《数与形》研课稿

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1、数与形研课稿教材分析湛：首先来谈一谈我们备课组为什么要选这一节课。姚：数与形是六年级上册第八单元数学广角的内容，是人教版新教材新增的内容。湛：“数形结合”一词正式出现在华罗庚先生于1964年1月撰写的谈谈与蜂房结构有关的数学问题的科普小册子中，书中有一首小词“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”陈：数形结合是一种数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的；二是借助于数的精确性和规

2、范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的。“数”和“形”是小学数学教学的研究对象，也是贯穿小学数学教材的两条主线。姚：教材安排了两个例题例1：连续奇数的等差数列之和等于某平方数。本例让学生计算从1开始的连续若干奇数之和。在计算时，即使不借助图形，也可以通过，发现规律：从1开始，连续个奇数之和，就是的平方。但把图形与算式对应起来，更具直观性，更能让学生体会到数学之美。图中有的规律显而易见（每个图都是一个大的正方形，第个图形中，大正方形的每行、每列都有个小正方形，因此，小正方形的总数是）,有的规律相对比较隐蔽(从左下角到右上角，每个“”形的小正方形的个数分别是1，3，5，7，)。每个

3、图中都“隐藏”着一个等式，如第个图中的等式就是。从图形的角度直观理解“正方形数”或“平方数”的特点，显然，使学生通过数与形的对照，利用图形直观形象的特点得到关于数的规律。例2：等比数列之和等于1。本例让学生计算的得数。学生在计算的过程中发现，加数有规律，即后一个加数是前一个加数的；和也有规律，每次相加所得的和都等于1减去最后一个加数；加数的项数越多，和越接近1。这些加数无限地加下去，最后的和无限接近于1。但这个无限接近于1的数到底是多少呢？教材利用“分数的认识”中的面积模型和长度模型，在圆上和线段上表示出这些加数，使学生借助图理解：无限加下去，最终的得数为1。由此，教材借助图形解决了比较抽象的

4、、复杂的、不好解决的问题。课时划分宋：本单元包括两个例题和两题做一做及练习二十二的8道练习题，主要是通过特殊的算式与图形的关系把抽象的数学形象化，旨在进一步让学生体会“数形结合”的数学思想方法，同时渗透“极限”的数学思想。在本课的教学设计阶段，组内的老师们就课时划分的问题有不同的看法。湛：一开始，我们根据教材的编排揣摩编者的意图，认为两个例题均能很好地体现“数形结合”的数学思想，一个课时讲解内容更为丰满。例1为用数表示形的规律，即“以数辅形”；例2则用形解决了数的问题，即“以形助数”。两个例题一起充分体现了数与形的紧密结合。后来经过反复讨论，老师们发现这两个例题是本单元教学内容的两个不同的层次

5、。杜：例1是使学生通过数与形的对照，利用图形直观形象的特点表示出数的规律。利用正方形直观地理解“正方形数”或“平方数”的特点。例2是借助图形解决一些比较抽象的、复杂的、不好解释的问题。根据分数意义，利用圆的模型，使学生直观地理解“无限”的抽象概念。宋：于是我们组内决定将两个例题分开新授，这次是新授的例1以及相关的练习。将例1单独设计为一课时更符合学生的学习实际，能有效帮助他们通过数形结合探索规律并应用规律。目标定位：陈：根据教材编排的特点：突出探索规律，应用规律。不管是数还是形，都突出对其规律的探索。例如：通过观察算式和计算1、1+3、1+3+5既能发现加数规律又能发现和的规律，也可以通过图形

6、观察每次的变化规律与小正方形个数的规律。在利用数形结合解决问题的过程中积累基本的活动经验，培养基本的数学思想。我们将目标定位为： 1.让学生通过自主探究发现图形中隐藏着数的规律，并会应用所发现的规律。2.在学生动手操作、自主探究和合作交流的过程中，渗透数形结合的思想。 3.学生在解决数行结合问题的过程中，体会和掌握数形结合的数学思想。培养学生用“数形结合”的思想解决问题。饶：有时，仅仅通过算式本身去发现规律，对于学生来说有一定的困难。因此，我们要给学生提供一种桥梁，而图形正是一种有效的桥梁。引导学生通过观察、猜想、操作、验证等学习手段来发现规律，运用规律解决生活中实际问题的能力。陈：要想突出本

7、节课的重点、突破难点。我们组研讨后确定了这样的步骤，由拼图开始，先拼出如例一中的正方形，再根据图形得出算式，让学生结合自己所拼的图体会算式中加数的规律以及和的规律点。让学生感受到图形与算式的是紧密结合的。教学环节设计江：为了实现教学目标，突破重难点，我们经过商议，设计了四个教学环节：一、创设情境，引入新课；二、发现问题，探究规律；三、巩固练习；四、归纳小结，拓展延伸。第一个环节是创设情境，引入新课最开始，我们设计了通过计算长方形中小正方形的个数，回忆长方形面积公式的推导过程引入本课，第一次试教后，我们发现学生只是单纯的回答出如何计算小正方形个数。 姚：学生在学习长方形面积公式时，已经完成了由形

8、到数的过程，学生看到图形条件反射般的由面积计算公式。再硬生生的让学生从数回到形上去很牵强。江：在第一次试讲后，我们选择了更为直观的统计图来导入。并设计了通过对图形移多补少来解决数学问题这一过程，更直接的感受用“形”来解决“数”的问题简单方便。湛：二次试教时，学生并没能如我们所想的提到“移多补少”方案，这个设计是否不可行呢？饶：学生说不出这有什么关系呢？老师可以提出来，比如说一句：“老师有更好的办法，不用计算都能估算，你们信吗？”然后展示出移多补少的过程，通过两种方法的对比，学生能感受到用“形”来解决“数”的问题更直观更简单！江：第二个环节是发现问题，探究规律首先是探究例1，发现规律。按照要求用

9、小正方形拼出更大的正方形，通过拼图亲历由“形”到“数”得出过程。再结合图形发现算式中的特点。接着是验证规律：结合图形总结得出规律。最后是应用规律写写填填。在一次试教时，我们都有一个感觉，那就是“数”与“形”的结合不够紧密。老师让学生展示拼图时，并没能体现由“形”得到“数”的过程。于是我们在活动要求中设计，结合图形说一说算式中每个数的含义？ 同时我们发现，学生操作学具时很不方便，如何更好的设计学具成了一个问题？ 学具设计杜：我们团队在开始设计这节课的学具时，用卡纸剪出了大小相同，颜色不一样的小正方形，在小正方形后用双面胶贴上，我们还设计了学习单，为上课做准备。在第一次试讲中，每个小组的学生用老师

10、事先裁剪的小正方形在学习单上拼图。虽然学生们都动手操作，也达到一定教学效果。可是在拼图过程中也出现了一些问题，由于小正方形是用双面胶来固定的，一旦贴上去，就不能移动或更改；学生在学习单上拼图，由于小正方形太小，拼完后不方便展示给大家看。陈：在出现这些问题后，我们小组经过了第二次的研课，最后，我们充分利用我们现有的资源小黑板来代替学习单上的拼图，我们小组又剪了大一些的正方形代替小的正方形，用吸铁石来代替双面胶来解决第一次试讲出现的问题。第二次的试讲很成功，学生不仅在小组内拼图，还在黑板上重现自己的拼图过程，通过想一想、拼一拼、写一写、议一议，完整再现学生的思维过程。既提高了学生的动手操作能力，又

11、培养和建立学生数形结合的思想。江：进行了以上的改动后，动手操作环节在二次试教时十分顺利。但是在寻找规律时，我们发现学生往往忽略了“从1开始”这一必要条件，因此在接下来的环节中我们进行了一次有关习题设计的讨论：练习设计湛：在第三个巩固练习环节。我们最开始选择了课本上的三个练习：练习一：P107利用规律直接写一写。练习二：P108做一做1请你根据例1的结论算一算。练习三P108做一做2下面每个图中各有多少个红色小正方形和多少个蓝色小正方形？照这样接着画下去，第6 个图形有多少个红色小正方形和多少个蓝色小正方形？第10 个图形呢？你能解释这其中的道理吗？这三个练习是课本上的原题，在最开始研究教学设计

12、的时候，我们并没有花时间去设计练习。因为三个练习的层次很清楚，第一个练习只是巩固例1中发现的规律，第二个练习是运用规律解决计算问题，第三个练习是运用数形结合的思想方法解决新问题，发现新规律。而且两次试讲也和我们预设的一样，学生完成的很好。但是在两次试讲中我们也发现一个问题，学生在总结和描述例1的规律“从1开始连续的奇数的和等于奇数个数的平方”时总是漏掉了“从1开始”这一条件。可见学生还对这一条件的认识还不够深刻。如果在练习中设计一道不从1开始的连续奇数的和会不会引起学生的重视呢？增加这一个练习，会不会让我们的练习设计更有层次感呢？在第三次研课中，我们围绕这个问题展开了讨论。最开始我们同意增加一

13、道“3+5+7+9+11+13+15”，目的仅仅是引起学生对“从1开始”这一条件的重视。可是增加了这样的练习后，学生还能不能运用例1的规律进行计算？如果学生出现了困难，我们如何应对？饶：如果学生有困难，我们可以让学生根据算式摆一个图形，例题是由形到数，现在来个由数到形，用图形先呈现出算式，学生会注意到缺少一个正方形，可以先添上一个让算式符合例1的规律，算出结果后再把添上的一个小正方形减掉，总之一句话，把学生引向图形，坚持数形结合。宋：那我们干脆再增加一道，把前面的数再省掉几个，看学生还能不能灵活解决。湛：最后我们把练习增加到四个。这样既巩固了例1的规律，又让学生更深刻认识到数形结合的重要性了。

14、江：第四个环节是：归纳小结，拓展延伸我们最开始设计的是拓展知识面：为了丰富学习内容，介绍 “正方形数” 和 “三角形数”，以及两者之间的关系。陈：但经过第一次试讲后我们发现这一环节还显得比较单薄。正好饶校长主持的“数学思想方法研训班”有一期就是专门讲“数形结合”这一数学思想的。经过学习，我们深刻的感受到数形结合这一数学思想在整个小学阶段其实是普遍存在的，并不仅仅只是这一节课里才有数形结合。我们是不是需要对这一数学思想来一个纵向的串联呢？姚：基于这个考虑，我们经过研讨后，决定在这一环节里对整个小学阶段运用了数形结合的知识进行一个纵向的回顾，如一年级的数的认识、二年级的乘除法、三年级的分数、四年级的小数、五年级的公倍数等等，处处渗透着数形结合。让学生感受到，数形结合贯穿着整个小学阶段乃至整个数学领域，充分体会数形结合运用的重要以及好处。湛：最后出示华罗庚教授的一段话：“数无形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非”，进一步体会数形结合的好，激励学生在今后的学习中善于运用这一方法！