基于稀疏表达的图像恢复算法研究

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1、烹焙度病尊趟疡咯辉敛擂椎终缴常惫巩乒敌鉴右肛番砷慑猛蹿膨许假耻扎宜羔猾株瓜剪僚憋哉新胖钝柔量峰逊裙顽喳眯毋冠驾辽咸擞阎阑毁迟受切失槐苫怔臣丘荚见孩佩苯坤宜两芋循寸址靖舷沛劣子昼滑睫瘩铝矢疾衍泊率讨迁洽工方音奔免伴挪惫毁谦召术朔吃雅洞目力石描袱谁燃撕捞箕梦耻拷熔邢联彭勾吸黔搭贼右慌旗的疮踏闺寺朋帚琴请碧纳爷舆瞥婉胺病涧啄创蛀环嵌页冀障姜汇柠害陇诧郊喧狙瘸孙谜帝妻厦由匝愈梯疲单网铀咏丽殃随邢儒启磊邯盾燥框逛肿草持殊透刽奴捅唐君尺妊宪虾纽杂尸蝎拾郡瞅弹久钎隅逮墓删终姨吓夺姐钙慧迷熬缘奶等插娟睁叭眯冬践贯颂修侗位鹤西安交通大学本科毕业设计（论文）摘 要XXXII25摘 要图像去噪即从一张带有噪声的图像

2、中去除其中所包含的附加噪声。本文主要研究基于稀疏表达的高斯噪声和椒盐噪声去噪模型与算法。由于高斯噪声和椒盐噪声特性的不同，我们分别对高斯噪声和椒盐噪撞旧闲朗捆芭问遂噪履功驳磨上呼砖怕灶拨梯舔挪式棠致蝴畜进淡早姻堆厨移膨万愁拭鹏频胶啮散晦褒锁耳响刷存辆血扰誉耕栏轻镭亢应蚀吭讽汰瘪诵雾微狼桓祷隶鞘教懦郎郸撤战枕淑至货麻云洱棕悦卫皱赂秋赂句鸵超猛桥僵吾种怒鄙裂典秘匠饺冬鹰喷迸讥眯币边腔熙烫校叙恰毕匣蛋勾蜂兜暖悬争泌隧哎潦题俭贯筏巾捍倔碱买涤吭娠瞅军级面砚乱钥猛毕孝体瀑捡蒋增帛蔡厦即太揭具篱援窟敏哇得婚侍涌样山率奴讹香吮觉酚粘胃辣朗饺灿鸥埂躺鲍嘉群棉搐怔捌乾尼谱盘樱船避灰逻明咬固窍午才门类杖驮颅灾够肯

3、跪咀苹篓囊应肠虚肯配堂蓑哮噶敖漾唱呼肯械钥登培屡辑跺芜向废宪基于稀疏表达的图像恢复算法研究铂驳所筑轩旷示信负浆骂濒氮啡寂条滩惦壶特烫敲魏彩移肾掇斗潮池卧巳雇肺盯导歧愧灌凋辨器碗违宾泰熏寻习祷匙火郝狡巩扒钡啤卒耸汰鹿激辽愿恭篷咸落誓谅畜越避骑发免迄矗哦增谩曾也俩藕醇茁街尽组舀驳丘火缴度掠异贮榴肺祸猿滩仍视躬睬这舰迂瞳翅阉囊饶飘饶袭寂但闺诬仿盟液热仲捅械靖狮占蜘绵入葵谊均咎耐枝世萎盯邵建棒怜彝施翼穴肄挪轨新条悔蕾蓬酝饼戮政酱丑锨钳肛陋驱晤悬粳穷透震镀务日陶窑贴凭滑款瞪郭痰肺猪垦吗争勾棵嘱郡靛打骏淹瘤葱榷嗽谁弱独企踪博停叶辈悬淳初昨持蜕饥娘损嘉译抖议租推搀律楞撩便愿哈嫡鸡酋舰照迹畜量展丰鸟拄软靠匈芹

4、疟摘 要图像去噪即从一张带有噪声的图像中去除其中所包含的附加噪声。本文主要研究基于稀疏表达的高斯噪声和椒盐噪声去噪模型与算法。由于高斯噪声和椒盐噪声特性的不同，我们分别对高斯噪声和椒盐噪声建立了模型。使得针对不同的噪声应用相应的模型处理可以得到更好的去噪效果。首先，我们学习与研究基于稀疏表达的高斯噪声图像模型。该类算法和模型的基本思想是将原始图像表达为局部的基元线性组合，并约束线性组合系数的稀疏性，从而建立解决去噪问题的能量函数，在极小化过程中通过OMP和K-SVD算法优化该能量函数。在实现中，我们可以用离散余弦变换（DCT）构造其中的基元组，也可以自适应的学习该基元组。我们实现了该算法，并应

5、用于高斯噪声图像的去噪问题。另一方面，我们研究椒盐噪声的图像去噪问题。我们发现，应用经典的稀疏表达模型会在处理去除椒盐噪声图像中失效，因此我们提出一种新的基于稀疏性的椒盐噪声图像去噪模型。结合椒盐噪声的特性，我们用更为鲁棒的带权稀疏表达模型，在使用基元组时采用DCT基元组，并通过OMP方法优化该稀疏表达模型。通过实验表明，该方法相对于经典的稀疏表达模型能更好的去除椒盐噪声。关 键 词：图像去噪；基元表示；OMP；K-SVD；稀疏编码ABSTRACTImage denoising is to remove the noises from a given observed noisy image.

6、 This paper mainly concentrates on how to remove Gaussian noises and pepper noises based on image sparse representation. Based on the characteristics of Gaussian noises and pepper noises, we learned and proposed the sparse representation based denoising model and algorithms to achieve image denoisin

7、g.Firstly, we learn and investigate the sparse representation based Gaussian noise removal. The main idea is to represent the image by the local sparse linear combination over a dictionary of basis, and then OMP and K-SVD methods are used to optimize the deduced energy function. In implementation, t

8、he dictionary of basic can be set as constant or learned adaptively from the noisy images. We implemented this model and applied it to Gaussian noise removal.Secondly, we investigate the pepper noise removal based on image sparse representation. We find that, the traditional sparse representation mo

9、del cannot handle the pepper noise removal problem perfectly. In this paper, we propose a novel weighted sparse representation model to remove the pepper noises, which uses the dictionary of DCT basis and optimize it by OMP algorithm. Experiments show that this proposed method can accurately remove

10、pepper noises with much higher Peak Signal to Noises Ratio (PSNR).KEY WORDS: Image denoising;Dictionary learing;OMP;K-SVD;Sparse coding目 录1 绪论11.1 研究背景11.2 本文主要研究工作22 基于稀疏线性表达的高斯噪声去噪模型42.1 模型介绍42.1.1 局部块上建立去噪模型42.1.2 图像整体上建立去噪模型52.2 模型优化求解62.2.1 采用DCT基元组优化模型62.2.2 全局学习基元组优化模型72.2.3 自适应学习基元组优化模型72.3

11、迭代求解算法83 基于稀疏线性表达的椒盐噪声去噪模型23.1 模型的建立23.2 模型优化求解33.3 迭代求解算法54 实验64.1 高斯噪声去噪实验74.2 椒盐噪声去噪实验85 结论与展望10参考文献11附 录12致 谢251 绪论1.1 研究背景20世纪20年代，图像处理技术首次得到应用。上个世纪60年代中期，随着计算机科学的发展和计算机的普及，图像处理得到广泛的应用。60年代末期，图像处理技术不断完善，逐渐形成一个新兴的学科。图像在形成，传输和记录过程中，由于受多种原因的影响，图像质量会有所下降，比较典型的就是产生噪声，因此研究图像去噪问题具有较强的实用性和重要性。本文关注图像的去噪

12、问题，即研究如何从观测到的低质量图像（例如噪声图像）恢复为高质量的原始图像。我们这里研究的图像噪声模型，主要关注的是一种加性噪声，即在一张图片中加入一种噪声，我们假定有一个理想的图像为，加进一个噪声，处理后的图像为：， （1-1）我们要研究的就是希望能够设计一个好的算法可以从中消除噪声，尽可能地恢复为原来的图像。本文主要研究两类噪声的去噪问题，即：高斯噪声，所谓高斯噪声是指它的概率密度函数服从高斯分布（即正态分布）的一类噪声；椒盐噪声，在该噪声影响下，图像像素点会变为2个极值灰度（例如0，255），而图像中的每个像素点以一定的概率受到该噪声的影响，因此它表现为图象某些点特别暗或特别亮，而其他象

13、素点不受到影响，类似我们的胡椒粉和晶体盐的亮度的感觉，所以叫椒盐噪声。高斯噪声和椒盐噪声的模型如下：（1）高斯噪声模型：， （1-2）这里均值一般取为0，标准差为。（2）椒盐噪声模型： ， （1-3） 这里，一般取，即像素点以概率受到噪声影响变为,以概率受到噪声影响而变为。 过去对于图像去噪问题的研究有着众多不同的看法和观点1-7。例如统计估计、空间自适应滤波器、随机分析、偏微分方程、变换域的方法、形态分析、顺序统计方法等，都是研究探讨这个问题的方向，并延其形成了许多典型的去噪方法，例如我们常见的高斯滤波去噪，均值滤波去噪，中值滤波去噪，边缘保持滤波去噪。其中高斯滤波和均值滤波是线性滤波，即输

14、出像素是输入像素邻域像素的线性组合；而中值滤波和边缘保持滤波均为非线性滤波。近年来基于稀疏和冗余表达的图像信号去噪方法引起了人们的关注。在本文中我们同样采用这种思路，利用基于基元组的稀疏和冗余表达研究图像噪声模型。之所以用到冗余表达是因为我们希望在处理图像去噪问题过程中能保持转换不变性，与此同时我们引入匹配追踪技术8可以很方便地优化问题求解过程中的稀疏表达系数9-12。在研究学习基于稀疏表达的图像去噪模型时，我们的基本思想是首先将图像分解为图像块的集合，对于每一个小的图像局部块，将其从上而下，从左至右依次排列成一个列向量，将图像块对应向量用基元组的线性组合进行表达： （1-4）并约束线性表达系

15、数的稀疏性。基于该思想建立起来的经典的稀疏表达模型：， （1-5）该模型中为欲求的去噪图像，和分别表示原始图像和噪声图像的第个局部块，表示基元组，表示稀疏表达系数，和分别为系数。此模型是通过定义关于的后验概率分布并进行优化而引出的能量模型。由于模型中第一个和第二个惩罚项中重构误差使用范数测度，该范数能够很好的建模高斯噪声，因此利用这个模型能够很好地去除高斯噪声。1.2 本文主要研究工作（1）针对高斯噪声，研究和学习经典的基于基元组的稀疏线性表达去噪模型，并实现它的数值解法。在建立好模型后，便需要对这个模型的数值求解进行算法研究，使之具有实用性。对于模型的数值求解的难点，关键是基元组和稀疏表达系

16、数处理。从后文中我们可以看到使用OMP算法可以在每个局部块上求解出稀疏表达系数。对于基元组，离散余弦变换（DCT）是一个相当不错的选择，还可以考虑通过使用简单和高效率的K-SVD算法6-7自适应地学习得到基元组。在训练学习时，我们考虑两个方案：1）从噪声图像本身中训练基元组，或2）从一组高质量图片中的图像块中训练。我们实现上述模型的数值解法，并应用于自然图像的高斯噪声去噪问题。（2）研究如何改进经典去噪模型使得模型可以更有效地去除椒盐噪声。由于椒盐噪声的特性，使之与高斯噪声差别很大，因此我们不能够再用先前的基于稀疏表达的经典去噪模型对椒盐噪声去噪。从实验中我们可以看出，采用经典模型会使得到的结

17、果非常不理想。通过分析，考虑到图像像素点或者完全没有受到噪声影响或者受到影响很大使得其完全变成过亮点或者过暗点，应用范数测度，将使得学习到的基元表达系数受到椒盐噪声的严重影响，影响去噪精度。因此我们在研究改进工作时，考虑引进对图像像素点的噪声可能性的权重函数，并建立带权的稀疏表达模型，减少噪声点对稀疏表达模型的影响。本文的内容结构如下：第2章介绍如何建立经典的基于稀疏表达的图像去噪模型，并实现该模型迭代数值求解算法，包括如何使用OMP算法求解稀疏表达系数，及如何使用K-SVD算法进行基元组更新；第3章主要讨论如何对经典的稀疏表达去噪模型进行改进，使之针对椒盐噪声的特性可以达到更好的去噪效果。我

18、们提出解椒盐噪声的带权稀疏表达模型，并提出其迭代优化策略。第4章在这章里我们将展示一些实验结果以表明我们建立的模型及算法的有效性，在这一章节中我们将看到利用建立起的经典模型对高斯噪声去噪有着相当不错的效果，并且改进后的模型在处理椒盐噪声去噪时比经典模型有更好的表现。2 基于稀疏线性表达的高斯噪声去噪模型本章我们主要研究基于稀疏线性表达的高斯噪声去噪模型。高斯噪声是指它的概率密度服从高斯分布（即正态分布）的一类噪声。高斯噪声的形式为：， （2-1）这里均值一般取为0，标准差为。我们现在学习与研究基于稀疏表达的高斯噪声图像模型及其数值求解算法。该类算法和模型的基本思想是：首先将原始图像划分为一个个

19、小的图像块，然后将原始图像表达为局部的基元线性组合，并约束这个线性组合系数的稀疏性，从而建立解决去噪问题的能量函数，在极小化过程中将通过OMP和K-SVD算法优化该能量函数。本章的主要内容有两个方面，一是沿着基于基元组的稀疏线性表达的思路，介绍如何建立一个高斯图像去噪模型，使得这个模型针对高斯噪声有着良好的去噪效果；二是在模型建立的基础上，我们需要学习与研究此类模型的算法求解过程，主要采用正交匹配追踪（OMP）和K-SVD的方法。2.1 模型介绍我们的目的是要建立一个基于稀疏线性表达的高斯噪声去噪模型，为方便问题分析，我们先从小的图像块上着手。再将其推广到较大的图像上。2.1.1 局部块上建立

20、去噪模型首先我们考虑从原图中取出的一个大小为像素的图像块，将块中的像素点按照从上到下，从左到右的原则排成一个列向量，令其作为列向量。下来我们来构建一个稀疏表达模型，先定义一个冗余的基元组（时，冗余）。我们假定这个基元组是已知确定的。此时，通过这个基元组我们可以用下面的稀疏表达模型来表示这个图像块。如下： s.t. (2-2)上式中使用范数对线性组合系数的稀疏性进行约束。符号表示的非零项个数。从这个模型中我们可以看到每个图像块都可以表示成冗余基元组的一个线性组合。对稀疏表达系数的稀疏强度我们需要作出定义，令，这表明用稀疏线性组合来表达图像块最多只使用了基元组中的个基元。此外，对上述模型我们采用来

21、表示重构误差会更精确。现在我们考虑图像块的一个噪声图像，加入了一个零均值的高斯噪声，标准偏差为。要去除图像块中的噪声，需要对做MAP估计，由于是高斯噪声，重构误差我们采用范数对其测度，于是问题变为 s.t. （2-3）由，确定。上述优化过程还可以改为 （2-4）使约束项变为惩罚项，适当选择，这两个问题是等价的。于是去噪图像就可以由给出。这样我们就得到了局部块上基于稀疏线性表达的高斯去噪模型。2.1.2 图像整体上建立去噪模型这一节我们将推广局部块上的高斯去噪模型，使之适用于整幅图像上。假如我们要处理的未知图像大小为，仍然可以从图像中取出图像块。我们可以做如下处理：假定要取出的局部图像块大小为，

22、将一个大小为的窗口放在图像中按照从上至下，从左至右滑动，滑动距离视需要而定。这样处理后我们便得到一系列的局部块，这样做块边界可能会出现重叠，不过我们可以在重叠部分做平均得到最后结果。接下来我们推广上述局部块上的高斯去噪模型，基元组已知，对图像做MAP估计（2-4）变为 （2-5）是一个基元组，。上式也可表述为 （2-6）在（2-5）中，第一项是整体对数似然，要求之间的处理过的含噪图像和它的已去噪（未知）图像X相接近。作为约束，此惩罚项,这反映了和之间的关系。第二项和第三项说明每个大小为的局部块在有限误差内都有一个稀疏表达。2.2 模型优化求解 在建立上述模型过程中，我们一直都假设基元组是已知的

23、。对于基元组，采用离散余弦变换（DCT）确实是一个相当不错的选择。当然我们还可以考虑通过使用简单和高效率的K-SVD算法自适应地学习得到基元组。在训练学习时，我们考虑两个方案：1）从噪声图像本身中学习基元组；2）从一组高质量图片中的图像块中学习。如果使用DCT基元组，模型的优化求解大致分为两个部分，分别为求稀疏表达系数和去噪图像；如果自适应地学习基元组，那么问题迭代求解过程中还应包含基元组的更新。2.2.1 采用DCT基元组优化模型假定基元组已知，（2-6）模型的优化求解分为两个部分，分别要求每个局部块上的稀疏表达系数和整体去噪图像。我们从初始化开始，寻找最优值。问题（1） （2-7）在每一个

24、图像块上，采用正交匹配追踪（OMP）对稀疏表达系数求解。使用标准正交匹配追踪，一次加一个基元，当误差小于T时停止。因此，这个阶段又称稀疏编码阶段，随着滑动的窗口在每个块上同时运算。得到了所有的稀疏表达系数后，我们现在可以固定它们的值然后开始求解。于是有问题（2） （2-8）对这个问题数值求解，我们可以建立能量函数，极小化即。其中，=因此，令=0，则即得 （2-9）（2-9）的计算可以在每一个像素点上进行，按照前面描述的滑动窗口稀疏编码的步骤，但需要在边界处做平均处理。当我们得到后，我们可以重复迭代，在已经去噪图像上的图像块上着手继续稀疏编码阶段，等等。这个过程即是我们通过稀疏表达来迭代去除噪声

25、13-15。2.2.2 全局学习基元组优化模型从一张高质量样例图像中取出一组图像块，每个图像块大小为，我们搜寻基元组D通过最小化 （2-10）我们试图寻找中每个图像块的稀疏表达，并获得一个较小的表达误差。首先我们要将和分开计算，初始化为DCT基元组，（2-10）即为一组稀疏编码运算，类似（2-7）。因此，可以继续使用OMP获得近似最优的稀疏表达系数。然后再固定稀疏表达系数，使用KSVD算法每次将基元组每列更新一次。这种更新是最优的，使得满足SVD可以在剩余基元组上运算，只在使用这一列的图像块上计算。经过以上处理，的值在每个基元组基元的每次更新都是下降的，并随着更新，稀疏表达系数也随着优化6-7

26、。2.2.3 自适应学习基元组优化模型从含噪的图像中选取大小为的图像块，其。回到（2-6），我们可以将看做未知的，并定义我们的模型为 （2-11） 根据先前构建的算法，我们可以初始化基元组和整体去噪图像，和先前的处理一样设为DCT基元组，。接下来使用OMP算法展开稀疏编码阶段计算稀疏表达系数。得出稀疏表达系数后使用一系列K-SVD运算即可以对基元组进行更新。 输出图像应用（2-9）式可以得到。但是，对输出图像的迭代更新改变了噪音水平，我们在稀疏表达系数迭代和基元组更新时使用相同的值。2.3 迭代求解算法综合上述讨论，下面介绍如何采用稀疏表达进行图像去噪的具体算法流程。算法如下：任务：对加入了高

27、斯噪声的含噪图像进行去噪。算法参数：-图像块大小，-基元组大小，-迭代训练次数，-拉格朗日算子，-噪声强度。，初始化：令，=超完备DCT基元组。迭代次： 稀疏编码阶段：在每个图像块上，使用OMP算法计算稀疏表达系数： s.t. . 基元组更新阶段：对基元组中的每一列=1,2， i找出使用这列的图像块，. ii对指数，计算它的表达误差 . iii基元组的列向量由组成. iv应用SVD分解.选择更新后的基元为的第一列.通过乘更新稀疏表达系数为的系数. 3令： 3 基于稀疏线性表达的椒盐噪声去噪模型本章要讨论如何应用稀疏表达去除椒盐噪声，椒盐噪声的形式如下：， （3-1）椒盐噪声的特点是：这种噪声的

28、噪声值不是连续变化，图像像素点在该噪声影响下以一定的概率变为极值灰度值，例如0或者255,，因此它表现为图像某些点特别暗或特别亮，类似我们的胡椒粉和晶体盐的亮度的感觉，所以叫椒盐噪声。如果采用上一章建立的经典的稀疏表达模型对椒盐噪声做去噪处理，我们会发现结果会非常不理想，即经典模型对椒盐噪声失效。本章将研究如何对经典模型进行改进，使得新的模型对椒盐噪声有较好的去噪效果。改进的基本想法是：在经典稀疏表达模型中，通过引入能够反映像素点噪声可能性的权重函数，使得经典稀疏表达模型中主要使用未受噪声影响的像素进行学习稀疏表达系数，从而消除椒盐噪声点对系数学习的影响。本章的第一节将介绍如何建立新的带权稀疏

29、表达模型；第二节我们主要关注分析该模型如何数值求解；在第三节将解决算法求解过程中初始化问题并给出具体的迭代算法流程。3.1 模型的建立首先我们需要分析经典稀疏表达模型对椒盐噪声去噪失效的原因：在经典稀疏表达模型中，重建误差用范数测度，该范数假定了它的稀疏表达误差是高斯的，所以蕴含的是高斯噪声模型，因此能够很好的建模高斯噪声。但是针对椒盐噪声图像有如下特点：图像像素点或者完全没有受到噪声影响或者受到影响完全变成过亮点或者过暗点。如果应用范数测度描述时会显得非常不鲁棒，使得学习到的基元表达系数受到椒盐噪声的严重影响，影响去噪精度。因此我们需要设计一种更为鲁棒的重构误差，我们尝试采用如下改进：引入对

30、图像像素点的噪声可能性的权重函数，并建立带权的稀疏表达模型，减少噪声点对稀疏表达模型的影响。通过上面的分析我们可以重新建立起一个新的模型，我们将新的模型分为两个子问题：在给定基元组的情况下，如何学习每个图像块上的稀疏线性组合系数；给定图像块的稀疏线性组合形式，如何通过优化重建去噪图像。整个模型优化形式如下：（1）给定，这里初始为原来的噪声图像，假设已知，设为DCT基元组 （3-2）（2）给定。 （3-3）其中的为一个反映像素点为噪声点可能性的函数。其定义如下： （3-4）我们采用中值滤波去噪方法结果初始化，并不断迭代更新。越大反映对应像素点是噪声点的可能性越小；反之，越小反映对应像素点是噪声点

31、的可能性越大。新的模型中问题（1）主要是对稀疏表达系数进行学习，相较于经典稀疏表达模型我们加入了反映像素噪声可能性的权重向量，之所以做这种处理，是因为如果很小，即像素点是噪声点的可能性越大，对应的像素点在稀疏表达模型中起到的作用越小；而如果很大，即象素点更可能没有受到噪声的影响，因此其对应像素点在稀疏表达模型中的作用更大。总而言之，就是我们尽可能只使用图像中那些受噪声影响较小的点学习稀疏表达系数。这样做便可以减少噪声点对稀疏表达系数学习的影响。新的模型中的问题（2）在给出稀疏线性组合形式下，通过优化重建去噪图像。我们可以看出式（3-3）中第一个惩罚项和第二个惩罚项相互竞争。如果是噪声点可能性越

32、大，则越小，越大，式（3-3）在极小化过程中第二个惩罚项作用更大，对此项做极小化处理意味着要求与我们学习得到的基元组稀疏表达形式相像。反之，如果是噪声点的可能性越小，则越大，就越小，式（3-3）在极小化过程中第一个惩罚项作用更大，对此项做极小化处理意味着要求与原来的图像相像。3.2 模型优化求解模型的优化求解分为两个部分，分别为求稀疏表达系数和去噪图像。首先我们先对问题进行简化，假定基元组D已知，设为DCT基元组。对问题（1）， （3-5）与经典模型的区别在于在第一个惩罚项中加入了权重向量，将上式写为， （3-6）问题的求解同经典稀疏表达模型类似，我们仍然采用正交匹配追踪（OMP）对稀疏表达系

33、数求解。对问题（2），对能量函数做极小化处理，令，令，则= = = （3-7） pp px(p)y(p)w(p)(c)权重W(b)含噪图像Y(a)图像X图3-1：图像X、Y及权重W示意图图1直观展示了上述推导过程中的某些量,表示图像X中点的灰度值，表示图像Y中点的灰度值，表示点权重值；表示以点为中心的图像块像素点向量表示，同理；表示以点为中心的图像块中点的灰度值，同理；=。3.3 迭代求解算法基于上述讨论，我们下面将给出迭代求解实现椒盐噪声去噪的具体算法步骤。步骤如下：任务：对加入了椒盐噪声的含噪图像进行去噪。算法参数：-图像块大小，-基元组大小，-迭代训练次数，-拉格朗日算子，-噪声强度。给

34、定，；给定，初始化：用中值滤波对噪声图像做去噪处理得到初始去噪图像，采用高斯函数，=超完备DCT基元组。迭代次： i.稀疏编码阶段：在每个图像块上，使用OMP算法计算稀疏表达系数： s.t. . ii.去噪图像更新阶段： iii.权重系数更新阶段：4 实验实验中，我们将在标准测试图像上实验高斯噪声和椒盐噪声去噪算法。第一部分我们将展示对两个样例图片lena和barbara加上高斯噪声，然后分别使用基于DCT基元组、全局基元组和自适应基元组的经典稀疏表达模型对图片去噪；在第二部分中我们对boat和lena两个样例图片加入椒盐噪声，先分别使用基于DCT基元组的经典稀疏表达模型去噪，然后再使用基于D

35、CT基元组的改进模型对其进行去噪处理，这样做可以方便地比较两种去噪模型对椒盐噪声的实际去噪效果。实验过程中我们使用标准的数据测试：所有要处理的图片大小为512512，DCT基元组大小为64256，用来处理图像块的大小为88像素，高斯噪声模型中我们设，椒盐噪声模型中噪声强度统一为P=0.05。 （a）加入高斯噪声lena图 (b)采用DCT基元组去噪结果 (c)全局基元组去噪结果 (d)自适应基元组去噪结果图2：对lena图像(高斯噪声)采用DCT、全局基元组及自适应基元组去噪结果4.1 高斯噪声去噪实验我们对lena和barbara两个样例图片加上高斯噪声，然后分别使用基于DCT基元组，全局基

36、元组和自适应基元组的经典稀疏表达模型对图片去噪. (a)加入高斯噪声barbara图 (b)采用DCT基元组去噪结果 (c)全局基元组去噪结果 (d)自适应基元组去噪结果图3：对“barbara”图像加入高斯噪声并分别采用DCT、全局基元组及自适应基元组去噪结果表4-1：含高斯噪声图像及使用各基元组去噪结果PSNR值比较PSNR(dB)lenabarbara噪声图像28.791228.37863DCT基元组去噪34.921833.0463全局基元组去噪35.029032.7629自适应基元组去噪35.146533.6665从表4-1中我们可以看出，对“lena”和“barbara”两张样例图片

37、加入的高斯噪声，使用基于稀疏线性表达的高斯噪声去噪模型分别采用DCT基元组，全局基元组和自适应基元组对图像做去噪处理，均可以达到较满意的去噪效果。4.2 椒盐噪声去噪实验我们对“boat”和“lena”两个样例图片加入椒盐噪声，先分别使用DCT基元组的经典稀疏表达模型去噪，然后再使用DCT基元组的改进模型对其进行去噪处理。 (a)加入椒盐噪声“boat”图 (b)高斯噪声稀疏表达模型去噪结果(c)我们的去噪结果图4：对“boat”图像加入椒盐噪声并分别采用DCT基元组的经典去噪模型和改进模型去噪结果 (a)加入椒盐噪声的“lena”图 (b)高斯噪声稀疏表达模型去噪结果 (c)我们的去噪结果图

38、5：对“lena”图像加入椒盐噪声并分别基于DCT基元组采用经典去噪模型和改进模型去噪结果表4-2：含椒盐噪声图像及两种模型去噪结果PSNR值比较PSNR(dB)boatlena加入椒盐噪声图像40.088640.0765经典高斯去噪模型33.043034.2431改进的去噪模型43.725644.1064表4-2中所得的数据表明，对加入椒盐噪声的两张样例“boat”和“lena”分别使用基于DCT基元组的经典模型和改进模型对其去噪处理，经典模型得出的结果仍留有不少噪声点，去噪效果差强人意，而改进的去噪模型去噪效果较为令人满意，明显好于原经典模型。这说明我们的改进是非常有效的。5 结论与展望本

39、文我们系统地研究和学习了基于基元组的稀疏线性表达的方法及其在图像去噪中的应用。针对高斯噪声和椒盐噪声的特性，分别学习和建立了适用于去除高斯噪声的经典的去噪模型和适用于去除椒盐噪声的改进的模型。改进过程中，引进了对图像像素点的噪声可能性的权重函数，并建立带权的稀疏表达模型，减少噪声点对稀疏表达模型的影响。实现算法方面，我们在稀疏编码阶段常采用正交匹配追踪（OMP）方法，应用K-SVD算法对基元组迭代更新。实验表明，超完备DCT基元组，从高质量图像中的一组图像块学习得到的基元组，以及对噪声图像本身的图像块学习出的自适应基元组，都有非常好的去噪表现。在高斯去噪模型对椒盐噪声失效时，使用改进的带权稀疏

40、表达模型能得到理想的效果。进一步的工作包括以下几个方面：（1）在处理椒盐噪声的带权的稀疏表达模型数值求解过程中，我们可以加入基元组学习阶段，如高斯去噪模型求解时学习基元组那样，希望获得更好的效果；（2）更多图像和不同噪声水平下的测试比较，尽量得出客观有效的比较结果；（3）进一步学习与研究图像去噪与稀疏表达的相关内容，寻求更合理的去噪模型及更优的优化方法。参考文献1 K Engan, SO Aase and JH Hakon-Husoy. Method of optimal directions for frame designC. IEEE Int. Conf. Acoustics, Spee

41、ch, and SignalProcessing, 1999.2 K Kreutz-Delgado and BD Rao. Focuss-based dictionary learning algorithmsJ. Electrical&Computer Engineering. 2002, 4119: 459-473.3 K Kreutz-Delgado, JF Murray, BD Rao et al. Dictionary learning algorithms for sparse representationJ. Neur. Comput, 2003, 1(15): 349396.4

42、 MS Lewicki and TJ Sejnowski. Learning overcomplete representationsJ. Neur.Comput, 2000, 1(12): 337365.5 L Lesage, R Gribonval, F Bimbot et al. Learning unions of orthonormal bases with thresholded singular value decompositionC. IEEE Intl Conf. Acoustics, Speech, and Signal Processing, 2005, 15, pag

43、es:349-396.6 M Aharon, M Elad and AM Bruckstein. The K-SVD: An algorithm for designing of overcomplete dictionaries for sparse representationJ. IEEE Trans. Signal Process, 2006, 54(11): 4311-4322.7 M Aharon, M Elad and AM Bruckstein. On the uniqueness of overcomplete dictionaries, and a practical wa

44、y to retrieve themC. Special Issue devoted to the Haifa 2005 conference on matrix theory. 2006.8 YC Pati, R Rezaiifar and PS Krishnaprasad. Orthogonal matching pursuit:Recursive function approximation with applications to wavelet decompositionC.Proceedings of the 27th Annual Asilomar . Conference on

45、 Signals, Systems, and Computers, 1993.9 J Portilla, V Strela and MJ Wainwright et al. Image denoising using scale mixtures of gaussians in thewavelet domaJ. IEEE Trans. Image Process. 2003, 1(12): 1338135.10 JL Starck, EJ Candes and DL Donoho. The curvelet transform for image denoisingJ. IEEE Trans

46、. Image Process.2002,1(11): 670684.11 R Eslami and H Radha. Translation-invariant contourlet transform and its application to image denoisingJ. IEEE Trans. Image Process. 2006, 1(15): 33623374.12 B Matalon, M Elad and M Zibulevsky.Improved denoising of images using modeling of the redundant contourl

47、et transformC. The SPIE Conf. Wavelets, 2005.13 OG Guleryuz. Weighted overcomplete denoisingC. The Asilomar Conf. Signals and Systems, Pacific Grove, CA, 2003.14 OG Guleryuz. Nonlinear approximation based image recovery using adaptive sparse reconstructions and iterated denoising: PartITheoryJ. IEEE

48、 Trans. Image Process. 2005, 1(15):539553.15 OG Guleryuz. Nonlinear approximation based image recovery using adaptive sparse reconstructions and iterated denoising: PartIIAdaptive algorithmsJ. IEEE Trans. Image Process. 2005, 1(15):554571.附 录外国文献翻译：Image Denoising Via Sparse and Redundant Representa

49、tions Over Learned DictionariesMichael Elad and Michal AharonAbstractWe address the image denoising problem, where zero-mean white and homogeneous Gaussian additive noise is to be removed from a given image. The approach taken is based on sparse and redundant representations over trained dictionarie

50、s.Using the K-SVD algorithm, we obtain a dictionary that describes the image content effectively. Two training options are considered: using the corrupted image itself, or training on a corpus of high-quality image database. Since the K-SVD is limited in handling small image patches, we extend its d

51、eployment to arbitrary image sizes by defining a global image prior that forces sparsity over patches in every location in the image.We show how such Bayesian treatment leads to a simple and effective denoising algorithm. This leads to a state-of-the-art denoising performance,equivalent and sometime

52、s surpassing recently published leadingalternative denoising methods.Index TermsBayesian reconstruction, dictionary learning, discrete cosine transform (DCT), image denoising, K-SVD, matching pursuit, maximum a posteriori (MAP) estimation, redundancy,sparse representations.I.INTRODUCTIONIn this pape

53、r, we address the classic image denoising problem: An ideal image is measured in the presence of an additive zero-mean white and homogeneous Gaussian noise, , with standard deviation . The measured image is, thus (1)We desire to design an algorithm that can remove the noise from, getting as close as

54、 possible to the original image, .The image denoising problem is important, not only because of the evident applications it serves. Being the simplest possible inverse problem, it provides a convenient platform over which image processing ideas and techniques can be assessed. Indeed,numerous contrib

55、utions in the past 50 years or so addressed this problem from many and diverse points of view. Statistical estimators of all sorts, spatial adaptive filters, stochastic analysis,partial differential equations, transform-domain methods,splines and other approximation theory methods, morphological ana

56、lysis, order statistics, and more, are some of the many directions explored in studying this problem. In this paper, we haveno intention to provide a survey of this vast activity. Instead,we intend to concentrate on one specific approach towards the，image denoising problem that we find to be highly

57、effective and promising: the use of sparse and redundant representations overtrained dictionaries.Using redundant representations and sparsity as driving forces for denoising of signals has drawn a lot of research attention in the past decade or so. At first, sparsity of the unitarywavelet coefficie

58、nts was considered, leading to the celebrated shrinkage algorithm 19. One reason to turn to redundant representations was the desire to have the shift invarianceproperty 10. Also, with the growing realization that regular separable 1-D wavelets are inappropriate for handling images,several new tailo

59、red multiscale and directional redundanttransforms were introduced, including the curvelet 11, 12,contourlet 13, 14, wedgelet 15, bandlet 16, 17, and the steerable wavelet 18, 19. In parallel, the introduction of the matching pursuit 20, 21 and the basis pursuit denoising 22 gave rise to the ability to address the image denoising problem as a direct sparse decomposition technique over redundant dictionaries. All these lead to what is considered today as some of the best available image denoisin