1846号问题的探究反思

《1846号问题的探究反思》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1846号问题的探究反思（7页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、1846号问题的探究反思摘要：本文通过对1846号问题的探究反思，得到了该问题的七种不同证法，六个变形命题，特殊化得到了该问题的原型命题，并给出了两个推广命题.关键词：证明；探究；反思；推广图1 2010年第5期数学通报刊登了白玉娟、郭璋老师给出的1846号问题“在ABC中，A=90，AB=AC，点D1，D2在AC上，且AD1=CD2,AE1BD1于E1，延长AE1交BC于F1，AE2BD2于E2，延长AE2交BC于F2.求证：AD1B+AD2B=CD1F2+CD2F1”的证明1.我们通过对该问题认真探究反思，得到了该问题的一些有意义的结论：一是该问题的多种证法，二是该问题的变形命题，三是该问

2、题的原型命题，四是问题的推广引申. 1 探究问题的多种证法证明1 (构造全等三角形)如图2,作角A的平分线交BD1于G1，图2则 ABG1CAF1， AG1CF1又CD1AG145，AD1CD2 AD1G1CD2F1 AD1G1CD2F1，即AD1BCD2F1.同理，可证AD2B=CD1F2，所以，AD1B+AD2B=CD1F2+CD2F1. 基金项目：河南省教育科学“十一五”规划课题2009-JKGHAG-0227.作者简介：杨宪立，男，汉族，1961年生于河南林州，副教授，大学本科，主要从事数学教育研究.注：由于证明AD2B=CD1F2与证明AD1BCD2F1的道理相同，所以我们在后面的证

3、明中，只证明AD1BCD2F1.证明2 (构造全等三角形)如图3过D1作BC的平行线D1M交AB于M，交AF1于G，则在AMG与D2CF1中，AM=AD1=D2C,AMG=D2CF1=45,只需再证明MG=CF1即可.为此，过M作MN/AF1交BC于N，过C作CH/AF1交BA的延长线于H.CH/AF1，ACH=CAF1=ABD1，又AB=AC，RtACHRtABD1，AH=AD1=AM，而MN/AF1/HC，CF1=NF1=MGAMGD2CF1，CD2F1=MAG=AD1B.证明3 (构造相似三角形)如图4，过F1作F1HAC于H，并令，由RtRt得：，解之得：RtABD1RtHF1D2，A

4、D1BHD2F1=CD2F1.证明4 (利用平行性) AD1BBAF1，为此过C作CG/AB交AF1的延长线于G，如图5则GBAF1，（内错角相等）只需证明GCD2F1即可.CGABACG=90 RtABD1RtCAG CG=AD1=CD2, 又F1CD2=F1CG=45 CD2F1CGF1 GCD2F1 从而有：AD1BCD2F1.证明5 (利用平行性)我们也可在点A处作AD1B的等角，使之与CD2F1处于同位角的位置.为此，取BD1的中点M，联结AM并延长交BC于N，如图6.图6则MAMBMD1 AD1BD1AM, 所以只需证明AN/D2F1即可.MAMBABMBAMCAF1ABD1BAN

5、，ACF1ABN45，AB=ACABNACF1BNCF1 , AN=AF1 AN/F1D2 CD2F1CAN AD1B 证明6 (利用垂心)过A作BC的垂线交BD1于H，交BC于M，如图7.AMBC，BHAF1， H为ABF1的垂心， F1HABF1H/AC又CHAC45 四边形AHF1C为等腰梯形， AH=CF1，AHD1CF1D2，AD1BCD2F1.证明7 (利用计算)过F1作，并令则，由得，AD1BHD2F1=CD2F1.2 探究问题的不同结论与变形因为C=ABC=45，ADBBAF，ADBBAF，所以若AD1BCD2F1，AD2B=CD1F2，则有新的结论：命题1 在ABC中，A=9

6、0，AB=AC，点D1，D2在AC上，且AD1=CD2,AE1BD1于E1，延长AE1交BC于F1，AE2BD2于E2，延长AE2交BC于F2.求证： BAFCD2F1，BAF2CD1F2.由AF1B=CF1D2可知，折线AF1D2满足光的反射原理，从而有命题：命题2 在ABC中，A=90,AB=AC，点D1，D2在AC上，且AD1=CD2, AE1BD1于E1，延长AE1交BC于F1，F为BC上任意一点.求证： AF+FD2AF1+F1D2.由于命题的条件和结论都是唯一的，所以原命题的逆命题也都是成立的，从而又可得如下新的命题：命题3 在ABC中，A=90，AB=AC，点D1，D2在AC上，

7、AE1BD1于E1，延长AE1交BC于F1，且ADBBAF（或AE2BD2于E2，延长AE2交BC于F2. ADBBAF），求证： AD1=CD2.命题4 在ABC中，A=90，点D1，D2在AC上，AD1=CD2，AE1BD1于E1，延长AE1交BC于F1，且ADBBAF，求证： AB=AC.命题5 在ABC中，AB=AC,A=90，点D1，D2在AC上，AD1=CD2，F1在BC上，且ADBBAF，求证： AF1BD1.命题6 在ABC中，AB=AC,，点D1，D2在AC上，AD1=CD2，AE1BD1于E1，延长AE1交BC于F1，且ADBBAF，求证：A=90.以上这些命题，可类似于原

8、命题给出证明，在此略去.3 问题的原型命题特殊化，当D1与D2重合时，即得李长明，周焕山著初等几何研究p457例42：“已知在ABC中，A=90，AB=AC，点D是AC的中点，连结BD，过A作BD的垂线交BC于E，求证：ADB =CDE2”.从而例42是该问题的原型命题，同时该命题也是例42问题的推广.4 问题的推广引申推广1 已知在ABC中，A=90，AB=AC，点是AC的n等分点，交BC于.求证：或.推广2 已知在ABC中，A=90，AB=AC，点是AC上的2n个点，且，交BC于，交BC于，.求证：.由此可见：解答或证明之后，还应该继续深入思考，并作多方面的探究反思. 对于一个题目，寻求多

9、种证法，既能广开思路，培养学生的思维灵活性，又能帮助我们加深对问题的理解和认识，或找到本质的解法，便于对问题进行变形、推广和深化，培养学生的思维深刻性；或找到奇解妙解，以激发学生对数学的兴趣和爱好.参考文献1 白玉娟、郭璋，数学问题解答J，数学通报,2010.5：642 李长明，周焕山.初等数学研究M,北京：高等教育出版社，1995.06：457Inquiry and Reflection on the Problem 1846th Yang Xian-li(Department of Mathematics, Henan Institute of Education, Zhengzhou C

10、hina 450046）Abstract: To inquiry and reflect on the 1846th problem, we get the seven different proofs and six transformed propositions to the problem. By the method of specialization, we find the prototype proposition, and give the two promotions to the problem.Keywords: prove；inquiry；reflection；promotion7