ACM培训第二次

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1、 ACM竞赛经典算法计算机与信息技术学院 目 录第四次课 深度搜索3第五次课深搜211第六次课深搜（）14第七次课 深搜（）21第八次课 宽搜（1）29第九次课宽搜（2）+双向搜索35第十次课启发式搜索A*（宽搜的变式）42第四次课 深度搜索 在我们遇到的一些问题当中，有些问题我们不能够确切的找出数学模型，即找不出一种直接求解的方法，解决这一类问题，我们一般采用搜索的方法解决。搜索就是用问题的所有可能去试探，按照一定的顺序、规则，不断去试探，直到找到问题的解，试完了也没有找到解，那就是无解，试探时一定要试探完所有的情况（实际上就是穷举）；对于问题的第一个状态，叫初始状态，要求的状态叫目标状态。

2、搜索就是把规则应用于实始状态，在其产生的状态中，直到得到一个目标状态为止。产生新的状态的过程叫扩展（由一个状态，应用规则，产生新状态的过程）搜索的要点：（1）初始状态； （2）重复产生新状态； （3）检查新状态是否为目标，是结束，否转（2）；如果搜索是以接近起始状态的程序依次扩展状态的，叫宽度优先搜索。如果扩展是首先扩展新产生的状态，则叫深度优先搜索。深度优先搜索深度优先搜索用一个数组存放产生的所有状态。（1） 把初始状态放入数组中，设为当前状态；（2） 扩展当前的状态，产生一个新的状态放入数组中，同时把新产生的状态设为当前状态；（3） 判断当前状态是否和前面的重复，如果重复则回到上一个状态，

3、产生它的另一状态；（4） 判断当前状态是否为目标状态，如果是目标，则找到一个解答，结束算法。（5） 如果数组为空，说明无解。（6） 转到（） 对于pascal语言来讲，它支持递归，在递归时可以自动实现回溯（利用局部变量）所以使用递归编写深度优先搜索程序相对简单，当然也有非递归实现的算法。 1、 迷宫（左上角入口，右下角出口，找到一条通路。）1110101111100011程序如下：const d:array1.4,1.4of integer=(1,1,0,0),(0,1,1,1),(1,1,0,1),(0,1,1,1); c:array1.4,1.2of -1.1=(0,1),(0,-1),(

4、1,0),(-1,0);var a:array1.16,1.2of integer; i,j:integer;procedure play(k:integer); var i:integer; begin if (ak,1=4)and(ak,2=4) then begin for i:=1 to k do write(,ai,1,ai,2,); writeln; readln; exit; end; for i:=1 to 4 do if (ak,1+ci,10)and(ak,1+ci,10)and(ak,2+ci,25) then if dak,1,ak,2=1 then begin dak

5、,1,ak,2:=2; ak+1,1:=ak,1+ci,1; ak+1,2:=ak,2+ci,2; play(k+1); dak,1,ak,2:=1; end;end;begin fillchar(a,sizeof(a),0); a1,1:=1;a1,2:=1; play(1);end.2、 8数码八数码问题是指这样一种游戏：将分别标有数字1，2，3，8的八块正方形数码牌任意地放在一块33的数码盘上。放牌时要求不能重叠。于是，在33的数码盘上出现了一个空格（0表示空格）。现在要求按照每次只能将与空格相邻的数码牌与空格交换的原则，将任意摆放的数码盘逐步摆成某种特殊的排列。如下图所示：567408

6、321507461382程序如下：type node=array1.3,1.3of 0.8;const st:node=(2,8,3),(1,6,4),(7,0,5); gl:node=(1,2,3),(8,0,4),(7,6,5); rl:array1.4,1.2of-1.1=(0,1),(0,-1),(1,0),(-1,0);var a:array1.20of node;function result(k:integer):boolean; var i,x,y:integer;begin result:=false; for x:=1 to 3 do for y:=1 to 3 do if

7、 ak,x,yglx,y then exit; result:=true;end;procedure look(k:integer;var x,y:integer); var i,j:integer; begin for i:=1 to 3 do for j:=1 to 3 do if ak,i,j=0 then begin x:=i;y:=j;end; end;procedure print(k:integer); var i,x,y:integer;begin for i:=1 to k do begin writeln(step:,i); for x:=1 to 3 do begin f

8、or y:=1 to 3 do write(ai,x,y:3); writeln; end; writeln(-); end; end;function nrep(k:integer):boolean; var i,x,y:integer; f:boolean; begin nrep:=false; for i:=1 to k-1 do begin f:=true; for x:=1 to 3 do for y:=1 to 3 do if ai,x,yak,x,y then begin f:=false;break;break;end; if f then exit; end; nrep:=t

9、rue; end;procedure step(k:integer); var i,x,y:integer; begin if k=20 then exit; if result(k) then begin print(k);exit;end; look(k,x,y); for i:=1 to 4 do begin if (x+rli,1=1)and(x+rli,1=3)and(y+rli,2=1)then begin ak+1:=ak; ak+1,x+rli,1,y+rli,2:=ak,x,y; ak+1,x,y:=ak,x+rli,1,y+rli,2; if nrep(k+1) then

10、step(k+1); end; end; end; begin a1:=st; step(1);end.3、 跳马（5*5）国际象棋8*8棋盘上某个位置的一只马，按马的行走规则，每个方格进入一次.，它是否可能只走63步，正好走过除起点外的其他63个位置各一次？如果有一种这样的走法，则称所走的这条路线为一条马的周游路线。试设计一个算法找出这样一条马的周游路线并输出。本题采用5*5的棋盘。程序如下：const d:array1.8,1.2of -2.2=(-2,1),(-2,-1),(1,2),(1,-2),(2,-1),(2,1),(-1,-2),(-1,2);var a:array1.5,1.

11、5of 0.1;procedure print; var i,j:integer; begin for i:=1 to 5 do begin for j:=1 to 5 do write(ai,j:3); writeln; end; readln; end;procedure play(x,y:integer); var i:integer; begin if (x=5)and(y=5) then begin print;exit;end; for i:=1 to 8 do if (x+di,10)and(x+di,10)and(y+di,2目标(40,40.0)程序如下：const v:ar

12、ray1.3of integer=(80,50,30);var a:array1.30,1.3of integer;procedure print(k:integer); var i:integer; begin for i:=1 to k do writeln(step:,i,ai,1:3,ai,2:3,ai,3:3); readln; end;function nrep(k:integer):boolean; var i:integer; begin nrep:=false; for i:=1 to k-1 do if (ai,1=ak,1)and(ai,2=ak,2)then exit;

13、 nrep:=true; end;procedure step(k:integer); var i,j:integer; begin if (ak,1=40)and(ak,2=40) then begin print(k);exit;end; for i:=1 to 3 do for j:=1 to 3 do if (ij)and(ak,i0)and(ak,jvj )then begin ak+1,i:=ak,i+ak,j-vj; ak+1,j:=vj;end else begin ak+1,i:=0;ak+1,j:=ak,i+ak,j;end; if nrep(k+1) then step(

14、k+1); end; end; begin a1,1:=80; a1,2:=0; a1,3:=0; step(1); end.5、狼、羊、菜过河（农夫过河问题）规则是：猎人每次只能带一样过河，而狼吃羊，羊吃菜，不能没有猎人在时在一起。算出过河的方案。程序如下：var a:array1.30,1.4of integer;procedure print(k:integer); var i:integer; begin for i:=1 to k do writeln(step:,i,ai,1:3,ai,2:3,ai,3:3,ai,4:3); readln; end;function can(k:i

15、nteger):boolean; var i:integer; begin can:=false; if (ak,2=ak,3)and(ak,2ak,1)or(ak,3=ak,4)and(ak,3ak,1) then exit; i:=k-2; while i0 do begin if (ai,1=ak,1)and(ai,2=ak,2)and(ai,3=ak,3)and(ai,4=ak,4) then exit; i:=i-2; end; can:=true; end;procedure step(k:integer); var i:integer; begin if ak,1+ak,2+ak

16、,3+ak,4=0 then begin print(k);exit;end; for i:=1 to 4 do begin if i1 then begin ak+1:=ak; ak+1,i:=1-ak,i; ak+1,1:=1-ak,1; end else begin ak+1:=ak; ak+1,1:=1-ak,1; end; if can(k+1) then step(k+1); end; end;begin a1,1:=1; a1,2:=1; a1,3:=1; a1,4:=1; step(1);end.6、野人和传教士过河野人和传教士各三人，小船只能载两人，要求野人的人数不能多于传教

17、士。算出过河的方案总数。程序如下：const c:array1.5,1.2of 0.2=(1,0),(0,1),(2,0),(0,2),(1,1);var a:array1.30,1.2of integer;procedure print(k:integer); var i,j:integer; begin for i:=1 to k do begin writeln(step:,i,ai,1:3,ai,2:3); end; end;function can(k:integer):boolean; var i:integer; begin can:=false; if (ak,13)or(ak

18、,13)or(ak,2ak,2)and(ak,20)or(ak,1ak,2)and(ak,20 do begin if (ai,1=ak,1) and(ai,2=ak,2) then exit; i:=i-2; end; can:=true; end;procedure step(k,p:integer); var i:integer; begin if ak,1+ak,2=0 then begin print(k);exit;end; for i:=1 to 5 do begin ak+1,1:=ak,1+p*ci,1; ak+1,2:=ak,2+p*ci,2; if can(k+1) th

19、en step(k+1,-p); end;end;begin a1,1:=3; a1,2:=3; step(1,-1);end.第五次课深搜21、n2的棋盘，填1n2个数，要求下比上大，左比右大。程序如下：var a:array0.11,0.11of integer; b:array0.200of boolean; n,s:integer;procedure print; var i,j:integer; begin for i:=1 to n do begin for j:=1 to n do write(ai,j:3); writeln; end; writeln(-); readln;

20、end;procedure try(x,y:integer); var i,j:integer; begin if (x=n+1) then begin inc(s);print;exit;end; if y=n+1 then try(x+1,1)else begin j:=0; if (y=1)and(ax,y-1j) then j:=ax,y-1; if (x=1)and(jax-1,y)then j:=ax-1,y; for i:=j+1 to n*n-(n-x+1)*(n-y+1)+1 do if bi then begin ax,y:=i; bi:=false; try(x,y+1)

21、;bi:=true; end; end; end;begin readln(n); fillchar(b,sizeof(b),true); s:=0; try(1,1); writeln(s);end.2、n*n方阵中填号，使得每行每列都有m个（mn then begin print;inc(s);exit;end; if ym then try(x+1,1) else for i:=ax,y-1+1 to n-m+y do begin ax,y:=i;bi:=bi+1; if (bi=m-(n-x) then try(x,y+1); bi:=bi-1; end; end;begin read

22、ln(n,m); s:=0; fillchar(b,sizeof(b),0); fillchar(a,sizeof(a),0); try(1,1); writeln(s);end.3、中国盒”abababab_” -”aaaa_bbbb”;程序如下：var a:array1.1000of string10; i,j:integer;procedure print(k:integer); var i:integer; begin for i:=1 to k do writeln(ai); end;function nrep(k:integer):boolean; var i:integer; b

23、egin nrep:=false; for i:=1 to k-1 do if ai=ak then exit; nrep:=true; end;procedure try(k:integer); var i:integer;begin if ak-1=aaaa_bbbbthen begin print(k-1);exit;end; for i:=1 to 9 do if ak-1,i=_ then break; for j:=1 to 9 do if (j+1i+1) then begin ak:=ak-1; ak,i:=ak-1,j; ak,i+1:=ak-1,j+1; ak,j:=_;

24、ak,j+1:=_; if nrep(k) then try(k+1); end;end;begin a1:=abababab_; try(2);end.第六次课深搜（）搜索：问题的表示、状态（初始状态-目标状态）、变化的规则。判合法、判重复、判结果最优解的求法：用一个变量去存放最优解，每次去比，搜一遍，挑一个最优的。角度：哪个角度的工作量最少，就从哪个角度去搜即搜的次数最少。次序：选择哪个次序，把最好的放在前面，把不好的放在后边。深度：深度为m，宽度为n，则搜索的次数为nm，所以尽量减少深度，把一些不可能的深度让其退出，就是优化。宽度：把无效的给滤掉。展望：求最优解时适用。先把最优解给存起来

25、，如果一个值明显比最优解不好，则让他退出，就是优化。、 任务的最佳安排。源程序名arrange.?(pas|c|cpp)输入文件名arrange.in输出文件名arrange.out时间限制1s/testcase空间限制32MB- 问题描述给省队选拔赛命题的时候，周老师手下有N个命题人，要命N种不同类型的试题，其中每人命每一类型的试题一题。因为每个命题人对不同题型的掌握程度不同，所以他们编出的试题难度也有不同（这用一个难度数值来表示）。为了尽可能地刁难大家，周老师决定出一张N个题的试卷，每一类型的试题一题，而且所有题的难度值总和最大。- 输入数据第一行为N(N = 20)，代表命题人的个数。（

26、40%的数据N=10）以后N行，每行N个整数（每个数不超过100），第i行j列的数表示第i个人出的第j种题目的难度大小。- 输出数据一行，表示试卷难度的最大值。- 样例输入350 50 110 100 10100 10 10- 样例输出201程序如下：var a:array1.20,1.20of integer; b:array1.20of boolean; d:array0.21of integer; max,n,i,j:integer; f:text;procedure step(x,s:integer); var i,j:integer; begin if s+dx+1n then if

27、 smax then begin max:=s; exit;end; for i:=1 to n do if bi then begin bi:=false; step(x+1,s+ax,i); bi:=true; end; end;begin assign(f,input.in); reset(f); readln(f,n); for i:=1 to n do begin for j:=1 to n do read(f,ai,j); readln(f); end;加展望 close(f); dn+1:=0; for i:=n downto 1 do begin di:=ai,1; for j

28、:=2 to n do if ai,jdi then di:=ai,j; di:=di+di+1; end; max:=0; fillchar(b,sizeof(b),true); step(1,0); writeln(max);end.、 背包问题（01）要么装，要么不装，不允许切割。（1）设有一个背包可以放入的物品重量为V，现有n件物品，重量分别为W1,W2,.Wn。问能否从这n件物品中选择若干件放入此背包，使得放入的重量之和最接近或正好为V。变式：装箱问题问题描述有一个箱子容量为V（正整数，0V20000），同时有n个物品（0n30，每个物品有一个体积（正整数）。要求n个物品中，任取若干

29、个装入箱内，使箱子的剩余空间为最小。样例输入：24 一个整数，表示箱子容量6 一个整数，表示有n个物品8 接下来n行，分别表示这n 个物品的各自体积312797输出：0 一个整数，表示箱子剩余空间。程序如下:uses dos;var a:array1.50 of integer; b:array0.50 of integer; v,n,min:integer; h,f,m,m1:word;procedure init;var f:text; i,j,k:integer;begin assign(f,10.txt); reset(f); readln(f,v); readln(f,n); for

30、 i:=1 to n do readln(f,ai); close(f); for i:=1 to n-1 do for j:=i+1 to n do if aiaj then begin k:=ai;ai:=aj;aj:=k;end;end;procedure try(k,s:integer);var i:integer;begin if smin then min:=s; if san then exit; for i:=bk-1+1 to n do if ai=s then begin bk:=i; try(k+1,s-ai); end;end;begin gettime(h,f,m,m

31、1); writeln(h,:,f,:,m,:,m1); init; min:=v; b0:=0; try(1,v); writeln(min); gettime(h,f,m,m1); writeln(h,:,f,:,m,:,m1);end.程序如下：、 背包问题，求背包的价值值最大。n个物品重量和价值对应关系如图所示，求价值最大。三、采药(medic.pas/c/cpp)【问题描述】 辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草

32、药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。” 如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？【输入文件】输入文件medic.in的第一行有两个整数T（1 = T = 1000）和M（1 = M = 100），用一个空格隔开，T代表总共能够用来采药的时间，M代表山洞里的草药的数目。接下来的M行每行包括两个在1到100之间（包括1和100）的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。【输出文件】输出文件medic.out包括一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的

33、草药的最大总价值。【样例输入】70 371 10069 11 2【样例输出】3【数据规模】对于30%的数据，M = 10；对于全部的数据，M max then max:=s; if t1am+1,1 then exit; for i:=bk-1+1 to m do if ai,1aI,1 then am+1,1:=aI,1; am+1,1存放最小时间值 for i:=1 to m-1 do for j:=i+1 to m do if ai,2/ai,1aj,2/aj,1 then begin k:=ai; ai:=aj;aj:=k;end;max:=0; try(1,t,0); writeln

34、(max);end.第七次课 深搜（）一、 棋子控制棋盘的棋盘上的每棵棋子都可以控制它的上下左右不能放棋子，求可以控制整个棋盘的最少棋子数。const c:array1.5,1.2of integer=(0,1),(0,-1),(1,0),(-1,0),(0,0);var a,b:array0.6,0.6of integer; min:integer;procedure lookup(var x,y:integer);var i,j:integer; begin for i:=1 to 5 do for j:=1 to 5 do if ai,j=0 then begin x:=i;y:=j;e

35、xit; end; x:=0 end;procedure try(k:integer); var x,y,xx,yy,i,j:integer;begin if min0)and(xx0)and(yy6)then begin inc(axx,yy,10); for j:=1 to 4 do inc(axx+cj,1,yy+cj,2); try(k+1); for j:=1 to 4 do dec(axx+cj,1,yy+cj,2); dec(axx,yy,10); end;end;end;begin fillchar(a,sizeof(a),0); min:=15; try(1); writel

36、n(min);end. inc(axx,yy,10); for j:=1 to 4 do inc(axx+cj,1,yy+cj,2); try(k+1); for j:=1 to 4 do dec(axx+cj,1,yy+cj,2); dec(axx,yy,10); end;end;end;begin fillchar(a,sizeof(a),0); min:=8; try(1); writeln(min);end.二、均分数据源程序名data.?(pas|c|bas)输入文件名data.in输出文件名data.out【问题描述】已知N个正整数：A1、A2、An 。今要将它们分成M组（X1，X

37、2，Xm），使得各组数据的数值和最平均，即各组的和与各组和的平均值的差的绝对值的和最小。公式如下：X=（X1+X2+Xm）MY=X1XX2XXmXX是各组数据和的平均值，i为第i组数据的数值和。即求所有分法中值的最小值。【输入文件】输入文件data.in包括：第一行是两个整数，表示N,M的值（N是整数个数，M是要分成的组数）第二行有N个整数，表示A1、A2、An。整数的范围是1-50。（同一行的整数间用空格分开）【输出文件】输出文件data.out包括一行，这一行只包含一个数，表示各组的和与各组和的平均值的差的绝对值的和的最小值(四舍五入后保留2位小数)。【样例】若输入文件data.in中的内

38、容为： 6 31 2 3 4 5 6则输出文件data.out中的内容应为0 00（1和6、2和5、3和4分别为一组）【问题规模】50%的数据2=N=10,M=2100%的数据M=N = 20，2=Mn then begin s:=0; for i:=1 to m do s:=s+abs(bi-p); if smin then min:=s; exit; end; for i:=1 to m do begin bi:=bi+ak; try(k+1); bi:=bi-ak; end;end;begin assign(f,data.in); reset(f); readln(f,n,m); for

39、 i:=1 to n do read(f,ai); close(f); p:=0; for i:=1 to n do p:=p+ai; p:=p/m; min:=10000000; fillchar(b,sizeof(b),0); try(1); assign(f,data.out); rewrite(f); writeln(f,min:4:2); close(f);end.算法二：以组为出发点，搜索它内部放的数。组内是无序的，各数之间是组合问题；组间也是无序的，也是组合问题。组的控制只须把未被使用的第一个数定为该组的第一个元素，以后元素按组合的方式搜索。var a:array1.100 of

40、 integer; n,m,i,s,j:integer; b:array1.100 of boolean; c:array1.30,1.100 of integer; f:text; x,y:real;procedure try(k,l,s,p:integer;t:real);var i:integer;begin if kt+abs(s-x) then y:=t+abs(s-x); exit; end; if y=t+abs(p+s)/k-x)*k then exit; if l=1 then begin for i:=1 to n do if bi then begin bi:=false

41、; ck,l:=i; try(k-1,1,s-ai,0,t+abs(p+ai-x); try(k,2,s-ai,p+ai,t); ck,l:=0; bi:=true; break; end; end else begin for i:=ck,l-1+1 to n do if bi then begin bi:=false; ck,l:=i; try(k-1,1,s-ai,0,t+abs(p+ai-x); try(k,l+1,s-ai,p+ai,t); ck,l:=0; bi:=true; end; end;end;begin assign(f,data.in8); reset(f); read

42、ln(f,n,m); for i:=1 to n do read(f,ai); close(f); for i:=1 to n-1 do for j:=i+1 to n do if aiaj then begin s:=ai;ai:=aj;aj:=s;end; s:=0; for i:=1 to n do s:=s+ai; y:=s; x:=s/m; fillchar(b,sizeof(b),true); try(m,1,s,0,0); writeln(y:4:2);end.三、生日蛋糕7月17日是Mr.W的生日，ACM-THU为此要制作一个体积为N的M层生日蛋糕，每层都是一个圆柱体。设从下往

43、上数第i(1=i=M)层蛋糕是半径为Ri, 高度为Hi的圆柱。当iRi+1且HiHi+1。由于要在蛋糕上抹奶油，为尽可能节约经费，我们希望蛋糕外表面（最下一层的下底面除外）的面积Q最小。令Q= S请编程对给出的N和M，找出蛋糕的制作方案（适当的Ri和Hi的值），使S最小。（除Q外，以上所有数据皆为正整数）输入有两行，第一行为N（N=10000），表示待制作的蛋糕的体积为N；第二行为M(M=20)，表示蛋糕的层数为M。输出仅一行，是一个正整数S（若无解则S=0）。样例输入1002样例输出68附：圆柱公式体积V=R2H侧面积A=2RH底面积A=R2算法分析： 搜索次序：从底层的形状（大小）逐步向上

44、搜； 判合法：是否出界（太大或太小剩余的体积作不出蛋糕来）展望：剩余体积的最小表面积程序如下：var r,h:array0.21 of integer; n,m,min:integer; a:array0.21 of integer; i:integer; f:text;function tj(k,x,y:integer):longint;var v,i:longint;begin v:=0; for i:=1 to k-1 do v:=v+(x-i)*(x-i)*(y-i); tj:=v;end;procedure try(k,s,v:integer);var x,y:longint;begin if k1 then begin if (v=0)and(smin)then min:=s;