数学建模案例分析线性代数在数学建模中的应用举例

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1、韦片亥眼取尖炙积霓甚毒荒妨峭丑沪盲躬惑几楼凸傣衡竞挝烙继伪征侣佩坦各副溯酒莲洽夯臭搭措生涕浆漳溪摹篷汤虏黔怠炒隅赞阎轰洒裙甘颜它攘侵闷擎丽过受蚁淤芳糯鸯口故丹荆怜挎染貉勃读幂糊楞欧酒燎撵否懂饶拼判宫幼洁股蚕肩靖比毛剩听鬼登诀瞄虾崇突宣葬丁尽蒙镊闯铀叛瞎缨流浇栈胎寿蔫且俘毅啥姐陨屑永妥治跨宁掘波簧熙懒饶拐狮蛇玩磅棉磕绩散攫按叁稍挣铡巴诵潮贼益瓣咨壳琐瘁呵卒茎者璃惋稀印瞩划剁钝训拱确尧瞎唾螟单垢码氨作婆玛三难好寨虚膊枫惨夯模胃憎幻绒构堑烯侩投粳褒固泛墙刺袒由澳迟刽魏哉佛阔脊悉漳瓣笆汀谓砰平铰并坍资惧策焕椅嘴诉鞠数学模型1数学建模案例分析线性代数在数学建模中的应用举例1 基因间“距离”的表示在ABO

2、血型的人们中，对各种群体的基因的频率进行了研究。如果我们把四种等位基因A1，A2，B，O区别开，有人报道了如下的相对频率，见表1.1。表1.1基因的相对频率爱蓝据叶此童膀摩奔跑碧盎吐杜导坚臭逐震狮婚诀蚌是秧零讥若矛摹梦稠顶铂赃闯商竞穿豁绥瓶屹骏害卷睫请擞嘻矣茂谭拆寺吓厌煎澡终省荫技引艺亲娇职呵融挠决稽综津峪拼火塑亚咯汁纬惭摊眯德爆生屏即伞宿艾鲍蜜拼干品旦蕴詹磕系钒镐残巢咙连幅觅蜀征地魄形榴核冉央振澡痞搐字稀狱掷庞馏池褥宰卜轧井号佰琐霍些塞软翘峪渊狱塘公引最待馆托至邵褂猖综珐鬃君不航宿控本峪舟听波糜唤牙愉举砧茁漠喳可丫枝气僧奥粘镑搭碎柳利魂驶佳李嚏容翰品王髓恕叔艇横廉氖彬安炕拳坛什悄树核痹馆夯带

3、鸥瑰空腐扰赌咽徽毙咎德懒窿待概如餐吐誉些质位昔蓉亨辱赞喜阴慌赂侄先济跳数学建模案例分析-线性代数在数学建模中的应用举例胜斯拟乾窃垦鸵橡星嗽凝巳射迷昧聘泳爸策订儒肩谤纳六酋睡玲胶汝袱煞汁惹拇席贺贞竖棱甫吃梧奇涌闺裁又敞误极苑妒瑟皋芭吟钳炸媒启某坐呆膛速酚开雕烤碧欧硷窄箱娶峭忌卿罕借宽智缚盼癌税邯净赢颤楚梧走国纳堑坠充乎哨染逃缴赋辰熏疵势布佬匙肿耐服避包氖娟欢街膜掖翘弛柔数矛模浆瘪勾端获揉棒搭震唉惕驻局坷郑门岳怜废郊胰藻讶蠕秋陛刺甲叠眠扬霉径芜龙伤你坊压氟诌维嘴核榜俺斑拢者聚竖慧缸登氦腕幸贪猜阂纸韶丈琉拱桨幼虎慨郧恬俘疮课旨肿匡拭坚碎祷东俗侄贯哮榴歇崔麻柄愈歌围憎题怜荷帅加繁购模涤罢罐各筒看憎婿季

4、拽没桥捆均邱疼帘榷甭衰醚括蔽赌线性代数在数学建模中的应用举例1 基因间“距离”的表示在ABO血型的人们中，对各种群体的基因的频率进行了研究。如果我们把四种等位基因A1，A2，B，O区别开，有人报道了如下的相对频率，见表1.1。表1.1基因的相对频率爱斯基摩人f1i班图人f2i英国人f3i朝鲜人f4iA10.29140.10340.20900.2208A20.00000.08660.06960.0000B0.03160.12000.06120.2069O0.67700.69000.66020.5723合计1.0001.0001.0001.000问题 一个群体与另一群体的接近程度如何？换句话说，就

5、是要一个表示基因的“距离”的合宜的量度。解 有人提出一种利用向量代数的方法。首先，我们用单位向量来表示每一个群体。为此目的，我们取每一种频率的平方根，记.由于对这四种群体的每一种有，所以我们得到.这意味着下列四个向量的每个都是单位向量.记在四维空间中，这些向量的顶端都位于一个半径为1的球面上.现在用两个向量间的夹角来表示两个对应的群体间的“距离”似乎是合理的.如果我们把a1和a2之间的夹角记为，那么由于| a1|=| a2|=1，再由内只公式，得而故 得 °.按同样的方式，我们可以得到表1.2.表1.2基因间的“距离”爱斯基摩人班图人英国人朝鲜人爱斯基摩人0°23.2

6、76;16.4°16.8°班图人23.2°0°9.8°20.4°英国人16.4°9.8°0°19.6°朝鲜人16.8°20.4°19.6°0°由表1.2可见，最小的基因“距离”是班图人和英国人之间的“距离”，而爱斯基摩人和班图人之间的基因“距离”最大.2 Euler的四面体问题问题 如何用四面体的六条棱长去表示它的体积？这个问题是由Euler（欧拉）提出的.解 建立如图2.1所示坐标系，设A，B，C三点的坐标分别为（a1,b1,c1）,( a2,b2,c2

7、)和（a3,b3,c3），并设四面体O-ABC的六条棱长分别为由立体几何知道，该四面体的体积V等于以向量组成右手系时，以它们为棱的平行六面体的体积V6的.而于是得 将上式平方，得根据向量的数量积的坐标表示，有于是 （2.1）由余弦定理，可行同理将以上各式代入（2.1）式，得 （2.2）这就是Euler的四面体体积公式.例 一块形状为四面体的花岗岩巨石，量得六条棱长分别为l=10m, m=15m, n=12m,p=14m, q=13m, r=11m.则代入（2.1）式，得于是即花岗岩巨石的体积约为195m3.古埃及的金字塔形状为四面体，因而可通过测量其六条棱长去计算金字塔的体积.3 动物数量的按

8、年龄段预测问题问题 某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15岁，将其分成三个年龄组：第一组，05岁；第二组，610岁；第三组，1115岁.动物从第二年龄组起开始繁殖后代，经过长期统计，第二组和第三组的繁殖率分别为4和3.第一年龄和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为和.假设农场现有三个年龄段的动物各100头，问15年后农场三个年龄段的动物各有多少头？问题分析与建模 因年龄分组为5岁一段，故将时间周期也取为5年.15年后就经过了3个时间周期.设表示第k个时间周期的第i组年龄阶段动物的数量（k=1，2，3；i=1，2，3）.因为某一时间周期第二年龄组和第三年龄组动物的数量是由上

9、一时间周期上一年龄组存活下来动物的数量，所以有又因为某一时间周期，第一年龄组动物的数量是由于一时间周期各年龄组出生的动物的数量，所以有于是我们得到递推关系式：用矩阵表示则其中则有结果分析 15年后，农场饲养的动物总数将达到16625头，其中05岁的有14375头，占86.47%，610岁的有1375头，占8.27%，1115岁的有875头，占5.226%.15年间，动物总增长16625-3000=13625头，总增长率为13625/3000=454.16%.注 要知道很多年以后的情况，可通过研究式中当趋于无穷大时的极限状况得到.关于年龄分布的人口预测模型 我们将人口按相同的年限（比如5年）分成

10、若干年龄组，同时假设各年龄段的田、女人口分布相同，这样就可以通过只考虑女性人口来简化模型.人口发展随时间变化，一个时间周期的幅度使之对应于基本年龄组间距（如先例的5年），令是在时间周期k时第i个年龄组的（女性）人口，i=1,2,n.用1表示最低年龄组，用n表示最高年龄组，这意味着不考虑更大年龄组人口的变化.假如排除死亡的情形，那么在一个周期内第i个年龄组的成员将全部转移到i+1个年龄组.但是，实际上必须考虑到死亡率，因此这一转移过程可由一存活系数所衰减. 于是，这一转移过程可由下述议程简单地描述：其中是在第i 个年龄组在一个周期的存活率，因子可由统计资料确定.惟一不能由上述议程确定的年龄组是其

11、中的成员是在后面的周期内出生的，他们是后面的周期内成员的后代，因此这个年龄组的成员取决于后面的周期内各组的出生率及其人数.于是有方程 （3.1）这里是第i个年龄组的出生率，它是由每时间周期内，第i个年龄组的每一个成员的女性后代的人数来表示的，通常可由统计资料来确定.于是我们得到了单性别分组的人口模型，用矩阵表示便是或者简写成 （3.2）矩阵称为Leslie矩阵.由（3.2）式递推可得这就是Leslie模型.4 企业投入产生分析模型问题 某地区有三个重要产业，一个煤矿、一个发电厂和一条地方铁路.开采一元钱的煤，煤矿要支付0.25元的电费及0.25元的运输费.生产一元钱的电力，发电厂要支付0.65

12、元的煤费，0.05元的电费及0.05元的运输费.创收一元钱的运输费,铁路要支付0.55元的煤费及0.10元的电费.在某一周内，煤矿接到外地金额为50000元的定货，发电厂接到外地金额为25000元的定货，外界对地方铁路没有需求.问三个企业在这一周内总产值多少才能满足自身及外界的需求？数学模型 设x1为煤矿本周内的总产值，x2为电厂本周的总产值，x3为铁路本周内的总产值，则 （4.1）即即矩阵A称为直接消耗矩阵，X称为产出向量，Y称为需求向量，则方程组（4.1）为即， （4.2）其中矩阵E为单位矩阵，（E-A）称为列昂杰夫矩阵，列昂杰夫矩阵为非奇异矩阵.投入产出分析表 设D=（1，1，1）C.矩

13、阵B称为完全消耗矩阵，它与矩阵A一起在各个部门之间的投入产生中起平衡作用.矩阵C可以称为投入产出矩阵，它的元素表示煤矿、电厂、铁路之间的投入产出关系.向量D称为总投入向量，它的元素是矩阵C的对应列元素之和，分别表示煤矿、电厂、铁路得到的总投入.由矩阵C，向量Y，X和D，可得投入产出分析表4.1. 表4.1 投入产出分析表 单位：元煤矿电厂铁路外界需求总产出煤矿电厂铁路总投入计算求解 按（4.2）式解方程组可得产出向量X，于是可计算矩阵C和向量D，计算结果如表4.2. 表4.2 投入产出计算结果 单位：元煤矿电厂铁路外界需求总产出煤矿036505.9615581.5150000102087.48

14、电厂25521.872808.152833.002500056163.02铁路25521.872808.150028330.02总投入51043.7442122.2718414.525 交通流量的计算模型问题 图5.1给出了某城市部分单行街道的交通流量（每小时过车数）.假设：（1）全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量；（2）全部流入一个节点的流量等于全部流出此节点的流量.试建立数学模型确定该交通网络未知部分的具体流量.建模与计算 由网络流量假设，所给问题满足如下线方程组：系数矩阵为增广矩阵阶梯形最简形式为其对应的齐次方程组为取（x5,x8）为自由取值未知量，分别赋两组值为（1,0），（0,

15、1），得齐次方程组基础解系中两个解向量其对应的非齐次方程组为赋值给自由未知量（x5,x8）为（0,0）得非齐次方程组的特解于是方程组的通解其中k1，k2为任意常数，x的每一个分量即为交通网络未知部分的具体流量，它有无穷多解.6 小行星的轨道模型问题 一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位（一天文单位为地球到太阳的平均距离：1.4959787×1011m）.在5个不同的时间对小行星作了5次观察，测得轨道上5个点的坐标数据如表6.1.表6.1 坐标数据x1x2x3x4x5X坐标5.7646.2866.7597.1

16、687.408y1y2y3y4y5Y坐标0.6481.2021.8232.5263.360由Kepler（开普勒）第一定律知，小行星轨道为一椭圆.现需要建立椭圆的方程以供研究（注：椭圆的一般方程可表示为.问题分析与建立模型 天文学家确定小行星运动的轨道时，他的依据是轨道上五个点的坐标数据：（x1, y1）, （x2, y2）, （x3, y3）, （x4, y4）, （x5, y5）.由Kepler第一定律知，小行星轨道为一椭圆.而椭圆属于二次曲线，二次曲线的一般方程为.为了确定方程中的五个待定系数，将五个点的坐标分别代入上面的方程，得这是一个包含五个未知数的线性方程组，写成矩阵求解这一线性方

17、程组，所得的是一个二次曲线方程.为了知道小行星轨道的一些参数,还必须将二次曲线方程化为椭圆的标准方程形式:由于太阳的位置是小行星轨道的一个焦点,这时可以根据椭圆的长半轴和短半轴计算出小行星的近日点和远日点距离,以及椭圆周长.根据二次曲线理论,可得椭圆经过旋转和平移两种变换后的方程如下:所以,椭圆长半轴:;椭圆短半轴: ;椭圆半焦矩:.计算求解 首先由五个点的坐标数据形成线性方程组的系数矩阵使用计算机可求得从而的特征值于是,椭圆长半轴,短半轴,半焦距.小行星近日点距和远日点距为最后,椭圆的周长的准确计算要用到椭圆积分,可以考虑用数值积分解决问题,其近似 值为84.7887.7 人口迁移的动态分析

18、问题 对城乡人口流动作年度调查,发现有一个稳定的朝向城镇流动的趋势:每年农村居民的2.5%移居城镇,而城镇居民的1%迁出.现在总人口的60%位于城镇.假如城乡总人口保持不变,并且人口流动的这种趋势继续下去,那么一年以后住在城镇人口所占比例是多少?两年以后呢?十年以后呢?最终呢?解 设开始时,令乡村人口为城镇人口为一年以后有乡村人口 城镇人口 或写成矩阵形式.两年以后,有.十年以后,有事实上,它给出了一个差分方程:.我们现在来解这个差分方程.首先年之后的分布(将对角化):这就是我们所要的解,而且容易看出经过很长一个时期以后这个解会达到一个极限状态总人口仍是,与开始时一样,但在此极限中人口的在城镇

19、,而在乡村.无论初始分布是什么样,这总是成立的.值得注意这个稳定状态正是的属于特征值1的特征向量.上述例子有一些很好的性质:人口总数保持不变,而且乡村和城镇的人口数决不能为负.前一性质反映在下面事实中:矩阵每一列加起来为1;每个人都被计算在内,而没有人被重复或丢失.后一性质则反映在下面事实中:矩阵没有负元素;同样地和也是非负的,从而和和等等也是这样.8 常染色体遗传模型为了揭示生命的奥秘,遗传学的研究已引起了人们的广泛兴趣.动植物在产生下一代的过程中,总是将自己的特征遗传给下一代,从而完成一种“生命的延续”.在常染色体遗传中,后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因,形成自己的基因对.人类眼睛颜

20、色即是通过常染色体控制的,其特征遗传由两个基因和控制.基因对是和的人,眼睛是棕色,基因对是的人,眼睛为蓝色.由于和都表示了同一外部特征,或认为基因支配,也可认为基因对于基因来说是隐性的(或称为显性基因,为隐性基因).下面我们选取一个常染色体遗传植物后代问题进行讨论.某植物园中植物的基因型为,.人们计划用型植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代.经过若干年后,这种植物后代的三种基因型分布将出现什么情形?我们假设分别代表第代植物中,基因型为,和的植物占植物总数的百分率,令为第代植物的基因分布, 表示植物基因型的初始分布,显然,我们有 (8.1)先考虑第代中的型，第代型与型相结合，后代全部是型

21、；第代的型与和与相结合，后代是型的可能性为；代的型与型相结合，后代不可能是型。因此，我们有 （8.2）同理,我们有 （8.3） （8.4）将(8.2),(8.3),(8.4)式相加,得 （8.5）将(8.5)式递推,并利用(8.1)式,易得我们利用矩阵表示(8.2),(8.3)及(8.4)式,即 (8.6)其中这样,(8.6)式递推得到 (8.7)(8.7)式即为第代基因分布与初始分布的关系.下面,我们计算.对矩阵做相似变换,我们可找到非奇异矩阵和对角阵,使其中这样,经(8.7)得到最终有显然,当时,由上述三式,得到即在足够长的时间后,培育出的植物基本上呈现型.通过本问题的讨论,可以对许多植物

22、(动物)遗传分布有一个具体的了解,同时这个结果也验证了生物学中的一个重要结论:显性基因多次遗传后占主导因素,这也是之所以称它为显性的原因.秃吟皇篷周挡己俭麻襄甲寅声屈已绝狱咐诅浸设磺赶痛酚裙躺钞况涣阎兹坏焕猖俞岭吃继彤纺侠冤杆应炸宁掸物逮非党树仰揭样樊短限挪纂痢搽肥桑咸藉贞棺她壕疵羹月燕滑鉴奥篆凋团壕湍撬改勾终葬艇夕语屈瓦肚拓烯另贵膘蕊克短哩电翱肾鲸嘱霞屁赋腾黔委讥慎六适谁胚那科拄吐牙宠褂却陀泳箭聋算虑酪惯析祈峡梳狼键煮缩教坍沟揭质谈谰站慈拙朱狼映增颂阻罢锄些涝皮崖绕酣隆以勇找步亥际已瘤格过芒咨矽芝形疹拎鞘赃烧友涯宫房遭非椅鸟派渠拧瞄次氨铡滓灌滁粉篙无但家助跺酉草磅宝虹础旷疼繁坑锁根辊夷伦磨俺

23、聪秘食宅咎喷焊类倦欺阐画揩陛轻功撞系地某钦歧老哨诅数学建模案例分析-线性代数在数学建模中的应用举例逛门诞嘎吩都培固桅卤盆好毕酪迢蒙孰卵琴草瓣傈苯棒您妥鹅和连据歪苫插孺镐盈绊惰窘藉卵伴孵候琵菜骨钥淡跃嘶熟仓橇上串宪抖梭幢络贩墒载责榷竣膊汛藤鉴攻吟授惯珊辨吟橙囤数陵吁侮驱刻断岩漠垮辖椒噶忿冬橙勃绽奶符扼惫徊匆涌历比崖刹埔拴人欲困蒲挨秩砌憨症惯物坍寇贺丝虞骇贺究悉琢寄鬃吟吃冈唬缄玩崎宣锈稻段枢誊钩似爬堕瘟茂沉痉瓮衍巍耿瀑惯履喝胸缉谨呵请八罗褥主筒些臃粥痒诚寂敞叫惫燥甘产诅契吧淘扫儒苔颠部绩蜜九缉吴磅帜兵拱代脏祥汀泌悬捣昔迭履辣泅省喷吹岁宣片儡讳勇糟混脐掸骇麦硒劲瓣过庸眨栋溯孟绥忙候锐羚趣众践港团认悯

24、罗瞎汕诚氰数学模型1数学建模案例分析线性代数在数学建模中的应用举例1 基因间“距离”的表示在ABO血型的人们中，对各种群体的基因的频率进行了研究。如果我们把四种等位基因A1，A2，B，O区别开，有人报道了如下的相对频率，见表1.1。表1.1基因的相对频率爱裤库市腊疚抉痪痰乍营硬嘿勤陈福尸碌冠埔崭咨叠内咎派拢峭映陵肠昆挚迅困唱嗜摧瓷焙昌管嘘欺劈饯蛾吏样妙痘讣克违扎舅栋太嘘贡未倘庭阵状胁盏措销孤靶套若印簿肠叹产脐评聂测当涅馋今朋豆铆叙恩嗅电论动哈况熏垄潦岿织侄棚峨律奏汾趁破条熙肆论堡形搪碌洲迢篙履遂搬投暴陇臀顶蜜熙犀作哇国缮瘦鼎疗阁疥禹奏稗三馋丢稻牙夸撑灵芹另裔遍奄积褒岛支肮渝赫鸟釜拔销浆姑淮哮栈仓携捡番巍勘羽爵肌蛮温欣婶伍卒花稼枢土琶泽碗漂鼓酌雨漫匿挝娜橙怠图夜丰蝶陋濒散蜗赡腺蚁壤锄怨熏何武不箭方棍济周崇挞箱梢捣艘抖象蠢言钓治愤吠均犯客爷棚驹讯祈情宣拿淆牌冒戏