被曲线C挡住，则实数a43210，即实数a的取值范围是(，10) 9设a0，f(x)ax2bxc，曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处切线的倾斜角的取值范围为0，4，则P到曲线yf(x)对称轴距离的取值范围为( ) 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1

9、 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 A.0，1a B.0，12a C.0，b2a D.0，b12a 解析：选 B.因为过P(x0，f(x0)的切线的倾斜角的取

10、值范围是0，4，且a0，P在对称轴的右侧，所以P到曲线yf(x)对称轴xb2a的距离dx0b2ax0b2a. 又因为f(x0)2ax0b0，1， 所以x0b2a，1b2a. 所以dx0b2a0，12a. 10 定义方程f(x)f(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”， 若函数g(x)2x，h(x)ln x，(x)x3(x0)的“新驻点”分别为a，b，c， 则a，b，c的大小关系为( ) Aabc Bcba Cacb Dbac 解析：选 B.g(x)2，h(x)1x，(x)3x2(x0)解方程g(x)g(x)，即2x2，得x1，即a1；解方程h(x)h(x)，即 ln x1x，在同一坐标

11、系中画出函数yln x，y1x的图像(图略)，可得 1xe，即 1be；解方程(x)(x)，即x33x2(x0)，得x3，即c3.所以cba. 二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分把答案填在题中的横线上) 11已知a为实数，f(x)(x24)(xa)，且f(1)0，则a_ 解析：f(x)x3ax24x4a，f(x)3x22ax4， f(1)32a40，所以a12. 答案：12 12设f(x)exx，若f(x0)2，则在点(x0，y0)处的切线方程为_ 解析：f(x)ex1，f(x0)2，所以 ex012，所以x00，y0e001，所以切线方程为y12(x0)，即 2xy

12、10. 答案：2xy10 13已知函数f(x)sin xxcos x，若存在x(0，)，使得f(x)x成立，则实数的取值范围是_ 解析：f(x)(sin xxcos x)(sin x)(xcos x)cos x(cos xxsin x)xsin xx，因为x(0，)，所以 sin x，因为 sin x(0，1，所以1. 答案：(，1) 14抛物线yx2上到直线x2y40 距离最短的点的坐标为_ 解析：y2x，设P(x0，x20)处的切线平行直线x2y40，则点P到直线x2y40 的距离最短，由抛物线yx2在点P(x0，x20)处的切线斜率为 2x0，则 2x012，解得x014，y0116，故

13、所求点的坐标为(14，116) 答案：(14，116) 15对正整数n，设曲线yxn(1x)在x2 处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F

14、 F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 列ann1的前n项和为_ 解析：由yxn(1x)得ynxn1(1x)xn(1)， 所以f(2)n2n12n. 又因为切点为(2，2n) 所以切线方程为： y2n(n2n12n)(x2) 令x0，得an(n1)2n. 则数列ann1的通项公式为an2n，由等比数列前n项和公式求得其和为 2n12

15、. 答案：2n12 三、解答题(本大题共 5 小题，共 55 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16(本小题满分 10 分)将石块投入平静的水面，使它产生同心圆波纹，若最外一圈波纹半径R以 4 m/s 的波速增加，求在 3 s 末被扰动的水面面积的增长率 解：设被扰动水面面积为S，时间为t(t0)， 所以SR2(4t)216t2， 所以S(16t2)32t， 所以当t3 时，水面面积的增长率为 96. 17(本小题满分 10 分)求下列函数的导数 (1)f(x)ln(8x)； (2)yx3sin x2cos x2； (3)yx5xsin xx2. 解：(1)f(x)3ln 2l

16、n x， f(x)(3ln 2)(ln x)1x. (2)yx3sin x2cos x212x3sin x， y12(x3sin x)12(3x2sin xx3cos x) 32x2sin x12x3cos x. (3)yx5xsin xx2x3x32x2sin x， 所以y(x3)(x32)(x2sin x) 3x232x522x3sin xx2cos x. 18(本小题满分 10 分)已知曲线C：y3x42x39x24. (1)求曲线C在点(1，4)处的切线方程； (2)对于(1)中的切线与曲线C是否还有其他公共点？若有，求出公共点；若没有，请说明理由 解：(1)y12x36x218x，所

17、以当x1 时，y12，所以在点(1，4)处的切线的斜率为12.所以所求的切线方程为y412(x1)， 即y12x8. (2)由y3x42x39x24，y12x8，得 3x42x39x212x40， 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C

18、 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 即(x2)(3x2)(x1)20，所以x12，x223，x31. 所以除切点外，曲线和切线还有交点(2，32)和23，0 . 19(本小题满分 12 分)已知函数f(x)ax2(a2)xln x. (1)当a1 时，求曲线yf(x)在

19、点(1，f(1)处的切线方程； (2)当a1 时，求证：当x1，e时，f(x)0，其中 e 为自然对数的底数 解：(1)当a1 时，f(x)x23xln x，f(x)2x31x，因为f(1)0，f(1)2. 所以切线方程是y2. (2)证明：函数f(x)ax2(a2)xln x的定义域是(0，)，f(x)2ax(a2)1x， 即f(x)2ax2（a2）x1x（2x1）（ax1）x， 当a1 时，在x1，e上，2x10，ax10， 可得f(x)0. 20(本小题满分 13 分)设函数f(x)13x3a2x2bxc，其中a0.曲线yf(x)在点P(0，f(0)处的切线方程为y1. (1)确定b，c

20、的值； (2)设曲线yf(x)在点(x1，f(x1)及(x2，f(x2)处的切线都过点(0，2)，证明：当x1x2时，f(x1)f(x2) 解：(1)由f(x)13x3a2x2bxc，得f(0)c，f(x)x2axb，f(0)b. 又由曲线yf(x)在点P(0，f(0)处的切线方程为y1，得f(0)1，f(0)0. 故b0，c1. (2)证明：f(x)13x3a2x21，f(x)x2ax， 由于点(t，f(t)处的切线方程为yf(t)f(t)(xt)，而点(0，2)在切线上，所以 2f(t)f(t)(t)，化简得23t3a2t210，即t满足的方程为23t3a2t210. 下面用反证法证明： 假设f(x1)f(x2)，由于曲线yf(x)在点(x1，f(x1)及(x2，f(x2)处的切线都过点(0，2)，则下列等式成立： 23x31a2x2110，23x32a2x2210，x21ax1x22ax2. 由，得x1x2a. 由，得x21x1x2x2234a2. 又x21x1x2x22(x1x2)2x1x2a2x1(ax1)x21ax1a2(x1a2)234a234a2， 故由得x1a2，此时x2a2与x1x2矛盾， 所以f(x1)f(x2)