函数概念的“源”与“流

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1、函数概念的“源”与“流 函数概念的“源”与“流1.1函数概念的“源”马克思曾经认为，函数概念来源于代数学中的不定方程的研究，由于罗马时代丢番图对不定方程已有相当的研究，所以函数概念至少在那时已经萌芽。自哥白尼的天文学革命以后，运动就成了文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题，人们在思索：既然地球不是宇宙的中心，它本身又有自转和公转，那么下降物体为什么不发生偏斜而还要垂直下落到地球上？行星运行的轨道是椭圆，原理是什么？还有，研究在地球表面上抛射物体和路线、射程的影响问题，既是科学家力图解决的问题，也是军事家要求解决的问题。函数概念就是从这些

2、运动研究中引申出来的一个数学概念。在伽利略的力学著作两门新科学中用文字语言叙述了一些函数关系。如：“从静止开始以定常加速度下降的物体，其经过的距离与所用时间的平方成正比”。“沿着同高度但不同坡度的倾斜平板下滑的物体，其下滑时间与平板的长度成正比”。5等等这些叙述只需引进适当的数学符号就可表示为简洁、明确的数学关系，这些文字语言是早期函数概念的雏形。17世纪上半叶，笛卡尔把变量引入数学，他指出了平面上的点与其数对 之间的对应关系。当动点作曲线运动时，它的 坐标和 坐标相互依赖并同时发生变化，其关系可由包含 的方程式给出。相应的方程式就揭示了变量 和

3、y之间的关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义。从现存文献中可知，最早提出函数概念的，是17世纪德国数学家莱布尼兹。于1673年他用“函数”一词表示幂，如  都叫函数。随后在他的一部手稿里，他又用“函数”一词来表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量——例如：切线、法线、次切线等的长度以及纵坐标等。6 莱布尼兹的函数概念使用范围狭窄，后续的数学家在此基础上做了许多扩展工作。1698年，莱布尼兹的学生，瑞士数学家约翰、伯努力

4、提出新的函数概念：“由变量x和常数所构成的式子叫做x的函数。”71718年他又进一步规范了这一定义：“一个变量的函数指由这个变量和常数任意一种方式构成的一个量。”8伯努力所强调的是函数要用公式表示。后来数学家觉得不应该把函数概念局限在只能用公式表达上，只要一些变量变化就可以，至于这两个变量的关系是否要用公式表示就不作为判别函数的标准。1734年，瑞士另一数学家欧拉，首次使用了符号 表示变量数，他的例子是 ，后人据此发明了 表示变量x的函数值。91755年，欧拉在其论著中把函数定义为：“如果某些变量以某种方式依赖于另一些变量，即当后者变

5、化时，前者本身也发生变化，则称前一些变量是后一些量的函数。”在此定义中，就不强调要用公式表示了，由于函数不一定要用公式表示，欧拉曾把画在坐标系里的曲线叫函数，他认为：“函数是随意画出的一条曲线。”  1797，法国数学家拉格朗日，从分析学的角度对函数概念做了扩展：“所谓一个或几个变量的函数是任意一个适合于计算的表达式，这些量以任意方式出现于表达式中。”无独有偶，1822年法国另一个数学家傅里叶，在他的名著热的解析理论中定义为：“通常函数表示相接的一组值或纵坐标，它们中的毎一个都是任意的…&helli

6、p;我们不假定这些纵坐标服从一个共同的规律；他们以任何方式一个挨一个。”在该书里，他用一个三角级数和的形式表达了一个由不连续的“线”所给出的函数。10证明在解析式和曲线之间并不存在不可逾越的鸿沟，级数把解析式和曲线沟通了。19世纪是数学大发展的时代，除了创立大批新的数学分支和分析基础严密是其显著特色。数学家他们在考虑巩固数学基础的同时，对函数概念“发散”状况也做了种种规范，主要是突出了变量与对应关系。1823年，法国另一数学家柯西给出了类似现在中学课本的函数定义：“在某些变量间存在一定的关系，当一经给定其中某一变量的值，其

7、它变量的值可随着而确定时，则将最初的变量叫自变量，其它各变量叫做函数，在柯西的定义中，首次出现了自变量一词。1834俄国数学家罗巴切夫斯基进一步提出函数的定义：“x的函数是这样一个数，它对于毎一个x都有确定的值。并且随着x一起变化，函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法，函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的。”这个定义指出了对应关系，可以求出毎一个x的对应值。1837年德国数学家狄里克雷认为怎样去建立x与y之间的对应关系无关紧要，所以他的定义是：“如果对于x的任何一个值，总有一个完全确定的y值与之对应，则y

8、是x的函数。”这个定义抓住了概念的本质属性，变量y称为x的函数，只需一个法则存在，使得这个函数取值范围中的任何一个值，有一个确定的y值和它对应就行了，不管这个法则是公式或图像或表格或其它形式。这个定义比前面的定义更具有普遍性，为理论研究和实际应用提供了方便，因此这个定义曾被长期使用。19世纪中叶以后，数学家从函数的适用范围对这一概念做了不同程度的扩展。例如德国的黎曼1851将变量推广到复数；英国的布尔和德国的佛雷格又将变量扩展到逻辑符号；德国的戴德金则直接使用“元素”和“映射”表示变量，使函数概念由具体描述上升到抽象概括。1.2函数概

9、念的“流” 随着近代数学的发展，人们对函数的认识越来越深刻。到了19世纪70年代，德国数学家康托集合论的产生后，建立了函数的结合对应定义，也就是用“集合”与“对应”来叙述：“给定两个集合A和B，如果按照某种确定的对应关系，对A的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应，则这种对应关系称为从A集合到集合B的函数。类似于现在高中数学课本中的函数定义。    20世纪初，生产实践和科学实验的进一步发展，又引起函数概念新的尖锐的矛盾。20世纪20年代，人类开始研究微观物理现象，1

10、930年量子力学面世，在量子力学中需要用到一种新的函数—— -函数，即 。17 - 函数的出现，引起了人们激烈争论，按照函数原理定义，只允许数与数之间建立对应关系，而没有把“ ”作为数，另外对于自变量只有一个点不为零的函数，其积分值却不等于零的函数，这也是不可想象的。然而， -函数确实是实际模型的抽象。例如，当汽车、火车通过桥梁时，自然对桥梁产生压力，从理论上讲，车辆的轮子和桥面的接触点只有一个，设车辆对轨道、桥面的压力为一单位，这时在接触点 处压强是 ，其余点 处，因为无压力，故无压强，即 ，另外，我们知道压强函数的积分等于压力，即 。