高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性学案 新人教A版必修1

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1、第1课时函数的单调性学习目标：1.理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性(重点、难点)2.会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性(难点)3.会求一些具体函数的单调区间(重点)自 主 预 习·探 新 知1增函数与减函数的定义条件一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时都有f(x1)f(x2)都有f(x1)f(x2)结论那么就说函数f(x)在区间D上是增函数那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图示思考1：增(减)函数定义中的x1，x2有什么特征？提示定义中的x1，x2有以下3个

2、特征(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x1<x2；(3)属于同一个单调区间2函数的单调性与单调区间如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间思考2：函数y在定义域上是减函数吗？提示不是y在(，0)上递减，在(0，)上也递减，但不能说y在(，0)(0，)上递减基础自测1思考辨析(1)因为f(1)<f(2)，所以函数f(x)在1,2上是增函数()(2)若f(x)为R上的减函数，则f(0)>f(1)()(3)若函数f(x

3、)在区间(1,2和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数()答案(1)×(2)(3)×2函数yf(x)的图象如图1­3­1所示，其增区间是()图1­3­1A4,4B4，31,4C3,1D3,4C由图可知，函数yf(x)的单调递增区间为3,1，选C.3下列函数中，在区间(0，)上是减函数的是()【导学号：37102125】AyByxCyx2 Dy1xD函数y1x在区间(0，)上是减函数，其余函数在(0，)上均为增函数，故选D.4函数f(x)x22x3的单调减区间是_(，1)因为f(x)x22x3是图象开口向上的

4、二次函数，其对称轴为x1，所以函数f(x)的单调减区间是(，1)合 作 探 究·攻 重 难求函数的单调区间求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数(1)f(x)；(2)f(x)(3)f(x)x22|x|3. 【导学号：37102126】解(1)函数f(x)的单调区间为(，0)，(0，)，其在(，0)，(0，)上都是增函数(2)当x1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调区间为(，1)，1，)，并且函数f(x)在(，1)上是减函数，在1，)上是增函数(3)因为f(x)x22|x|3根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象

5、可知，函数f(x)的单调区间为(，1，(1,0)，0,1)，1，)f(x)在(，1，0,1)上是增函数，在(1,0)，1，)上是减函数规律方法1求函数单调区间的方法(1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解；(2)利用函数的图象，如本例(3)2若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开，如本例(3)跟踪训练1(1)根据如图1­3­2说出函数在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数；图1­3­2(2)写出y|x22x3|的单调区间解(1)函数在1,0，2

6、,4上是减函数，在0,2，4,5上是增函数(2)先画出f(x)的图象，如图所以y|x22x3|的单调减区间为(，1，1,3；单调增区间为1,1，3，)函数单调性的判定与证明证明函数f(x)x在(0,1)上是减函数. 【导学号：37102127】思路探究：证明设x1，x2是区间(0,1)上的任意两个实数，且x1<x2，则f(x1)f(x2)(x1x2)(x1x2)(x1x2)0<x1<x2<1，x1x2<0,0<x1x2<1，则1x1x2<0，>0，即f(x1)>f(x2)，f(x)x在(0,1)上是减函数规律方法利用定义证明函数单调性

7、的步骤(1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2.(2)作差变形：作差f(x1)f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子.(3)定号：确定f(x1)f(x2)的符号.(4)结论：根据f(x1)f(x2)的符号及定义判断单调性.提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式.跟踪训练2试用函数单调性的定义证明：f(x)在(1，)上是减函数证明f(x)2，设x1>x2>1，则f(x1)f(x2)，因为x1>x2>1，所以x2x1<0，x11>0，x21>0，所以f(x1)<

8、;f(x2)，所以f(x)在(1，)上是减函数函数单调性的应用探究问题1若函数f(x)是其定义域上的增函数，且f(a)>f(b)，则a，b满足什么关系如果函数f(x)是减函数呢？提示：若函数f(x)是其定义域上的增函数，那么当f(a)>f(b)时，a>b；若函数f(x)是其定义域上的减函数，那么当f(a)>f(b)时，a<b.2若函数f(x)x22ax3在(2，)上是增函数，则实数a的取值范围是什么？提示：因为函数f(x)x22ax3是图象开口向上的二次函数，其对称轴为xa，所以其单调增区间为(a，)，由题意可得(2，)(a，)，所以a2.已知函数f(x)x2ax

9、b.(1)若函数f(x)的图象过点(1,4)和(2,5)，求f(x)的解析式(2)若函数f(x)在区间1,2上不单调，求实数a的取值范围. 【导学号：37102128】思路探究：解(1)f(x)x2axb过点(1,4)和(2,5)，解得f(x)x22x5.(2)由f(x)在区间1,2上不单调可知1<<2，即4<a<2.母题探究：1.把本例(2)条件“不单调”改为“单调”，求实数a的取值范围解由f(x)在区间1,2上单调可知1或2，即a4或a2.2若把本例改为“函数g(x)在(，)上是增函数，且g(2x3)>g(5x6)”，求实数x的取值范围解g(x)在(，)上是增

10、函数，且g(2x3)>g(5x6)，2x3>5x6，即x<3.所以实数x的取值范围为(，3)规律方法函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.(2)若一个函数在区间a，b上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.当 堂 达 标·固 双 基1如图1­3­3是定义在区间5,5上的函数yf(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是()图1­3­3A函数在区间5，3上单调递增B函数在区间1,4上单调递增C函数在区间3

11、,14,5上单调递减D函数在区间5,5上没有单调性C由图可知，f(x)在区间3,1，4,5上单调递减，单调区间不可以用并集“”连接，故选C.2函数f(x)在R上是减函数，则有() 【导学号：37102129】Af(3)<f(5)Bf(3)f(5)Cf(3)>f(5) Df(3)f(5)C3<5，且f(x)在R上是减函数，f(3)>f(5)3如果函数f(x)x22bx2在区间3，)上是增函数，则b的取值范围为()Ab3 Bb3Cb3 Db3C函数f(x)x22bx2的图象是开口向上，且以直线xb为对称轴的抛物线，若函数f(x)x22bx2在区间3，)上是增函数，则b3，故

12、选C.4已知函数f(x)(k0)在区间(0，)上是增函数，则实数k的取值范围是_. 【导学号：37102130】(，0)结合反比例函数的单调性可知k<0.5证明：函数y在(1，)上是增函数证明设x1>x2>1，则y1y2.x1>x2>1，x1x2>0，x11>0，x21>0，>0，即y1y2>0，y1>y2，y在(1，)上是增函数我国经济发展进入新常态，需要转变经济发展方式，改变粗放式增长模式，不断优化经济结构，实现经济健康可持续发展进区域协调发展，推进新型城镇化，推动城乡发展一体化因：我国经济发展还面临区域发展不平衡、城镇化水平不高、城乡发展不平衡不协调等现实挑战。