高考数学大一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第七节 二项分布、正态分布及其应用教师用书 理

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1、第七节二项分布、正态分布及其应用2017考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念；2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布；3.借助直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；4.能解决一些简单的实际问题。2016，全国卷，18(2)，4分(条件概率)2016，四川卷，12,5分(二项分布)2015，全国卷，4,5分(独立重复试验的概率)2016，北京卷，16()()，8分(相互独立事件的概率)2015，湖北卷，4,5分(正态分布)相互独立事件、n次独立重复试验、二项分布，条件概率以及正态分布曲线的性质和服从正态分布的随机变量的概率是考查的热点，各种题型

2、都可能涉及。微知识小题练自|主|排|查1条件概率(1)条件概率的定义设A，B为两个事件，且P(A)0，称P(B|A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率。(2)条件概率的性质条件概率具有一般概率的性质，即0P(B|A)1；如果B，C是两个互斥事件，则P(BC|A)P(B|A)P(C|A)。2相互独立事件的概率(1)相互独立事件的定义及性质定义：设A，B是两个事件，若P(AB)P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立。性质：若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立。(2)独立重复试验概率公式在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，若用Ai(i1,2，n)表示第i

3、次试验结果，则P(A1A2A3An)P(A1)P(A2)P(An)。(3)二项分布的定义在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，则P(Xk)Cpk(1p)nk，k0,1,2，n。此时称随机变量X服从二项分布，记作XB(n，p)，并称p为成功概率。3正态分布(1)正态曲线的定义函数，(x)e，x(，)，其中实数和(0)为参数，称，(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线。(2)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aXb)，(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记作N(，2)。(3)正态曲线的特点曲线位于x轴的上方，与

4、x轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线x对称；曲线在x处达到峰值；曲线与x轴之间的面积为1；当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿着x轴平移；当一定时，曲线的形状由确定。越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。(4)正态分布中的3原则P(X)0.682_6；P(2X2)0.954_4；P(3X3)0.997_4。微点提醒1相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)P(A)P(B)，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(AB)P(A)P(B)。2判断一个随机变量是否服从二

5、项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次。3P(AB)P(A)P(B)只有在事件A，B相互独立时，公式才成立，此时P(B)P(B|A)。小|题|快|练一 、走进教材1(选修23P55练习T1改编)有3位同学参加某项测试，假设每位同学能通过测试的概率都是，且各人能否通过测试是相互独立的，则至少有二位同学能通过测试的概率为()A.B.C.D.【解析】记“至少有二位同学能通过测试”为事件A，则其包含事件为“恰好有二位同学能通过测试”或“恰好有三位同学能通过测试”，而每位同学不能通过测试的概率都是1，且相互独立，故P(A)C

6、3C3。故选C。【答案】C2(选修23P74练习T1改编)某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，则理论上在80分到90分的人数是()A32 B16 C8 D20【解析】因为数学成绩近似地服从正态分布N(80,102)，所以P(|x80|1)p，则P(10)P(1)P(1)p，所以P(10)P(0)P(0.1。又EBCA2，P(E)P(BCA2) P(B)P(C)P(A2) 0.06。若k3，则P(F)0.060.1。所以k的最小值为3。【答案】(1)0.31(2)3考点三 独立重复试验与二项分布多维探究角度一：根据独立重复试验求概率【典例3】甲、乙两支

7、排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束。除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是。假设各局比赛结果相互独立。(1)分别求甲队以30,31,32胜利的概率；(2)若比赛结果为30或31，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为32，则胜利方得2分，对方得1分。求乙队得分X的分布列。【解析】(1)设“甲队以30,31,32胜利”分别为事件A，B，C，则P(A)，P(B)C2，P(C)C22。(2)X的可能的取值为0,1,2,3。则P(X0)P(A)P(B)，P(X1)P(C)，P(X2)C22，P(X3)3C2。X的分布列为X0123P角度二：根据独立重复试验

8、求二项分布【典例4】(2016南昌一模)某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩X服从正态分布N(80，2)(满分为100分)，已知P(X75)0.3，P(X95)0.1，现从该市高三学生随机抽取三位同学。(1)求抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间80,85)，85,95)，95,100各有一位同学的概率；(2)记抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间75,85的人数为，求随机变量的分布列和数学期望E()。【解析】(1)P(80X85)0.5P(X75)0.2，P(85X95)0.30.10.2，故所求概率PA0.20.20.10.02

9、4。(2)P(75X85)12P(X75)0.4，所以服从二项分布B(3,0.4)，P(0)0.630.216，P(1)30.40.620.432，P(2)30.420.60.288，P(3)0.430.064，所以随机变量的分布列是0123P0.2160.4320.2880.064E()30.41.2。【答案】(1)0.024(2)随机变量的分布列是0123P0.2160.4320.2880.064E()1.2反思归纳利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(Xk)Cpk(1p)nk的三个条件：1在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；2n次试

10、验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；3该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率。考点四 正态分布【典例5】(1)(2015湖北高考)设XN(1，)，YN(2，)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是()AP(Y2)P(Y1)BP(X2)P(X1)C对任意正数t，P(Xt)P(Yt)D对任意正数t，P(Xt)P(Yt)(2)(2015山东高考)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附：若随机变量服从正态分布N(，2)，则P()68.26%，P(22)95

11、.44%。)A4.56%B13.59%C27.18% D31.74%【解析】(1)由图象知，12，1，故P(Y2)P(Y1)，故A错；因为1P(X1)，故B错；对任意正数t，P(Xt)P(Yt)，故C错；对任意正数t，P(Xt)P(Yt)是正确的。故选D。(2)由正态分布的概率公式知P(33)0.682 6，P(66)0.954 4，故P(36)0.135 913.59%。故选B。【答案】(1)D(2)B反思归纳解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x；(2)标准差；(3)分布区间。利用对称性可求指定范围内的概率值；由，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3特殊区间，从而求出所求概率。

12、【变式训练】在某次数学考试中，考生的成绩服从正态分布，即N(100,100)，已知满分为150分。(1)试求考试成绩位于区间(80,120内的概率；(2)若这次考试共有2 000名考生参加，试估计这次考试及格(不小于90分)的人数。【解析】(1)由N(100,100)，知100，10。P(80120)P(1002010020)0.954 4，即考试成绩位于区间(80,120内的概率为0.954 4。(2)P(90110)P(10010110)(10.682 6)0.158 7，P(90)0.682 60.158 70.841 3。及格人数为2 0000.841 31 683。【答案】(1)0.

13、954 4(2)1 683微考场新提升1(2016丽江模拟)把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现反面”为事件B，则P(B|A)等于()A. B.C. D.解析由古典概型知P(A)，P(AB)，则由条件概率知P(B|A)。故选A。答案A2(2017广州模拟)甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为()A0.12 B0.42C0.46 D0.88解析因为甲、乙两人是否被录取相互独立，又因为所求事件的对立事件为“两人均未被录取”，由对立事件和相互独立事件概率公式知，P1(10.6)

14、(10.7)10.120.88，故选D。答案D3(2016长春模拟)一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P(X12)等于 ()AC102 BC92CC92 DC102解析“X12”表示第12次取到红球，前11次有9次取到红球，2次取到白球，因此P(X12)C92C102，故选D。答案D4(2017贵阳模拟)已知P箱中有红球1个，白球9个，Q箱中有白球7个(P，Q箱中所有的球除颜色外完全相同)。现随机从P箱中取出3个球放入Q箱，将Q箱中的球充分搅匀后，再从Q箱中随机取出3个球放入P箱，则红球从P箱移到Q箱，再

15、从Q箱返回P箱中的概率等于()A. B.C. D.解析可看作是两个独立事件。A：红球从P箱移到Q箱，B：红球从Q箱返回P箱同时发生，可知P(A)，对于B发生时，Q箱中有红球1个，白球9个，再从中取出2白1红，所以P(B)P(A)，根据独立事件同时发生的概率计算公式，有PP(A)P(B)，故选B。答案B5(2016衡水质检)某班有50名学生，一次考试后数学成绩X(XN)服从正态分布N(100,102)，已知P(90X100)0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为_。解析由题意，知P(X110)0.2，所以该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.25010。答案10微专题巧突破误中悟

16、“二项分布与超几何分布”二项分布和超几何分布是两类重要的概率分布模型，这两种分布存在着很多的相似之处，在应用时应注意各自的适用条件和情境，以免混用出错。【典例】某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作。规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过。已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响。(1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算均值。(2)试从两位考生正确完成题数的均值及至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力。【解析】(1)

17、设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为，则的所有可能取值分别为1,2,3；的所有可能取值分别为0,1,2,3。P(1)，P(2)，P(3).所以考生甲正确完成题数的概率分布列为123PE()1232。因为P(0)C3，同理，P(1)，P(2)，P(3)。所以考生乙完成题数的概率分布列为0123PE()01232。(2)因为P(2)0.8，P(2)0.74，所以P(2)P(2)。故从正确完成题数的均值考察，两人水平相当；从至少完成2题的概率考察，甲通过的可能性大。因此可以判断甲的实验操作能力较强。【易错总结】本题容易错误地得到甲、乙两考生正确完成的题数均服从二项分布，实际上题目中已知甲、乙两考

18、生按照题目要求独立完成全部实验操作，甲考生正确完成的题数服从超几何分布，乙考生正确完成的题数服从二项分布。【变式训练】从某批产品中，有放回地抽取产品两次，每次随机抽取1件。假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”，其概率P(A)0.96。(1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；(2)若该批产品共100件，从中无放回地抽取2件，表示取出的2件产品中二等品的件数，求的分布列。【解析】(1)记A0表示事件“取出的2件产品中无二等品”，A1表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”，则A0，A1互斥，且AA0A1，故P(A)P(A0A1)P(A0)P(A1)(1p)2Cp(1p)1p2

19、，即0.961p2。解得p0.2或p0.2(舍去)。故从该批产品中任取1件是二等品的概率为0.2。(2)该批产品共100件，由(1)知其二等品有1000.220(件)，的可能取值为0,1,2。故P(0)，P(1)，P(2)。所以的分布列为012P【答案】(1)0.2(2)见解析6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375