中考数学证明试题精华

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1、1、已知：ABC中，以AC、BC为边分别向形外作等边三角形ACD和BCE，M为CD中点，N为CE中点，P为AB中点（1）如图1，当ACB=120时，MPN的度数为 （2）如图2，当ACB=（0180）时，MPN的度数是否变化？给出你的证明2、已知RtABC中，AC=BC，C=90，D为AB边的中点，EDF=90，EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F（1）当EDF绕D点旋转到DEAC于E时（如图1），易证SDEF+SCEF= 12SABC；（2）当EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，SDE

2、F、SCEF、SABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明3、已知：在ABC中，ABC=90，点E在直线AB上，ED与直线AC垂直，垂足为D，且点M为EC中点，连接BM，DM（1）如图1，若点E在线段AB上，探究线段BM与DM及BMD与BCD所满足的数量关系，并直接写出你得到的结论；（2）如图2，若点E在BA延长线上，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；（3）若点E在AB延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段BM与DM及BMD与BCD所满足的数量关系图1中有BM=DM，BMD=2BCD；图2中BCD不存在，有BM=DM；图3中有BM=DM，BMD=

3、360-2BCD解法同（2）4、如图，有一面积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围城，篱笆总长33米，求：鸡场的长和宽各为多少米？5、如图所示，一段街道的两边缘所在直线分别为AB，PQ，并且ABPQ建筑物的一端DE所在的直线MNAB于点M，交PQ于点N小亮从胜利街的A处，沿着AB方向前进，小明一直站在点P的位置等候小亮（1）请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的视线，以及此时小亮所在位置（用点C标出）；（2）已知：MN=20m，MD=8m，PN=24m，求（1）中的点C到胜利街口的距离CM6、如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=C

4、D=BC=4，AD=2点M为边BC的中点，以M为顶点作EMF=B，射线ME交边AB于点E，射线MF交边CD于点F，连接EF（1）指出图中所有与BEM相似的三角形，并加以证明；（2）设BE=x，CF=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）如果BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长（1）由已知EMF=B，利用外角的性质证明CMF=BEM，由等腰三角形的性质，得B=C，证明BMECFM；再利用相似比及EMF=B，证明BMEMEF；（2）根据CMFBEM得 BEBM=CMCF，然后代入关于x和y的关系式求出可（3）当BME是以BM为腰的等腰三角形时，若BE=BM=2，同理CM=CF=2，

5、可知E、F分别是AB、DC的中点，由梯形中位线定理求解，若BM=ME=2，过M作MHBE于H，过A作AGBC于G，利用相似比求解7、如图1，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=4（1）在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标；（2）如图2，若AE上有一动点P（不与A，E重合）自A点沿AE方向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t秒（0t5），过P点作ED的平行线交AD于点M，过点M作AE平行线交DE于点N求四边形PMNE的面积S与时间t之间的函数关系

6、式；当t取何值时，s有最大值，最大值是多少？（3）在（2）的条件下，当t为何值时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M的坐标？（1）根据折叠的性质可知：AE=OA，OD=DE，那么可在直角三角形ABE中，用勾股定理求出BE的长，进而可求出CE的长，也就得出了E点的坐标在直角三角形CDE中，CE长已经求出，CD=OC-OD=4-OD，DE=OD，用勾股定理即可求出OD的长，也就求出了D点的坐标（2）很显然四边形PMNE是个矩形，可用时间t表示出AP，PE的长，然后根据相似三角形APM和AED求出PM的长，进而可根据矩形的面积公式得出S，t的函数关系式，根据函数的性质即可得

7、出S的最大值及对应的t的值（3）本题要分两种情况进行讨论：ME=MA时，此时MP为三角形ADE的中位线，那么AP= AE2，据此可求出t的值，过M作MFOA于F，那么MF也是三角形AOD的中位线，M点的横坐标为A点横坐标的一半，纵坐标为D点纵坐标的一半由此可求出M的坐标当MA=AE时，先在直角三角形OAD中求出斜边AD的长，然后根据相似三角形AMP和ADE来求出AP，MP的长，也就能求出t的值根据折叠的性质，此时AF=AP，MF=MP，也就求出了M的坐标8、已知：如图，ABC中，ABC=45，CDAB于D，BE平分ABC，且BEAC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于

8、点G（1）求证：BF=AC；（2）求证：CE= 12BF；（3）CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论9、某单位于“三八”妇女节期间组织女职工到温泉“星星竹海”观光旅游下面是邻队与旅行社导游收费标准的一段对话：邻队：组团去“星星竹海”旅游每人收费是多少？导游：如果人数不超过25人，人均旅游费用为100元邻队：超过25人怎样优惠呢？导游：如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不得低于70元该单位按旅行社的收费标准组团浏览“星星竹海”结束后，共支付给旅行社2700元请你根据上述信息，求该单位这次到“星星竹海”观光旅游的共有多少人？10、如图，在直线l上摆放有ABC和直角

9、梯形DEFG，且CD=6cm；在ABC中：C=90，A=30，AB=4cm；在直角梯形DEFG中：EFDG，DGF=90，DG=6cm，DE=4cm，EDG=60度解答下列问题：（1）旋转：将ABC绕点C顺时针方向旋转90，请你在图中作出旋转后的对应图形A1B1C，并求出AB1的长度；（2）翻折：将A1B1C沿过点B1且与直线l垂直的直线翻折，得到翻折后的对应图形A2B1C1，试判定四边形A2B1DE的形状并说明理由；（3）平移：将A2B1C1沿直线l向右平移至A3B2C2，若设平移的距离为x，A3B2C2与直角梯形重叠部分的面积为y，当y等于ABC面积的一半时，x的值是多少（1） 根据旋转的

10、定义得到CB=CB，在直角三角形ABC中，根据三角函数就可以求出BC的长，即CB的长，就可以求出AB1的长度；（2）四边形A2B1DE是平形四边形，可以证明A2B与DE平行且相等（3）y等于ABC面积的一半时有两种情况，一种是当A3B2与DE相交时，即当2x4时：根据A3B2DE，得到则重合部分的三角形与A3B2C2相似，且面积的比等于相似比，就可以求出在直线L上重合部分的长度，得到C1C2的长度从而求出x的值另外一种情况是当A3B2与FG相交时，同样，根据三角形相似就可以求出C1C2的长度从而求出x的值解：（1）在ABC中由已知得：BC=2，AC=ABcos30= 23，AB1=AC+CB1

11、=AC+CB= 2+23（2）四边形A2B1DE为平行四边形理由如下：EDG=60，A2B1C1=A1B1C=ABC=60，A2B1DE，又A2B1=A1B1=AB=4，DE=4，A2B1=DE，故结论成立（3）由题意可知：SABC= 12223=23，当0x22或x103时，y=0，此时重叠部分的面积不会等于ABC的面积的一半当2x4时，直角边B2C2与等腰梯形的下底边DG重叠的长度为DC2=C1C2-DC1=（x-2）cm，则y= 12（x-2） 3（x-2）= 32（x-2）2，当y= 12SABC= 3时，即 32（x-2）2= 3解得 x=2-2（舍）或x=2+ 2当x=2+ 2时，

12、重叠部分的面积等于ABC的面积的一半当4x8时，A3B2C2完全与等腰梯形重叠，即y=2 3当8x10时，B2G=B2C2-GC2=2-（x-8）=10-x则y= 12（10-x） 3（10-x）= 32（10-x）2，当y= 12SABC= 3时，即 32（10-x）2= 3，解得x=10- 2，或x=10+ 2（舍去）当x=10+ 2时，重叠部分的面积等于ABC的面积的一半由以上讨论知，当x=2+ 2或x=10+ 2时，重叠部分的面积等于ABC的面积的一半11、如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形（阴影部分）铁片备用，当要求截取

13、的矩形两边长的比x：y=4：5时，矩形的面积是多少？12、如下图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0t6）那么：（1）当t为何值时，QAP为等腰直角三角形？（2）求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论；（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与ABC相似？13、已知：如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC=90点E是DC的中点，过点E作DC的垂线交AB于点P，交CB的延长线于点M点F在线段ME上，且满足CF

14、=AD，MF=MA（1）若MFC=120，求证：AM=2MB；（2）求证：MPB=90- 12FCM14、如图，梯形ABCD中，ABCD，ADCD，AC=AB，DAC=30度点E、F是梯形ABCD外的两点，且EAB=FCB，ABC=FBE，CEB=30（1）求证：BE=BF；（2）若CE=5，BF=4，求线段AE的长15、已知：P是正方形ABCD对角线BD上一点，PEDC，PFBC，E、F分别为垂足求证：AP=EF1、如图，在梯形ABCD中，ADBC，EAAD，M是AE上一点，F、G分别是AB、CM的中点，且BAE=MCE，MBE=45，则给出以下五个结论：AB=CM；A EBC；BMC=90

15、；EF=EG；BMC是等腰直角三角形上述结论中始终正确的序号有 2、如图，四边形ABCD为一梯形纸片，ABCD，AD=BC翻折纸片ABCD，使点A与点C重合，折痕为EF连接CE、CF、BD，AC、BD的交点为O，若CEAB，AB=7，CD=3下列结论中：AC=BD，EFBD，S四边形AECF=ACEF，EF= 2527，连接F0；则F0AB正确的序号是 3、如图，直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD=4，BC=6，将腰CD以D为中心顺时针旋转90至ED，过点D作DMBC于M，过点E作ENAD延长线于N，连接AE、CE，则AED的面积为 4、如图，正方形ABCD，点P是对角线AC上一点，

16、连接BP，过P作PQBP，PQ交CD于Q，若AP=2 2，CQ=5，则正方形ABCD的面积为 5、如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G下列结论：EC=2DG；GDH=GHD；SCDG=SDHGE；图中有8个等腰三角形其中正确的是（）6、关于x的方程 kx2+(k+2)x+k4=0有两个不相等的实数根（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由7、两个长为2cm，宽为1cm的长方形，摆放在直线l上（如图），CE=2cm，将长方形A

17、BCD绕着点C顺时针旋转角，将长方形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度（1）当旋转到顶点D、H重合时，连接AG（如图），求点D到AG的距离；（2）当=45时（如图），求证：四边形MHND为正方形8、用两个全等的等边三角形ABC和ACD拼成菱形ABCD把一个含60角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合将三角尺绕点A按逆时针方向旋转（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图1），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论并证明你的结论；（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图2），

18、你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由9、凯里市某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出，若每间包房收费再提高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高20元的这种方法变化下去（1）设每间包房收费提高x（元），则每间包房的收入为y1（元），但会减少y2间包房租出，请分别写出y1，y2与x之间的函数关系式（2）为了投资少而利润大，每间包房提高x（元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y（元），请写出y与x之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由10、如

19、图，在直角梯形ABCD中，ADBC，C=90，BC=16，DC=12，AD=21，动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，P、Q分别从点D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，设运动时间为t（s）（1）设BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系；（2）当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？11、某课外学习小组在设计一个长方形时钟钟面时，欲使长方形的宽为20厘米，时钟的中心在长方形对角线的交点上，数字2在长方形的顶点上，数字3，6，9，12标在所在边的中点上，如图所示（1）当时

20、针指向数字2时，时针与分针的夹角是多少度？（2）请你在长方框上点出数字1的位置，并说明确定该位置的方法；（3）请你在长方框上点出钟面上其余数字的位置，并写出相应的数字（说明：要画出必要的、反映解题思路的辅助线）；（4）问长方形的长应为多少？12、在联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在ABC的 13、阅读下面的材料：ax2+bx+c=0（a0）的根为 x1=-b+b2-4ac2a， x2=-b-b2-4ac2a， x1+x2=-2b2a=-ba， x1x2=b2-

21、(b2-4ac)4a2=ca综上得，设ax2+bx+c=0（a0）的两根为x1、x2，则有x1+x2= -ba，x1x2= ca请利用这一结论解决下列问题：（1）若x2-px+q=0的两根为-1和3，求p和q的值；（2）设方程3x2+2x-1=0的根为x1、x2，求 1x1+1x2的值14、如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点，P异于A、D，Q是BC边上的一动点，连接AQ、DQ，过P作PEDQ交AQ于E，作PFAQ交DQ于F（1）请你判断APE与PDF的关系，并说明理由；（2）若Q是BC的中点，当P点运动到什么位置时，四边形PEQF为菱形？说明理由；（3）四边

22、形PEQF能否为矩形，为什么？15、如图，ABC中，CAB的平分线与BC的垂直平分线DG相交于D，过点D作DEAB，DFAC，求证：BE=CF16、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是 17、在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，Q是CD上任意一点，DPAQ，交BC于点P求证：（1）DQ=CP；（2）OPOQ18、如图，ABC中，ACB=90，AC=BC=1，将ABC绕点C逆时针旋转角（090）得到A1B1C1，连接BB1设CB1交AB于D，AlB1分别交AB、AC于E、F（1）在图中不再添加

23、其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以证明（ABC与A1B1C1全等除外）；（2）当BB1D是等腰三角形时，求；（3）当=60时，求BD的长19、已知关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0的一个根为0，则m的值为 20、已知关于x的二次方程（1-2k）x2-2 kx-1=0有实数根，则k的取值范围是 21、若（x2+y2）2-4（x2+y2）-5=0，则x2+y2= 22、若一个等腰三角形的三边长均满足方程y2-6y+8=0，则此三角形的周长为 23、如图，已知：在RtABC中，ACB=90，AC=BC=4，M是边AB的中点，E、G分别是边AC、BC上的一点

24、，EMG=45，AC与MG的延长线相交于点F（1）在不添加字母和线段的情况下写出图中一定相似的三角形，并证明其中的一对；（2）连接结EG，当AE=3时，求EG的长23、如图，P是正方形ABCD内一点，在正方形ABCD外有一点E，满足ABE=CBP，BE=BP（1）在图中是否存在两个全等的三角形，若存在请写出这两个三角形并证明；若不存在请说明理由；（2）若（1）中存在，这两个三角形通过旋转能够互相重合吗？若重合请说出旋转的过程；若不重合请说明理由；（3）PB与BE有怎样的位置关系，说明理由；（4）若PA=1，PB=2，APB=135，求AE的值24、已知关于x的一元二次方程：x2-2（-a+1）

25、x+a2-1=0有两个不相等的实数根x1，x2；且有 1x1+1x2=2，求a的值及方程两根x1，x225、我市某旅行社为吸引市民组团去海南风景区旅游，推出了如下收费标准：某单位组织员工去海南风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用27000元，请问（1）若有25人去旅游，则旅游费用是 元；（2）如果该单位去旅游的人数为x（x25）人，则人均旅游费用为 元；（3）求该单位有多少人参加了这次旅游？26、在ABC中，C=Rt，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，并且CD=3cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度，沿AC向终点C移动；点Q以1.25cm/s的速度

26、沿BC向终点C移动过点P作PEBC交AD于点E，连接EQ，设动点运动时间为x秒（1）用含x的代数式表示AE、DE的长度；（2）当点Q在BD（不包括点B、D）上移动时，设EDQ的面积为y（cm2），求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当x为何值时，EDQ为直角三角形？（1）可根据PEDC，来得出关于AE，AD，AP，AC的比例关系，AD可根据勾股定理求出，那么就能用x表示出AE的长，进而可表示出DE的长；（2）求三角形EDQ的面积可以QD为底边，以PC为高来求，QD=BD-BQ，而BQ可根据Q的速度用时间表示出来，那么也就能用x表示出QD，而PC就是AC-AP，有了底和高，就可以根据三角形的面积公式得出关于x，y的函数关系式；（3）因为ADB是钝角，因此要想使三角形EDQ是直角三角形，那么Q就必须在CD上，可分两种情况进行讨论：当EQD=90时，四边形EPCQ是个矩形，那么EQ=PC，DQ=BQ-BD，根据EQAC可得出关于EQ，AC，DQ，DC的比例关系从而求出x的值当DEQ=90时，可用PC和DAC的正弦值来表示出EQ，然后用相似三角形EQD和ABC，得出关于EQ，AC，DQ，AD的比例关系，从而求出x的值16