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1、 研究生课程考核试卷（适用于课程论文、提交报告）科 目： 结构动力学大作业 教 师： 姓 名： 学 号： 专 业： 岩土工程 类 别： 专硕 上课时间： 2015年 9 月至2015 年11 月 考 生 成 绩：卷面成绩平时成绩课程综合成绩阅卷评语： 阅卷教师 (签名) 重庆大学研究生院制土木工程学院2015级硕士研究生考试试题 1 题目及要求1、按规范要求设计一个3跨3层钢筋混凝土平面框架结构（部分要求如附件名单所示；未作规定部分自定）。根据所设计的结构参数，求该结构的一致质量矩阵、一致刚度矩阵；2、至少采用两种方法求该框架结构的频率和振型；3、输入地震波（地震波要求如附件名单所示），采用时
2、程分析法，利用有限元软件或自编程序求出该框架结构各层的线性位移时程反应。2 框架设计2.1 初选截面尺寸取所设计框架为层3跨，跨度均为4.5m，层高均为3.9m。由于基础顶面离室内地面为，故框架平面图中底层层高取4.9m。梁、柱混凝土均采用，容重为。估计梁、柱截面尺寸如下：（1）梁：梁高一般取跨度的，取梁高=；取梁宽；所以梁的截面尺寸为：（2）柱：框架柱的截面尺寸根据柱的轴压比限值，按下列公式计算：柱组合的轴压力设计值其中：考虑地震作用组合后柱轴压力增大系数； ：按简支状态计算柱的负荷面积； ：折算在单位建筑面积上的重力荷载代表值，可近似取为； ：验算截面以上的楼层层数。其中：框架柱轴压比限值
3、；8度（0.2g），查抗震规范轴压比限值； ：混凝土轴心抗压强度设计值，混凝土采用，。经计算取柱截面尺寸为：该榀框架立面图如图所示。图2.1 框架立面图2.2 框架几何刚度特征（1）梁：截面惯性矩：；刚度： 梁的单位长度质量（按照计算重力荷载代表值的方法计算）：一二层（考虑楼板恒载及楼面活载作用）：分布质量： 顶层（仅考虑楼板恒载不考虑屋面活载作用）：分布质量：；（2）柱：截面惯性矩：；刚度： 分布质量：根据以上计算结果，将其列入表中，如下表2.1所示：表2.1 梁柱力学参数 截面尺寸（）力学参数截面惯性矩（）刚度（）单位长度质量（）一、二层2400225顶层17252.3 动力自由度框架单元
4、编号及动力自由度编号见图2.2所示： 图 框架单元编号及自由度编号框架结构可以理想化为在节点处相互连接的单元（梁和柱）的集合。设梁、柱的轴向变形均忽略不计，只考虑节点的转角和横向位移，则该框架有个平动自由度和个转角自由度，共个自由度。3一致质量矩阵、一致刚度矩阵3.1 一致质量矩阵在节点位移作用下框架梁和柱上所引起的变形形状采用Hermite多项式。因此均布质量梁的一致质量矩阵为： 式（3.1）下面开始计算质量影响系数，依次对每一个自由度施加单位加速度，利用式（3.1）的系数确定质量影响系数：（1） 对自由度施加单位加速度，并约束其他自由度，如图3.1.1所示。图3.1.1（2） 对自由度施加
5、单位加速度，并约束其他自由度，如图3.1.2所示。图3.1.2（3） 对自由度施加单位加速度，并约束其他自由度，如图3.1.3所示。图3.1.3（4）对自由度施加单位加速度，并约束其他自由度，如图3.1.4所示。图3.1.4由于框架为对称结构，对自由度施加单位加速度引起的质量影响系数与对自由度施加单位加速度引起的质量影响系数相同，可得结果如下：（5）对自由度施加单位加速度，并约束其他自由度，如图3.1.5所示。图3.1.5由于框架为对称结构，对自由度施加单位加速度引起的质量影响系数与对自由度施加单位加速度引起的质量影响系数相同，可得结果如下：（6）对自由度施加单位加速度，并约束其他自由度，如图
6、3.1.6所示。图3.1.6由于框架为对称结构，对自由度施加单位加速度引起的质量影响系数与对自由度施加单位加速度引起的质量影响系数相同，可得结果如下：（7）对自由度施加单位加速度，并约束其他自由度，如图3.1.7所示。图3.1.7 由于框架为对称结构，对自由度施加单位加速度引起的质量影响系数与对自由度施加单位加速度引起的质量影响系数相同，可得结果如下：（8）对自由度施加单位加速度，并约束其他自由度，如图3.1.8所示。图3.1.8由于框架为对称结构，对自由度施加单位加速度引起的质量影响系数与对自由度施加单位加速度引起的质量影响系数相同，可得结果如下：（9）对自由度施加单位加速度，并约束其他自由
7、度，如图3.1.9所示。图3.1.9 由于框架为对称结构，对自由度施加单位加速度引起的质量影响系数与对自由度施加单位加速度引起的质量影响系数相同，可得结果如下：注：未计算的质量系数为0。由以上计算的质量系数可以得到结构的一致质量矩阵如下：（单位：）453.2 一致刚度矩阵等截面梁的一致刚度矩阵为： 式（3.2）下面开始计算刚度影响系数，依次对每一个自由度施加单位位移，利用式（3.2）的系数确定刚度影响系数：（1） 对自由度施加单位位移，并约束其他自由度，如图3.2.1所示。图3.2.1 （2）对自由度施加单位位移，并约束其他自由度，如图3.2.2所示。图3.2.2（3） 对自由度施加单位位移，
8、并约束其他自由度，如图3.2.3所示。图3.2.3（4） 对自由度施加单位位移，并约束其他自由度，如图3.2.4所示。图3.2.4由于框架为对称结构，对自由度施加单位加速度引起的刚度影响系数与对自由度施加单位加速度引起的刚度影响系数相同，可得结果如下：（5）对自由度施加单位位移，并约束其他自由度，如图3.2.5所示。图3.2.5 由于框架为对称结构，对自由度施加单位加速度引起的刚度影响系数与对自由度施加单位加速度引起的刚度影响系数相同，可得结果如下：（6）对自由度施加单位位移，并约束其他自由度，如图3.2.6所示。图3.2.6由于框架为对称结构，对自由度施加单位加速度引起的刚度影响系数与对自由
9、度施加单位加速度引起的刚度影响系数相同，可得结果如下：（7） 对自由度施加单位位移，并约束其他自由度，如图3.2.7所示。图3.2.7由于框架为对称结构，对自由度施加单位加速度引起的刚度影响系数与对自由度施加单位加速度引起的刚度影响系数相同，可得结果如下：（8）对自由度施加单位位移，并约束其他自由度，如图3.2.8所示。图3.2.8 由于框架为对称结构，对自由度施加单位加速度引起的刚度影响系数与对自由度施加单位加速度引起的刚度影响系数相同，可得结果如下：（9）对自由度施加单位位移，并约束其他自由度，如图3.2.9所示。图3.2.9由于框架为对称结构，对自由度施加单位加速度引起的刚度影响系数与对
10、自由度施加单位加速度引起的刚度影响系数相同，可得结果如下：注：未计算的刚度系数为0。由以上计算的刚度系数可以得到结构的一致刚度矩阵如下：（单位：）4频率和振型4.1简化的质量矩阵和刚度矩阵的计算将结构质量集中到各层，此结构用层剪切模型简化为框架等效多质点体系，如图4.1所示。图4.1框架等效多质点体系4.1.1计算简化的质量矩阵由于结构的质量集中到各层，因此结构的质量矩阵为对角矩阵。质量矩阵为： 4.1.2计算简化的刚度矩阵（1） 利用“D值法”计算柱的侧向刚度各梁、柱构件的线刚度计算如下，其中在求梁截面的惯性矩时考虑现浇板的作用，取（为不考虑楼板翼缘作用的梁截面惯性矩）。框架梁的线刚度为：框
11、架柱的线刚度为：底层柱：二三层柱：二三层柱的D值为： 边柱：，则中柱：，则底层柱的D值为：边柱：，则中柱：，则从而得到各层的侧向刚度为: （2）计算刚度矩阵图4.2 刚度计算刚度矩阵计算如图4.2所示，因此刚度矩阵为：4.2频率和振型计算4.2.1行列式方程法结构的运动微分方程为： .（1）对于无阻尼自由振动，则矩阵方程（1）式可化为： .（2）实际上：一个结构体系的振动分析就是矩阵代数求特征值的问题，即求特征值和特征向量；而特征值就是频率的平方项，特征向量就是振型形式。在MATLAB软件中，输入x,w2=eig(K,M);w=sqrt(w2)可得：解得： 解得振型为： 4.2.2 Rayle
12、igh-Ritz法体系的质量和刚度矩阵如上所示，根据行列式方程方法假定位移基矢量取为： 由此可得： 将上述两式代入并求此式的特征值问题，得到 根据求得近似频率和振型：频率近似值为： 振型近似值： 将上面振型进行处理可得，将用Rayleigh-Ritz法就得的振型和频率与行列式法求得的精确的振型和频率比较可知，由于所取得位移基矢量与体系原本的振型相差不大，故Rayleigh-Ritz法给出了原系统的准确值。5框架非线性动力时程分析采用时程分析法，输入地震波，求所设计的三层框架各层的位移时程反应，要求画出所设计的框架图、输入的地震波的波形图，所求得的位移时程反应图。框架的几何尺寸信息如下图所示。采
13、用SAP2000软件进行建模并分析结构在地震作用下框架结构的非线性位移的时程反应图。操作步骤如下所述：步骤1：定义材料属性：弹出材料属性数据对话框，输入C30混凝土材料属性数据。步骤2：定义框架截面：先定义梁截面属性；定义柱截面属性；步骤3：指定框架梁、柱截面，如下图：步骤4： 选择Z=0平面的所有节点，指定节点约束，即设置柱低端支座。如下图：步骤5：即建模完成，模型如下图所示：步骤6：定义函数：选择定义“时程”，选择添加新函数进行定义，选择地震波USA00074，如下图：地震波波形图如下：步骤7：定义分析工况：“添加新工况”选择“分析工况类型”为“time history”注：在Wilson法中设置=1.4。通常结构采用Rayleigh 阻尼，即： 式中， 为Alpha阻尼,也称质量阻尼系数； 为Bata阻尼,也称刚度阻尼系数，这两个阻尼系数可通过振型阻尼比计算得到，即：式中，通常假设应用于两个控制频率的阻尼比相同，即。取多自由度体系的基频，在动力反应中有显著贡献的高阶阵型中选取。在“比例阻尼”后，点击“修改”，将“质量系数”设为0.6357，“刚度系数”设为0.0023.步骤8：点击运行，运行完成后会显示框架变形图，并可得到的位移时程反应图： 三层非线性位移时程反应曲线二层非线性位移时程反应曲线一层非线性位移时程反应曲线一、二、三层非线性位移时程反应曲线对比图
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