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1、 山西省重点中学2013届高三3月月考数学（理）试题 (考试时间：120分钟) 一、选择题：（每小题5分，共60分）1. 若复数是纯虚数，则的值为（ ）A B C D2对于集合，定义：且，设，则=（ ）A（，0 B ，0) C D 3右图中，为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，为该题的最终得分，当时，等于（ ）A11 B10 C8 D74设甲：函数的值域为，乙：函数有四个单调区间，那么甲是乙的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件5规定记号“”表示一种运算，即：，设函数。且关于的方程为恰有四个互不相等的实数根，则的值是（ ）A B C D6. 已
2、知和分别是双曲线（，）的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. 2 D. 7若当时，函数取得最小值，则函数是（ ）A奇函数且图像关于点对称 B偶函数且图像关于点对称 C奇函数且图像关于直线对称 D偶函数且图像关于点对称8过点作圆的弦，其中弦长为整数的共有（）A.16条 B. 17条 C. 32条 D. 34条9在平面斜坐标系中，点的斜坐标定义为：“若（其中分别为与斜坐标系的轴，轴同方向的单位向量），则点的坐标为”若且动点满足，则点在斜坐标系中的轨迹方程为（ ）A B C D10已知为上的可导函数，且，均有，则有（
3、 ）A BCD11设是锐角三角形的外心，由向边引垂线，垂足分别是,给出下列命题：；：=：;，使得.以上命题正确的个数是（ ）A1 B2 C3 D4；12在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且平面，则与平面所成角的正切值构成的集合是（ ）A B C D 二、填空题：（每小题5分，共20分）13已知不等式组表示的平面区域为，直线与曲线所围成的平面区域为，现随机向区域内抛一粒豆子，则豆子落在区域内的概率为 .14对大于或等于的自然数的次方幂有如下分解方式： 根据上述分解规律，则, 若的分解中最小的数是73，则的值为 .15抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线对称轴上，过可作直线交抛物线于点、，使得
4、，则的取值范围是 16. 给出以下四个命题： 若，则； 已知直线与函数的图像分别交于点，则的最大值为； 若数列为单调递增数列，则取值范围是； 已知数列的通项，前项和为，则使的的最小值为12 其中正确命题的序号为 三、解答题：17（本小题满分12分）已知数列的相邻两项是关于的方程的两根，且.（）求证：数列是等比数列；（）求数列的前项和；（）设函数若对任意的都成立，求的取值范围。18（本小题满分12分）2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的环境空气质量标准.其中规定:居民区中的PM2.5（PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）年平均浓度不得超过35微克/立方
5、米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：组别PM2.5（微克/立方米）频数（天）频率第一组(0,1540.1第二组(15,30120.3第三组(30,4580.2第四组(45,6080.2第三组(60,7540.1第四组(75,90)40.1（）写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；（）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；（）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的2
6、4小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为，求的分布列及数学期望19 （本小题满分12分）如图，四边形中，为正三角形，与交于点将沿边折起，使点至点，已知与平面所成的角为，且点在平面内的射影落在内（）求证：平面；（）若已知二面角的余弦值为，求的大小.20（本小题满分12分）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆，它的离心率为，一个焦点 和抛物线的焦点重合,过直线上一点引椭圆的两条切线，切点分别是.（）求椭圆的方程；（）若在椭圆上的点处的椭圆的切线方程是. 求证:直线恒过定点；并出求定点的坐标.（）是否存在实数，使得恒成立？(点为直线恒过的定点)若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。21（本小题满
7、分12分）已知函数,其中.（I）若函数在区间(1,2)上不是单调函数,试求的取值范围;（II）已知,如果存在,使得函数在处取得最小值,试求的最大值.请考生在第22、23题中任选一题作答。若多做，则按所做的第一题计分。22在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），在以 为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线是圆心在极轴上，且经过极点的圆已知曲线上的点对应的参数，射线与曲线交于点（I）求曲线，的方程；（II）若点，在曲线上，求的值23. 已知函数(I)求不等式的解集;(II)设，若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.参考答案1. B 2C 3C 4B 5D 6. D 7C 8C9
8、D 10D 11B 12D 13（文） 14 9 15 16.17【解】：（1），即 （3分）（2） （6分）（3） 当n为奇数时 （9分）当n为偶数时综上所述，的取值范围为 （12分）18【解】：（1）众数为22.5微克/立方米, 中位数为37.5微克/立方米 4分（2）去年该居民区PM2.5年平均浓度为（微克/立方米）因为，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进 8分（3）记事件表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，则. 随机变量的可能取值为0,1,2.且.所以， 所以变量的分布列为012（天）,或（天） 12分（文）【
9、解】（I）守成被调查人答卷情况统计表：同意不同意合计教师112女生246男生3255分（II）（人）8分（III）设“同意”的两名学生编号为1，2，“不同意”的四名学生分别编号为3，4，5，6，选出两人则有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15种方法；其中（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），8种满足题意，则恰有一人“同意”一人“不同意”的概率为12分19【解析】：（1）证明：由面， 所以 又
10、 所以-4分（2）取中点，连结 则，且，所以是平行四边形， 所以， 且 所以面;-8分（3）过作，交于，由题得在中，所以，所以-12分（理）【解析】：()易知为的中点，则，又，又，平面，所以平面 （4分） ()方法一：以为轴，为轴，过垂直于平面向上的直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，则, （6分）易知平面的法向量为 （7分），设平面的法向量为则由得，解得，令，则 （9分）则解得，即，即，又， 故.（12分） 20【解】：（I）设椭圆方程为。抛物线的焦点是，故，又，所以，所以所求的椭圆方程为 3分（II）设切点坐标为,直线上一点M的坐标。则切线方程分别为，。又两切线均过点M，即，即点A,B的坐
11、标都适合方程，而两点之间确定唯一的一条直线，故直线AB的方程是，显然对任意实数t，点（1,0）都适合这个方程，故直线AB恒过定点。6分（III）将直线AB的方程，代入椭圆方程，得，即所以.8分不妨设，同理10分所以即。故存在实数，使得。 12分21【解】：（I）由题意知,在区间(1,2)上有不重复的零点,由,得,因为,所以3分令,则,故在区间(1,2)上是增函数,所以其值域为,从而的取值范围是5分（II）, 由题意知对恒成立,即对恒成立,即 对恒成立 7分当时,式显然成立; 8分当时,式可化为 ,令,则其图象是开口向下的抛物线,所以 9分 即,其等价于 , 因为在时有解,所以,解得.从而的最大值为12分22【解】（I）将及对应的参数，代入，得，即，所以曲线的方程为（为参数），或. 设圆的半径为,由题意,圆的方程为,(或).将点代入, 得,即. (或由,得,代入,得),所以曲线的方程为,或.（II）因为点， 在在曲线上, 所以, 所以 23. 解：()原不等式可化为： 即：2分 由得 由得 综上原不等式的解为5分()原不等式等价于令，即，8分由，所以，所以.10分10
山西省重点中学高三3月月考试理科数学试题及答案
