武汉市高三5月供题（三）理科数学试题及答案

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1、数学（理科）试卷 第 1 页 武汉市武汉市 20142014 届高三届高三 5 5 月供题（三）月供题（三） 理科理科数学数学 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 5050 分分 1 1已知已知a a，b bR R，i i 是虚数单位若是虚数单位若a ai i= =b bi i1 1i i，则则a ab bi i= = A A2 2i Bi B2 2i Ci C1 12i D2i D1 12i2i 2 2命题“存在实数命题“存在实数x，使，使x1 1”的否定是”的否定是 A A对任意实数对任意实数x，都有都有x1 1 B B不存在

2、实数不存在实数x，使，使x1 1 C C对任意实数对任意实数x，都有都有x1 1 D D存在实数存在实数x，使，使x1 1 3 3在四边形在四边形ABCDABCD中中，(1,2)AC ，( 4,2)BD ，则四边形的面则四边形的面积为积为 A A5 B B2 5 C C5 5 D D1010 4 4执行如图所示的程序框图执行如图所示的程序框图，若输入若输入n n1010，则输出的，则输出的S S A A. .511 B B1011 C C. .3655 D D7255 5 5若函数若函数 21=fxxaxx在在1,+2上上是增函数是增函数，则则a的取值范围是的取值范围是 A A-1,0 B B

3、 1,) C C0,3 D D3,) 6 6如右图如右图，矩形矩形OABCOABC内的阴影部分由曲线内的阴影部分由曲线f f( (x x)=sin)=sinx x( (x x(0(0，)及直线及直线x x= =a a( (a a(0(0，)与与x x轴围成轴围成， 向矩形向矩形OABCOABC内随机投掷一点，内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为若落在阴影部分的概率为163，则，则a a的值为的值为 A A127 B B32 C C43 D D65 数学（理科）试卷 第 2 页 7 7如图如图，F F1 1，F F2 2是椭圆是椭圆C C1 1：x x2 24 4+y+y2 2=1=1 与双曲

4、线与双曲线C C2 2的的公共公共焦点焦点，A A，B B分别是分别是C C1 1，C C2 2在第二、四象限的公在第二、四象限的公共共点若四边形点若四边形AFAF1 1BFBF2 2为矩形为矩形，则则C C2 2的离心率是的离心率是 A A 2 2 B B 3 3 C C3 32 2 D D 6 62 2 8 8设设m为正整数为正整数，2()mxy展开式的二项式系数的最大值为展开式的二项式系数的最大值为a，21()mxy展开式的展开式的二项式系数的最大值为二项式系数的最大值为b，若若137ab，则则m A A5 5 B B6 6 C C7 7 D D8 8 9 9函数函数= ( )y f x

5、的图象如图所示的图象如图所示, ,在区间在区间, a b上可找到上可找到(2)n n 个不同个不同的数的数12,nx xx使得使得1212()()()nnf xf xf xxxx，则则n的取值范围是的取值范围是 A A3,4 B B2,3,4 C C3,4,5 D D2,3 1010 已知两条直线已知两条直线1l：y y= =m m 和和2l： y=y=821m( (m m0)0)，1l与函数与函数2logyx的图象从左至右相交于点的图象从左至右相交于点A A，B B ，2l与函数与函数2logyx的图象从左至右相交于的图象从左至右相交于C C, ,D D . .记线段记线段ACAC和和BDB

6、D在在x x轴上的投影长度分别为轴上的投影长度分别为a a，b b ，当当m m 变化时，变化时，ba的的最小值为最小值为 数学（理科）试卷 第 3 页 A A16 2 B.B.8 2 C.C.8 4 D.D.4 4 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 6 小题，小题，考生共需作答考生共需作答 5 5 小题，小题，每小题每小题 5 5 分，共分，共 2525 分分 （一）必考题（一）必考题（11111414 题）题） 1111 在在ABCABC中中， 若若a a2 2，b bc c7 7， coscosB B1 14 4， 则则b b 1212满足约束条件满足约束条件22xy的目标函

7、数的目标函数zyx的最小值的最小值是是 1313一个几何体的三视图如图所示（单位：一个几何体的三视图如图所示（单位：m m） ，） ， 则该几何体的体积为则该几何体的体积为 m m3 3 1414设设nS为数列为数列na的前的前n n项和项和，1( 1),2nnnnSanN 则则 （）（）3a _ _； （）（）12100SSS_ （二二）选考题（请考生在第）选考题（请考生在第 1515、1616 两题中任选一题作答两题中任选一题作答 1515 （选修 （选修 4 4- -1 1：几何证明选讲）：几何证明选讲）如图，梯形如图，梯形ABCDABCD内接于内接于O O，ADADBCBC，过，过B

8、B引引O O的切的切 线分别交线分别交DADA、CACA的延长线于的延长线于E E、F F已知已知BCBC8 8，CDCD5 5，AFAF6 6，则，则EFEF的长的长为为 1616 （选修 （选修 4 4- -4 4：坐：坐标系与参数方程）标系与参数方程） 在直角坐标系在直角坐标系xOyxOy中，曲线中，曲线 C C1 1的参数方程为的参数方程为22,2tytx（t t为参数） ，在以为参数） ，在以O O为极为极点，以点，以x x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C C2 2的方程为的方程为22)4sin(，则则C C1 1与与C C2 2的的交点个数为交点个

9、数为 . . 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7575 分解答应写出文字说明分解答应写出文字说明、证明过程或演证明过程或演数学（理科）试卷 第 4 页 算步骤算步骤 1 17 7 （本小题满分 （本小题满分 1212 分）分） 已知函数已知函数f f( (x x) )4cos4cosx xsin(sin(x x4 4) )（0 0）的最小正周期为）的最小正周期为 （）求）求的值；的值； （）讨论）讨论f f( (x x) )在区间在区间00，2 2 上的单调性上的单调性 1 18 8 （本小题满分 （本小题满分 1212 分）分） 已知数列已知数列na的前的

10、前n项和为项和为nS，且，且22nna aSS对一切正整数对一切正整数n都成立都成立 （）求）求1a，2a的值；的值； （）设）设10a ，数列，数列110lgnaa的前的前n项和为项和为nT，当，当n为何值时，为何值时，nT最大？并求出最大？并求出nT的的最大值最大值 数学（理科）试卷 第 5 页 1 19 9 （本小题满分 （本小题满分 1212 分）分） 在如图所示的几何体中，四边形在如图所示的几何体中，四边形ABCDABCD为平行四边形，为平行四边形， ACBACB= =90，EAEA平面平面ABCDABCD，EFEFABAB，FGFGBCBC，EGEGA AC CABAB= =EFE

11、F （）若若M M是线段是线段ADAD的中点，求证：的中点，求证：GMGM平面平面ABFABFE E； （）若（）若ACACBCBC= =2 2AEAE，求二面角求二面角A A- -B BF F- -C C的大小的大小 2020 （本小题满分 （本小题满分 1212 分）分） 设袋子中装有设袋子中装有a a个红球，个红球，b b个黄球，个黄球，c c个蓝球， 且规定： 取出一个红球得个蓝球， 且规定： 取出一个红球得 1 1 分，分，取出一个黄球得取出一个黄球得 2 2 分，取出一个蓝球得分，取出一个蓝球得 3 3 分分 （）当（）当a a=3=3，b b=2=2，c c=1=1 时，从该袋子

12、时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均中任取（有放回，且每球取到的机会均等）等）2 2 个球，记随机变量个球，记随机变量为取出此为取出此 2 2 球所得分数之和，求球所得分数之和，求的分布列；的分布列； （）从该袋子中任取（每球取到的机会均等）（）从该袋子中任取（每球取到的机会均等）1 1 个球，记随机变量个球，记随机变量为取出为取出A B C D E F G M 数学（理科）试卷 第 6 页 此球所得分数若此球所得分数若E E= =5 53 3，D D= =5 59 9，求，求a ab bc c 2 21 1 （本小题满分 （本小题满分 1313 分）分） 如图如图，已知曲线已知曲线

13、221:12xCy, ,曲线曲线2:| | 1Cyx, ,P P是平面上一点是平面上一点, ,若存在过点若存在过点P P的直线与的直线与12,C C都有公共点都有公共点, ,则称则称P P为“为“C C1 1C C2 2型点型点” ” （）（）设直线设直线ykx与与2C有公共点有公共点, ,求证求证| 1k , ,进而证明原点不是“进而证明原点不是“C C1 1C C2 2型型点”点” ； （）（）求证求证：圆圆2212xy内的点都不是“内的点都不是“C C1 1C C2 2型点” 型点” 数学（理科）试卷 第 7 页 2 22 2 （本小题满分 （本小题满分 1414 分）分） 已知函数已知

14、函数2l( )nf xxx （）求函数求函数f f( (x x) )的单调区间的单调区间； （）证明证明：对任意的对任意的t t00，存在唯一的存在唯一的s s，使使( )tf s； （）设设（）中所确定的中所确定的s s关于关于t t的函数为的函数为( )sg t，证明证明：当当2et时时，有有2ln ( )15ln2g tt 数学（理科）试卷 第 8 页 武汉市武汉市 20142014 届高三届高三 5 5 月供题（三）月供题（三） 数学（理科）试题参考答案及评分标准数学（理科）试题参考答案及评分标准 一、选择题一、选择题 1 1C 2C 2C 3C 3C 4C 4A A 5 5D D 6

15、 6B 7B 7D 8D 8B 9B 9B 10B 10B B 二、填空题二、填空题 11114 4 12122 132 1330 1430 14 （） （）116； （）； （）10011(1)3 2 151515154 4 16162 2 三、解答题三、解答题 1717 （本小题满分 （本小题满分 1212 分）分） 解： （解： （）f f( (x x) )4cos4cosx xsin(sin(x x4 4) )2 2 2 2sinsinx xcoscosx x2 2 2 2coscos2 2x x 2 2(sin2(sin2x xcos2cos2x x) ) 2 22sin(22sin

16、(2x x4 4) ) 2 2 因为因为f f( (x x) )的最小正周期为的最小正周期为，且，且0 0， 从而有从而有2 22 2，故，故1 1 （）由（）由（）知，）知，f f( (x x) )2sin(22sin(2x x4 4) ) 2 2， 0 0 x x2 2，4 42 2x x4 45 54 4 当当4 42 2x x4 42 2，即，即 0 0 x x8 8时，时，f f( (x x) )单调递增；单调递增； 当当2 22 2x x4 45 54 4，即，即8 8x x2 2时，时，f f( (x x) )单调递减单调递减 综上可知，综上可知，f f( (x x) )在区间在

17、区间00，8 8 上单调递增，在区间上单调递增，在区间 8 8，2 2 上单调递上单调递数学（理科）试卷 第 9 页 增增 1818 （本小题满分 （本小题满分 1212 分）分） 解：解： 1919 （本小题满分 （本小题满分 1212 分）分） 解： （解： （）因为）因为EGEG/ABAB，FGFG/ACAC，90ACB， 所以所以90EGF，ABCEFG. . 因为因为ABAB=2=2EFEF，所以，所以BCBC=2=2FG.FG. 连结连结AFAF，由于，由于FGFG/BCBC，FGFG= =BC21. . 在平行四边形在平行四边形ABCDABCD中，中，M M是线段是线段ADAD的

18、中点的中点. . 则则AMAM/BCBC，且，且AMAM= =BC21. . 所以所以FGFG/AMAM且且FGFG= =AMAM. . 所以四边形所以四边形AFGMAFGM为平行四边形为平行四边形. . 数学（理科）试卷 第 10 页 所以所以GM/GM/ /FAFA. . 又又FAFA平面平面ABFEABFE，GMGM平面平面 ABFE.ABFE. 所以所以 GM/GM/平面平面 ABFE.ABFE. （）因为（）因为90ACB，所以，所以90CAD. . 又又 EAEA平面平面 ABCDABCD，所以，所以 ACAC、AAEAAE 两两垂直两两垂直. . 分别以分别以 ACAC、ADAD

19、、AEAE 所在直线为所在直线为x轴、轴、y轴、轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系轴建立如图所示的空间直角坐标系. . 不妨设不妨设 AC=BC=2AE=2AC=BC=2AE=2，则由题意得，则由题意得 A A（0 0，0 0，0 0） ，） ，B B（2 2，- -2 2，0 0） ，） ，C C（2 2，0 0，0 0） ，） ，E E（0 0，0 0，1 1） ，所以，所以)0 , 2, 2( AB，)0 , 2 , 0(BC. . 又又ABEF21，所以，所以 F F（1 1，- -1 1，1 1） ，） ，) 1 , 1 , 1(BF. . 设平面设平面BFCBFC的法向量为的法向

20、量为),(111zyxm ，则，则 . 0, 0BFmBCm所以所以., 0111zxy 取取11z，则，则) 1 , 0 , 1 (m. . 设平面设平面ABFABF的法向量为的法向量为),(222zyxn ，则，则 . 0, 0BFNABn所以所以. 0,222zyx 取取12y，则，则)0 , 1 , 1 (n. . 所以所以21|,cosnmnmnm. . 因此，二面角因此，二面角A A- -BFBF- -C C的大小为的大小为60. . 2020 （本小题满分 （本小题满分 1212 分）分） 解： （解： （）由题意得）由题意得=2=2，3 3，4 4，5 5，6 6 故故P P(

21、 (=2)=2)=3 3 3 36 6 6 6= =1 14 4，P P( (=3)=3)=2 2 3 3 2 26 6 6 6= =1 13 3，P P( (=4)=4)=2 2 3 3 1+21+2 2 26 6 6 6= =5 51818， A B C D M E F G x y z 数学（理科）试卷 第 11 页 P P( (=5)=5)=2 2 2 2 1 16 6 6 6= =1 19 9，P P( (=6)=6)=1 1 1 16 6 6 6= =1 13636 所以所以的分布列为的分布列为 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 P P 1 14 4 1 13 3 5 5181

22、8 1 19 9 1 13636 （）由题意知）由题意知的分布列为的分布列为 1 1 2 2 3 3 P P a aa a+ +b b+ +c c b ba a+ +b b+ +c c c ca a+ +b b+ +c c 所以所以E E( ()=)=a aa a+ +b b+ +c c+ +2 2b ba a+ +b b+ +c c+ +3 3c ca a+ +b b+ +c c= =5 53 3， D D( ()=)=1 1 5 53 32 2 a aa a+ +b b+ +c c+ +2 2 5 53 32 2 b ba a+ +b b+ +c c+ +3 3 5 53 32 2 c c

23、a a+ +b b+ +c c= =5 59 9 化简得化简得 2 2a a b b 4 4c c= =0 0，a a+4+4b b 1111c c=0=0解得解得a a=3=3c c，b b=2=2c c， 故故a ab bc c=3=32 21 1 2121 （本小题满分 （本小题满分 1313 分）分） 解： （）直线解： （）直线ykx与与 C C2 2有交点有交点, ,则则 (| 1)| 1| | 1ykxkxyx, ,若方程组有解若方程组有解, ,则必须则必须| 1k ; ; 直线直线ykx与与C C2 2有交点有交点, ,则则 2222(1 2)222ykxkxxy, ,若方程组

24、有解若方程组有解, ,则必须则必须212k 故直线故直线ykx至多与曲线至多与曲线C C1 1和和C C2 2中的一条有交点中的一条有交点, ,即原点不是“即原点不是“C C1 1- -C C2 2型点”型点”. . （）显然过圆（）显然过圆2212xy内一点的直线内一点的直线l若与曲线若与曲线 C C1 1有交点有交点, ,则斜率必存在则斜率必存在; ; 数学（理科）试卷 第 12 页 根据对称性根据对称性, ,不妨设直线不妨设直线l斜率存斜率存在且与曲线在且与曲线C C2 2交于点交于点( ,1)(0)t tt, ,则则 :(1)()(1)0l ytk xtkxytkt 直线直线l与圆与圆

25、2212xy内部有交点内部有交点, ,故故2|1|221tktk 化化简得简得, ,221(1)(1)2ttkk . 若直线若直线l与曲线与曲线C C1 1有交点有交点, ,则则 2222211()2 (1)(1)10212ykxkttkxktkt xtktxy 22222214(1)4()(1)10(1)2(1)2ktktktkttktk 化简得化简得, ,22(1)2(1)tktk . 由由得得, ,222212(1)(1)(1)12kttkkk 但此时但此时, ,因为因为2210,1(1)1,(1)12ttkk, ,即即式不成立式不成立; ; 当当212k 时时, ,式也不成立式也不成立

26、 综上综上, ,直线直线l若与圆若与圆2212xy内有交点内有交点, ,则不可能同时与曲线则不可能同时与曲线C C1 1和和C C2 2有交点有交点, , 即圆即圆2212xy内的点都不是“内的点都不是“C C1 1- -C C2 2型点”型点” . . 2222 （本小题满分 （本小题满分 1414 分）分） 解：解：( () )函数函数xf (）的定义域为）的定义域为), 0( . . ) 1ln2(ln2)(xxxxxxf. . 令令0)( xf，得，得e1x. . 当当x变化时，变化时，)(xf ，)(xf的变化情况如下表：的变化情况如下表： x )1, 0(e e1 ),1(e )(

27、xf - - 0 0 + + 数学（理科）试卷 第 13 页 )(xf 极小值极小值 所以函数所以函数)(xf的单调递减区间是的单调递减区间是)1, 0(e，单调递增区间是，单调递增区间是),1(e. . ( () )当当10 x时，时，0)(xf. . 设设0t，令，令), 1 ,)()(xtxfxh. . 由由( () )知，知，)(xh在区间在区间), 1 ( 上单调递增上单调递增. . 0) 1 (th，0) 1(ln)(22ttttttheeee. . 故存在唯一的故存在唯一的), 1 ( s，使得，使得)(sft 成立成立. . ( () )因为因为)(tgs ，由，由( () )

28、知，知，)(sft ，且，且1s，从而，从而 uuusssssssfsttgln2lnlnln2ln)lnln(ln)(lnlnln)(ln2，其中，其中suln. . 要使要使21ln)(ln52ttg成立，只需成立，只需2ln0uu . . 当当2et时，若时，若e)(tgs，则由，则由)(sf的单调性，有的单调性，有2)()(ee fsft，矛盾，矛盾. . 所以所以es，即，即1u，从而，从而0lnu成立成立. . 另一方面，令另一方面，令1,2ln)(uuuuF. . 由由0)( uF，得，得2u. . 当当21u时，时，0)( uF；当；当2u时，时，0)( uF. . 故对故对1u，0)2()( FuF. . 因此因此2lnuu 成立成立. . 综上，当综上，当2et时，有时，有21ln)(ln52ttg. .