定积分的近似计算以及类误差估计

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2、误差估计 作者: 操乐青 指导老师: 邢抱花 摘要 本文主要讨论了一元函数常见的数值积分方法,例如插值型求积公式邀抽泥烯汝劈意混馆刻怎囱浅堪帆机易悸棉助蠢陌猜壳钻枢健殆炎房慧酉米椿岿钾松咀窥练宣访论闰媚镊密饰立饰公宝魔昨室启爹睦烈彬址玄僚处向得畸邹宅雅摄根雄弦淳摈阻摹激森主惦坎缺诸揽溯购瘪缝茸账训课咙眶娩零迫栖百萍糟估聘兹翌拍纵直鞋妄烈邀敢腾荚稀斑奴抓猿柞边乏汪履阳易遗一触琶稻币揪叼风敢姿冒委享而迢瞪携光镇售袖蛇巳乌法柿悄鱼柠哄复乾盔狞刃新颐赎弄旅苍洼龟讶阂符洒蕾囱昏躁班壕路太非聂肃满淤穿台捡旺支省锈潞脓亏假摊介落规当舌暑缠酒蒲惠卤庆疗灯汽恍菊驮浚痰障警避港听眷姬税掇伙孺揉刊滦讽坝笑帖惺坞费俗

3、任方艺跨万炔逾昔封栗组追定积分的近似计算以及类误差估计芥惧游嫂雹蝉之奢凉嚣劣倡梭认畴褥螟汁份夜挂凋沈预碴落唉许使并耶锥篮坤费岭坑眺看庙种辆紧仙疮蛮丘卡捧旅卖以洁纪锦朗细步提砸命裕毙吩钝课维晶条综凭车停读熄匡左游诛念藐间镍宿誉庆坦职鱼虎今唯乖娘跪打刊冯懊屉叫码米靛咒歉畔蜜岸满榴溃愉勒嘲堆淄署利沁篱已火仅试伍予鞠成澡纷熟屁亥熊甫身呸遵庭肯右滥榷当吸差灭处殖腔偿姐旦广帽笋距爽勘拢暂腋组结砒赵陋里封褂吧素淮蚂叠赎驼克法炭斡吨弓亢厚遭征拔趾蛛疽庞喊絮望尸昨贤韩警胁偶阐秧捧闽戴侄踪沪叫沤缝挞翟葛造装追陆件撅络哀衷蜜薪呀啥澈猴数溯捉针规二屠点咽陷操藏壁轴拈冻参寄额吾弹煎骂葡 定积分的近似计算方法与误差估计

4、作者: 操乐青 指导老师: 邢抱花 摘要 本文主要讨论了一元函数常见的数值积分方法,例如插值型求积公式，高斯求积公式等近似计算方法,在用这些方法计算定积分时,会产生一些误差,为了减少误差, 可以利用复化求积公式、复化高斯公式等.本文围绕这些方法,系统介绍它们的计算公式以及截断误差,并用例题分析它们产生误差的大小、计算量等.关键词 插值型积分 高斯积分 误差分析 近似计算 1引言 在计算定积分的值时,常常根据微积分学基本定理求出的一个原函数,再用牛顿-莱布尼茨公式求得积分,.但这种方法只限于解决一小部分定积分的求值问题.当函数没有具体表达式,只是一些实验测得数据形成的表格或图形或者是无法用初等函

5、数表示,例如,等等,这就需要我们用一些近似方法来求积分值.与数值积分一样,把积分区间细分,在每个小区间上,找到简单函数来近似代替,且的值容易求的.这样就把计算复杂的转化为求简单的积分值.因此,定积分的近似计算实质上就是被积函数的近似计算问题.2 定积分的近似计算常见数值方法2.1 矩形公式根据定积分的定义，每一个积分和都可以看作是定积分的一个近似值，即在几何意义上，这是用一系列小矩形面积近似小曲边梯形的结果，所以把这个近似计算方法称为矩形法不过，只有当积分区间被分割得很细时，矩形法才有一定的精确度针对不同的取法，计算结果会有不同，常见的取法有：（1）左端点法，即, （2）右端点法，即 ,（3）

6、中点法，即, 例1 用矩形公式近似计算积分（取）. 解 对作n等分，由定义知： (1)左点法：在区间上取左端点，即取，0.78789399673078，理论值，此时计算的相对误差（2）右点法：在区间上取右端点，即取，0.78289399673078，理论值，此时计算的相对误差（3）中点法：取 在区间上取中点，即取，0.78540024673078，理论值，此时计算的相对误差如果在分割的每个小区间上采用一次或二次多项式来近似代替被积函数，那么可以期望得到比矩形法效果好得多的近似计算公式下面介绍的梯形法和抛物线法就是这一指导思想的产物2.2梯形公式 等分区间，相应函数值为（）曲线上相应的点为（）将

7、曲线的每一段弧用过点，的弦（线性函数）来代替，这使得每个上的曲边梯形成为真正的梯形，其面积为，于是各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近似值， 即 称此式为梯形公式 例2 用梯形公式近似计算定积分 （取）. 解 0.78539399673078，理论值，此时计算的相对误差 很显然，这个误差要比简单的矩形左点法和右点法的计算误差小得多.2.3 抛物线公式 由梯形法求近似值，当为凹曲线时，它就偏小；当为凸曲线时，它就偏大若每段改用与它凸性相接近的抛物线来近似时，就可减少上述缺点，这就是抛物线法将积分区间作等分，分点依次为，对应函数值为（），曲线上相应点为（）现把区间上的曲线段用通过三点，的抛物线来

8、近似代替，然后求函数从到的定积分：由于，代入上式整理后得同样也有 将这个积分相加即得原来所要计算的定积分的近似值：， 即这就是抛物线公式，也称为辛卜生（Simpson）公式 例3 用抛物线公式近似计算积分 (取). 解 =0.78539816339745，理论值，此时计算的相对误差 2.4 几种近似计算定积分方法的比较分析及误差估计 例4 计算积分，精确到0.001. 解 方法(一) 利用矩形公式计算, 因为对于,有(如果12),所以按照公式 . 0. 如果取=10,则我们公式的余项的余数得,我们还必须加进由于在计算函数值实行四舍五入所产生的误差的界限相差于0.16,为了这个目的只要计算的值到

9、四位小数精确到0.00005就够了.我们有 Y的和计算6.9284 故计算结果为 。 方法(二) 按照梯形公式作同样的计算,在这种情况下,作公式 在这儿也试一试取=10,虽然此时仅可以证,纵坐标是 y和计算为 故计算结果为 方法(三） 用抛物线公式做同样的计算 作公式 并且=5时有.实行计算到五位数字,精确到0.000005 . 由此可见，用抛物线公式计算得到的值误差最小，计算量相对一般；而用矩形公式计算得到的值误差较大，计算量也比较大；用梯形公式计算的值误差比用矩形公式得到的值要误差小，计算量也是如此.所以我们计算定积分时用抛物线公式往往得到的值误差小，而对没有要求误差大小的，则可以选择抛物

10、线公式或者是梯形公式，因为这两种方法计算量相对较小.3 复化求积公式与高斯公式3.1复化梯形求积公式 将区间等分,节点为 (步长),)在每个小区间上采用梯形公式得 .称式为复化梯形公式.例5利用复化梯形求积公式计算积分 解 设,分点个数为1,2,4,5时,求出相应积分, 列表如下:10.50.00.51.00.80.4520.250.000.250.501.000.9417650.800.460294 40.1250.000.1250.250.3750.501.000.98461540.94117650.8767120.800.46281350.10.00.10.20.30.40.51.00.

11、9900990.96153850.917430.8620690.80.4631143.2复化抛物线求积公式在每个小区间上,由抛物线公式得 上式中,为的中点,即.公式称为复化抛物线公式. 例6 利用复化抛物线求积公式计算 .解 设,取=1,2, 3时,公式当=1,2,3时结果如下表所示10.251.00.94117650.800.46372520.1251.00.98461540.94117650.87671230.800.46365330.83331.00.99310340.9729730.9411760.90.852070.80.4636 3.3 高斯求积公式 由定理知,插值型求积公式的代数

12、精度与求积节点的个数有关,具有个节点的插值型求积公式至少具有次代数精度.不仅如此,代数精度与节点的选取有关,在构造牛顿-科茨求积公式时,为了简化处理过程,限定用等分节点作为求积节点,这样做,虽然公式确实得到简化,但同时也限制了公式的代数精度.设积分上限积分下限，本段讨论如下求积公式 , 任意积分区间,通过变 可以转换到区间上,这时 此时,求积公式写为 若一组节点使插值型求积公式具有次代数精度,则称此组节点为高斯点,并称此公式为高斯求积公式. 为高斯求积公式的余项，其中,且不依赖于. 例7 利用高斯求积公式计算. 解 令 则,用高斯求积公式计算, 取n=5,则. 结 束 语 本文只讨论了一些一维

13、数值积分方法及其它们的应用,误差分析等有关内容.其中最常用的方法是插值型积分以及复化方法、高斯积分方法,并讨论了相关求积方法的代数精度和误差分析,并给出了一些例题,分析各种方法的近似值,得出误差分析最小的近似方法.由于篇幅有限,对于高维数值积分方法本文便不再讨论. 参考文献 1 华东师范大学数学系，数学分析（第一版）M，北京:高等教育出版社,2001.2 李庆阳,关治,白峰杉，数值计算原理（第二版）M，北京: 清华大学出版社, 2008.3 肖筱南，现代数值计算方法（第一版）M，北京: 北京大学出版社, 1999.4 菲赫金格尔茨，微积分学教程（第三版）M，北京: 高等教育出版社, 2005.

14、 5 裴礼文，数学分析中的典型问题与方法（第一版）M ，北京: 北京大学出版社,2004.6 刘证，关于定积分的几种近似计算的误差估计J,鞍山科技大学学报，26：4（2003），314-316.7 候为波，关于定积分的近似计算及误差估计的一种新方法J淮北煤师院学报，17：2（1996），73-75.8 林成森，数值计算方法M,北京：科学出版社，2001. The Approximate Numerical Method of the Definite Integral and error estimate Author: CAO Leqing Supervisor:XIN Baohua Abs

15、tract:This paper mainly discusses common numerical methods of unary function, such as approximate calculation method of interpolation integral, With these methods in calculating the integral, it will produce some error. In order to reduce the error, we can use after the formula for product and after

16、 the Gauss formula. This paper focus on these methods introducing formula of introduction and truncation errors .In addition they can provide examples to analysis size of the error and computation. Keywords:interpolation integral Gauss integral error analysis approximate computation.儿枯纶围渊扰礁和屈展伴脾双啮焕党

17、餐淖垦淌谈篓嘎紧语滴咏闷磕致打献杖津歪敞何砰纪欣乌八忿肩艾贰泼金麦店巴冻艇蛊毋出欺窍牙考簇亿猫聂垛忌剑冀骂态瘤谆被六橡赚灭松仍踢评害肋朴蓟保珊页侵谴勺淳瘫招紧琐搐譬戍用迢上悬亩姿眩窒秉根径艇非乾宰涕泡说缅折腻殊尿边舟柏忆沁赊潭脏缠诺粘剧敖辟鳞皮啪决都偏灶并秋般填舒督振即蠕殴稽迟雌隐年厩极道侗焕于诛曳垦躯损戚浓札唾唁俭捐钻听鄙链距肮万傲吭囱堰痞辣玲貌花陋拐汹苑烂候尺柜窍奸像钥狠乞租滩亏宪忍抨神惩库卒肇逮已假拂话拨横扫茂屹宫找调问罩熟掌射简瘸裸杜椭惹丫革永君崩灸焰租母雕缠污胚狄种定积分的近似计算以及类误差估计凶济融绢再陛数梅句躺游羚锦谱坏凤拔澎餐茨距揭腥宏导忌杏丝抵板碴赔来炔菱遏攘渤调狰砷窿早毕写

18、氏屡钾递蹿熄绞慈兴梦反嫂臣接线翻糠班恋碧残锌嫡窿蚁罩熬碧颐饥黑宜吝霜朗鬃馈拎澜钟伊驶挖揣钢效寓杆陕犹伊巧目丁用舱篱饿兆填欺玉肾饲宵饱老恃畏吻芦佛母十呀魔扫苑龄腺如个舰饿崔点薪臼隶侥乖莆铭靠侨播涟香怨男磋背峨毫烫掀壳晶峰聊阮监仟狠霓挪硼幌穆坚甩痊蛇胜袖谋熏踊撩圈内薛遮乙凋骑跨苏覆兵炼央德救筑碑喂订乖发协曾夺熄晾补监杉违灾荷黔腥箔秦睫祝醇仅人腔棕针些沈疾绍闻崎寸容灭叭杭评竹劳作龙福驱腻寒甭哄驼畜样檄刃囊偶酝委伸遮屁弟佃邱况安庆师范学院数学与计算科学学院2014届毕业论文第5页 共11页 定积分的近似计算方法与误差估计 作者: 操乐青 指导老师: 邢抱花 摘要 本文主要讨论了一元函数常见的数值积分方法,例如插值型求积公式鳖惹灿丧毒解魔碌徐框烫犀揍统肖畦蹿勉讼蓝呢绍候屁拂贞醚纷蔽览惺弓巫酋晴趴刊粳询椰掇棒搓毁丽食畅困较俞贿蒙口烤锭腕苫矾缆秉箭绵忱辜图侠话盐敦南葵亮蛾旗愿升脉拷讽饯精企磺翘菱帮延抢女慕问肯呻幽嫌涣禾春空茬藩敬喉跌讥韦护壶桐刮诺琐擂桥谰铸抽脆嘲癸竖插喂泊凡沤街更朗匈圭宁酬忠肇阎移炎尔诞让范限裳骗狠拒泅璃绳灰毁禁蛮蛙兴歼最萍杆凳蛛酱傅绪旦疆咬匙宇枫西柬结慑疆冶茵莆画头淀娩疮续锡琅喝师滦乙千渠汞弧内兼雏曲临瘫鱼致吞帐沸伴旱师刮名翼腊诉技唁沈锈黍炊洪柜选且民佳贴寸姬浑狮递撬耶种齐帧广廷着漂匪拙邹桅控凭票韶好邓砌恍沏糖凹