自动控制原理经典例题详解29章

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1、第2章 控制系统的数学模型1第3章 线性系统的时域分析法7第4章 线性系统的根轨迹法16第5章 线性系统的频域分析法27第6章 线性系统的校正方法40第7章 线性离散系统的分析与校正48第8章 非线性控制系统分析62第9章 线性系统的状态空间分析与综合73第2章 控制系统的数学模型例1 设齿轮系如图2-1所示。图中和为齿轮和轴的转动惯量，和为齿轮轴与轴承的粘性摩擦系数，和为各齿轮轴的角位移，为电动机的输出转矩，和分别为轴1传送到齿轮上的转矩和传送到轴2上的转矩，齿轮1和齿轮2的减速比为。如果不考虑齿轮啮合间隙和变形，试求输入量是转矩，输出是转角的运动方程。图2-1解:1. 由已知，齿轮1和齿轮

2、2的减速比为 （2-1）在齿轮传动中，两个啮合齿轮所做的功相同，因此有 （2-2）根据牛顿第二定律，齿轮1的运动方程为 （2-3）齿轮2的运动方程为 （2-4）由（2-1）、（2-2）、（2-3）和（2-4）式，消去中间变量、，得系统的运动方程为例2 求取图2-2所示电路的传递函数。图中为放大器的增益。图2-2解:考虑放大器对电路的负载效应，即电路的输出端电阻应为与的并联。即利用复阻抗的概念，电路的传递函数为电路与放大器串接后的传递函数为例3 已知系统的传递函数为系统初始条件为，试求系统的单位阶跃响应。解:考虑到传递函数是在零初始条件下定义的，故有系统的微分方程为将微分方程两边取拉氏变换，得到

3、变换方程由已知条件，及，变换方程可简化为显然，通过拉氏变换将微分方程变成了代数方程。解变换方程，求出输出变量的拉氏变换表达式是变量的有理分式函数，可用部分方式法，将的分母多项式进行因式分解，分解为部分分式待定系数可由下式求出故有将输出的拉氏变换式进行拉氏反变换即可得到微分方程的解，即系统的单位阶跃响应例4 分别用结构图等效变换和梅逊公式求图2-3所示系统的传递函数。图2-3解： 用梅逊公式求取系统传递函数。由图2-3知，系统有1个回路，有2条前向通路。因此有根据梅逊公式，系统的传递函数为例5 系统微分方程组如下：式中、均为常数。试建立以、及为输入量、为输出量的系统动态结构图。解:1. 在零初始

4、条件下，对微分方程组进行拉氏变换，得到变换方程组2. 根据变换方程组画出各子方程结构图2-4。图2-43. 按照系统中各变量的传递顺序，把相同的量连起来，便可得到系统的结构图，如图2-5所示。图2-5例5 系统信号流图如图2-6所示，试求传递函数、和。图2-6解:由图2-6可以看出，共有4个回路，一对两两不接触回路，故有，1. 求传递函数。从到的前向通路共2条，故有，2. 求传递函数。因不是输出节点，而是混合节点，故可将用一条支路增益为1的支路引出，使该混合节点变为输出节点，所以可以直接利用梅逊公式求出。从到的前向通路共1条，故有，3. 求传递函数。因不是输入节点，而是混合节点，故不能直接用梅

5、逊公式求传递函数。用梅逊公式先求出和。第3章 线性系统的时域分析法例1 一个温度计插入100水中测温，经3min后，指示95，如果温度计可视作一个一阶环节且，求：1. 时间常数；2. 时，单位阶跃响应是多少？3. 如果给该容器加热，使容器内水温以的速度匀速上升，当定义时，温度计的稳态指示误差有多大？解:1. 求时间常数。解法1. 根据调节时间的定义，有解法2. 依题意，一阶环节的标准数学模型为输入信号为，即，故有对其进行拉氏反变换，有依题意 解得 2. 输入信号为，即，则有时3. 水温以的速度匀速上升，表示输入信号为斜坡信号，即。一阶系统稳定，根据误差的定义，有因为在平面右半平面及虚轴上（除原

6、点外）解析，满足终值定理的应用条件，故有例2 已知二阶系统的单位阶跃响应为试求系统的超调量、峰值时间和调节时间。解:为便于计算，先求出正弦函数的拉氏变换，有对单位阶跃响应进行拉氏变换，得单位阶跃输入，系统的传递函数为典型二阶系统的传递函数为比较以上二式，有，。则有超调量 峰值时间 调节时间 例3 已知系统特征方程如下。试用劳斯判据确定系统的稳定性，并指出根的分布情况。1. 2. 3. 4. 解:1. 由系统特征方程列写劳斯表由劳斯表可知，第一列元符号全部为正，所以系统稳定，系统特征根均位于左半平面。2. 由系统特征方程列写劳斯表由劳斯表可知，第一列元符号变化两次，所以系统不稳定，且有两个根在右

7、半平面；而劳斯表中无全为零的行，故无虚轴上的根；因特征方程为4阶，所以有2个根在左半平面。3. 由系统特征方程列写劳斯表因是一个很小的正数，所以，劳斯表第一列元符号变化两次，所以系统不稳定，且有两个根在右半平面；而劳斯表中无全为零的行，故无虚轴上的根；因特征方程为4阶，所以有2个根在左半平面。4. 由系统特征方程列写劳斯表劳斯表的行的元素全为0，所以系统不稳定，有对称于原点的根。以该行的上一行构造辅助方程，并对辅助方程求一阶导数，用所得导数方程的系数继续劳斯表的计算。求解辅助方程 解得 ，因为劳斯表第一列元素符号变化两次，所以系统有两个根在右半平面；由辅助方程有两个根在虚轴上；因特征多项式为6

8、阶，故有两个根在左半平面。例4. 已知系统结构图如图3-1所示，试确定闭环系统稳定性。图3-1解：由图3-5系统结构图，闭环系统的传递函数为可见系统的闭环极点有一个在右半平面，故系统不稳定。例5 已知单位负反馈系统的开环传递函数为试确定和的值，使系统以2弧度/秒的频率持续振荡。解：系统的特征方程为即 列写劳斯表依题意，系统以2弧度/秒等幅振荡，故有 （3-1）用行的上一行的系数构造辅助方程，有 （3-2）由（3-2）式，有所以 （3-3）由（3-1）、（3-3）式解得，和，。将两组解分别带入特征方程可知，不符合题意。故使系统以2弧度/秒的频率持续振荡的，。例6 单位负反馈系统的开环传递函数为其

9、中、。1. 试确定闭环系统稳定时，参数、应满足的关系，在坐标中画出使系统稳定的区域2. 计算在输入作用下系统的稳态误差。解：1. 系统的特征方程为即 列写劳斯表根据劳斯稳定判据，令劳斯表中第一列各元为正，考虑到、，可求得参数、应满足的关系为使系统稳定的、取值范围如图3-2中阴影部分。图3-22. 求系统稳态误差用静态误差系数法。因输入信号为单位斜坡信号， 系统静态速度误差系数为稳态误差为例7 设某复合控制系统的结构图如图3-3所示。图3-3其中， ，。要求系统在扰动信号作用下的稳态误差为零，试确定顺馈通道的传递函数。解：令，用结构图等效变换或梅逊公式易求得扰动引起的系统输出为按扰动误差的定义，

10、有系统的扰动输入信号为，即。应用终值定理，扰动作用下的稳态误差为依题意，故有例8 单位反馈的二阶系统，其单位阶跃输入下的系统响应如图3-4所示。要求：1. 确定系统的开环传递函数。2. 求出系统在单位斜坡输入信号作用下的稳态误差。图3-4解：1. 由图3-4所示系统的单位阶跃响应曲线，知系统的超调量及峰值时间分别为，。由超调量及峰值时间的计算公式，有解得，rad/s。故系统的开环传递函数为2. 单位斜坡输入信号，即。因二阶系统稳定，故有系统的速度静态误差系数为例9系统结构图如图3-5所示图3-5求：1. 为使系统闭环稳定，确定的取值范围。2. 当为何值时，系统出现等幅振荡，并确定等幅振荡的频率

11、。3. 为使系统的闭环极点全部位于平面的虚轴左移一个单位后的左侧，试确定的取值范围。【分析】本题是考核劳斯判据的应用。当劳斯表第一列各元均大于零时，系统稳定；当劳斯表出现某一行各元全部为零时，可能出现等幅振荡；而系统所有特征根均位于的左侧，称为稳定度为1，可先进行坐标轴的平移，然后再用劳斯判据判稳。【解答】1. 系统特征方程为列写劳斯表根据劳斯判据，令劳斯表第一列各元均大于零，解得使系统稳定的的取值范围为2. 求为何值时，系统出现等幅振荡，利用劳斯表求解。令劳斯表中行各元均为零，解得以行各元构造辅助函数，并将带入，有解得当时，系统出现等幅振荡，等幅振荡的频率弧度/秒。3. 将虚轴左移一个单位，

12、得新坐标系。将带入特征方程列写劳斯表令劳斯表中第一列各元均大于零解得使系统的闭环极点全部位于平面的虚轴左移一个单位后的左侧的的取值范围为第4章 线性系统的根轨迹法例1 已知系统的开环传递函数为1. 绘制系统的根轨迹图。2. 为使系统的阶跃响应呈现衰减振荡形式，试确定的取值范围。解:1. 绘制系统的根轨迹。系统的开环传递函数为其中。 系统有三个开环极点：，没有开环零点。将开环零、极点标在平面上。 根轨迹的分支数。特征方程为三阶，故有三条根轨迹分支。3条根轨迹分支分别起始于开环极点，终止于开环无限零点。 实轴上的根轨迹。实轴上的根轨迹区段为,和 渐近线的位置与方向。渐近线与实轴的交点渐近线与正实轴

13、的夹角 分离点和分离角。根据分离点公式解得，（舍去）。不在时的根轨迹上，故应舍去。分离角 。 与虚轴的交点。将代入系统闭环特征方程实部、虚部为零解得，即。根据以上所计算根轨迹参数，绘制根轨迹如图4-1所示。2. 确定的取值范围。与分离点相应的可由模值条件求得由如图4-1可知，使系统的阶跃响应呈现衰减振荡形式的的取值范围为。图4-1例1 已知系统的开环传递函数为 ，绘制系统的根轨迹图。解:系统的开环传递函数为1. 系统有三个开环极点：，没有开环零点。将开环零、极点标在平面上。2. 根轨迹的分支数。特征方程为三阶，故有三条根轨迹分支。3条根轨迹分支分别起始于开环极点，终止于开环无限零点。3. 实轴

14、上的根轨迹。实轴上的根轨迹为整个负实轴。4. 渐近线的位置与方向。渐近线与实轴的交点渐近线与正实轴的夹角5. 分离点和分离角。根据分离点公式解得，不在根轨迹上，故无分离点。6. 根轨迹的起始角。7. 与虚轴的交点。将代入系统闭环特征方程实部、虚部为零解得；。根据以上所计算根轨迹参数，绘制根轨迹如图4-2所示。图4-2例3 已知单位反馈系统的开环传递函数，试绘制系统的根轨迹。解:1. 系统有4个开环极点：，没有开环零点。2. 根轨迹的分支数。特征方程为四阶，故有四条根轨迹分支。4条根轨迹分支分别起始于开环极点，终止于开环无限零点。3. 实轴上的根轨迹。实轴上除两个重极点外无根轨迹。4. 渐近线的

15、位置与方向。渐近线与实轴的交点渐近线与正实轴的夹角5. 分离点。分离点就是两个重极点6. 与虚轴的交点。系统闭环特征方程为列写劳斯表令，解得。以行列辅助方程根据以上所计算根轨迹参数，绘制根轨迹如图4-3所示。图4-3例4 已知系统的开环传递函数为1. 绘制时系统的根轨迹图。确定闭环共轭复数极点具有阻尼比时的闭环传递函数。2. 绘制时系统的根轨迹图。确定系统输出无衰减振荡分量时的闭环传递函数。解:1. 绘制时系统的根轨迹图。系统的开环传递函数为 系统有四个开环极点：，没有开环零点。将开环零、极点标在平面上。 根轨迹的分支数。特征方程为四阶，故有四条根轨迹分支。根轨迹起始于开环极点。 实轴上的根轨

16、迹。实轴上的根轨迹区段为。 渐近线的位置与方向。渐近线与实轴的交点渐近线与正实轴的夹角 分离点和分离角。根据分离点公式解得，（不在根轨迹上，舍去）。利用模值方程可求得分离点所对应的为分离角 。 根轨迹的起始角。 与虚轴的交点。系统闭环特征方程为列写劳斯表令行为零，得。以行列辅助方程根据以上所计算根轨迹参数，绘制根轨迹如图4-4所示。图4-4在图4-4中作出阻尼比的等阻尼比线，与根轨迹交于点。设，则将带入特征方程，可以解得，其共轭复数为。根据模值方程，与相对应的为因分离点处，故当时，闭环的另两个闭环极点为实数极点，可用长除法求出 即，。因此闭环传递函数为2. 绘制时系统的根轨迹图。系统的开环传递

17、函数为 系统有四个开环极点：，没有开环零点。 根轨迹的分支数。特征方程为四阶，故有四条根轨迹分支。根轨迹起始于开环极点。 实轴上的根轨迹。实轴上的根轨迹区段为。 渐近线的位置与方向。渐近线与实轴的交点渐近线与正实轴的夹角 分离点和分离角。， 根轨迹的起始角。 与虚轴的交点。，。根据以上所计算根轨迹参数，绘制根轨迹如图4-5所示。图4-5当闭环极点均为实数时，系统输出无衰减振荡分量。由图4-5可知，只有在分离点处满足这一条件，所以闭环传递函数为例5 已知系统的开环传递函数为试概略绘制闭环系统根轨迹，并指出：1. 闭环系统稳定的的范围。2. 该系统是否存在不振荡的单调运动过程？解：1. 系统开环传

18、递函数 系统有4个开环极点：，没有开环零点。 根轨迹的分支数。特征方程为四阶，故有四条根轨迹分支。4条根轨迹分支分别起始于开环极点，终止于开环无限零点。 实轴上的根轨迹。实轴上的根轨迹区段为。 渐近线的位置与方向。渐近线与实轴的交点渐近线与正实轴的夹角 分离点。解得。因为在实轴的根轨迹区段上，故是分离点。是否为分离点，应看其是否满足相角条件。可见满足相角条件，故是分离点。同样也是分离点。 根轨迹的起始角。 与虚轴的交点。系统闭环特征方程为列写劳斯表令，解得。以行列辅助方程根据以上所计算根轨迹参数，绘制根轨迹如图4-6所示。由图4-7所示所示根轨迹知当时，闭环极点均位于左半平面，系统稳定。2.

19、由图可见，在整个从0的根轨迹上，对于为任何值时，没有四个闭环极点均为实数的情况，故该系统不存在不振荡的单调运动过程。图4-6例6已知系统的开环传递函数为，求以和为参变量的根轨迹簇。（提示：选某一参数为根轨迹变量时，另一参数选为常数。）解:1. 当时，系统的开环传递函数为当由变化时，常规根轨迹为整个虚轴。这个常规根轨迹决定了下一步绘制的根轨迹簇的起点位置。2. 以为参变量时的根轨迹。系统的特征方程为方程两边除以，由此得到以为参变量的等效开环传递函数：（1）系统有两个开环极点：，一个开环零点。（2）根轨迹的分支数。特征方程为二阶，故有2条根轨迹分支。2条根轨迹分支分别起始于开环极点，一条终止于开环

20、零点，另一条终止于无限零点。（3）实轴上的根轨迹。实轴上的根轨迹区段为。（4）渐近线的位置与方向。渐近线与实轴的交点渐近线与正实轴的夹角（5）根轨迹的起始角和终止角。（6）分离点。根据分离点公式解得（舍去）。根据以上分析，取K=1、4、9时，可绘出的参数根轨迹簇如图4-7所示，为以原点为圆心，以为半径的圆。图4-7第5章 线性系统的频域分析法例1 单位反馈系统的开环传递函数为，试根据频率特性的物理意义，求在输入信号为作用下系统的稳态输出和。解：1. 求系统的稳态输出。系统闭环传递函数为闭环频率特性为闭环幅频特性为闭环相频特性为输入信号为作用下，闭环幅频和相频分别为因此系统的稳态输出2. 求系统

21、的误差稳态输出。系统的误差传递函数为误差频率特性为输入信号为作用下，误差的幅频和相频分别为因此系统误差的稳态输出为例2 已知单位反馈系统的开环传递函数为，当系统的输入时，闭环系统的稳态输出为，试计算参数和的数值。解：系统闭环传递函数为闭环频率特性为输入信号为，闭环幅频和相频分别为 （5-1） （5-2）由式（5-1）、（5-2）易求得、。例3 试绘制下列开环传递函数的幅相特性，并判断其负反馈闭环时的稳定性。1. 2. 解：1. 系统的开环频率特性为曲线的起点：系统为型，时，曲线的终点：时，因系统中无开环零点，所以相频特性单调递减，易知幅相曲线与实轴有交点。下面求幅相曲线与实轴交点的坐标令，得代

22、入，得系统为型，系统幅相曲线起始时渐进线是平行于虚轴的直线，其横坐标为根据以上分析，可概略地作出幅相曲线，如图5-1所示。图5-1由系统的开环传递函数知，系统无右半平面开环极点，即。由图5-3可见，幅相曲线不包围点。根据奈氏判据，系统负反馈闭环时稳定。2. 系统的开环频率特性为曲线的起点：系统为型，时，曲线的终点：时，因系统中有开环零点，所以相频特性单调递减，易知幅相曲线与实轴有交点。下面求幅相曲线与实轴交点的坐标令，得代入，得：根据以上分析，可概略地作出幅相曲线，如图5-2所示。图5-2由系统的开环传递函数知，系统无右半平面开环极点，即。由图5-2可见，幅相曲线不包围点。根据奈氏判据，系统负

23、反馈闭环时稳定。例4 已知系统开环传递函数为，试用奈奎斯特稳定判据判断闭环系统的稳定性，并确定的取值范围。解：1. 系统的开环频率特性为曲线的起点：系统为型，时，系统为型，系统幅相曲线起始时渐进线是平行于虚轴的直线，其横坐标为曲线的终点：时，易知幅相曲线与实轴有交点。令，得代入，得根据以上分析，可概略地作出幅相曲线，如图5-5所示。图5-3由系统的开环传递函数知，系统有一个右半平面开环极点，即。系统为型，应逆时针补画一个半径为无穷大的1/4圆。根据奈奎斯特判据，由图5-3可见当时，幅相曲线过点，系统临界稳定；当时，幅相曲线正穿越次数，负穿越次数，曲线包围点圈数，故有，系统稳定。当时，幅相曲线正

24、穿越次数，负穿越次数，曲线包围点圈数，故有，系统不稳定。例5 已知系统开环传递函数为，试概略绘制系统的开环幅相曲线，并求使系统稳定的的范围。解:系统的开环频率特性为曲线的起点：时，曲线的终点：时，当幅相曲线与实轴相交时，有根据以上分析，可概略地作出幅相曲线，如图5-4所示。图5-4根据奈奎斯特稳定判据，当 ，即时，系统稳定。例6 已知系统开环传递函数为，试绘制系统的开环对数频率特性。解：系统开环传递函数为开环频率特性的表达式系统为0型且，故对数幅频曲线最左端曲线斜率为0dB/dec，其高度为；微分环节的交接频率为，惯性环节的交接频率为。因非最小相位环节的对数幅频特性与最小相位环节相同，故可绘制

25、出系统开环对数幅频曲线。再根据其相频表达式绘制相频渐近线曲线如图5-5所示。图5-5例7 已知系统开环传递函数为，试绘制系统的开环对数频率特性，并确定剪切频率。解：系统开环传递函数为因此，系统的开环增益为系统为型，一阶微分环节的交接频率rad/s，振荡环节的交接频率为rad/s，绘制系统的开环对数频率特性如图5-6所示。由图可见，低频段与0dB线相交于 rad/s。图5-6例8. 某系统的结构图和开环幅相曲线如图5-7所示。图中；试判断闭环稳定性，并决定闭环特征方程正实部根个数。图5-7解：绘制内环的幅相曲线。系统内环的开环传递函数为曲线起点：曲线终点：易绘制出内环的幅相曲线如图5-7所示。图

26、5-7由图可见，内环幅相曲线不包围，因为无右半平面的极点，故内环稳定，即系统开环传递函数无右半平面极点。由系统的开环开环幅相曲线可知，开环幅相曲线在左侧正、负穿越的次数，故有，所以系统在右半平面的极点数即闭环系统在右半平面有2个极点，系统不稳定。例8. 已知最小相位系统的对数幅频渐进特性曲线如图5-8所示，试确定系统的开环传递函数。（a） （b） （c）图5-8解：（1）由图5-8（a）知低频段渐近线的斜率为0dB/dec，说明开环系统为0型，且有故有 根据各交接频率处曲线斜率的变化，确定对应的典型环节：处，斜率变化20dB/dec，故对应的是惯性环节的交接频率；处，斜率变化20dB/dec，

27、故对应的是一阶比例微分环节的交接频率；处，斜率变化20dB/dec，故对应的是惯性环节的交接频率。因此，系统的开环传递函数为式中，下面来求。由图列写直线方程即 故系统的开环传递函数为（2）由图5-8（b）知低频段渐近线的斜率为-40dB/dec，说明开环系统的积分环节数；又因为低频段的延长线与0dB线交于10rad/s1处，故有根据各交接频率处曲线斜率的变化，确定对应的典型环节：处，斜率变化20dB/dec，故对应的是一阶比例微分环节的交接频率；处，斜率变化-20dB/dec，故对应的是惯性环节的交接频率。因此，系统的开环传递函数为式中，下面来求、。由图列写直线方程即 故系统的开环传递函数为（

28、3）由图5-8（c）知低频段渐近线的斜率为40dB/dec，说明开环系统的积分环节数；又因为低频段在处的幅值为20dB，故有根据各交接频率处曲线斜率的变化，确定对应的典型环节处，斜率变化-40dB/dec，由修正曲线知对应的是二阶振荡环节的交接频率；处，斜率变化-20dB/dec，故对应的是惯性环节的交接频率。因此，系统的开环传递函数为式中，。下面求。二阶振荡环节在谐振频率处的修正值为，由修正曲线修正值为20dB，即解得。系统的开环传递函数为例9. 若单位反馈系统的开环传递函数为试确定使系统稳定的值范围。解：系统开环频率特性为曲线起点：曲线终点：若曲线与负实轴的交点在-1的右侧，则曲线不包围点

29、，系统稳定。令解得的最小正值为。因此与负实轴的交点为当，即时，系统临界稳定。当时，系统稳定。例10. 设单位反馈控制系统的开环传递函数试确定相角裕度为45时参数的值。解：系统的开环传递函数为：其相频特性由相位裕度的数学表达式，有：所以 即 也就是说，系统的穿越频率就是一阶微分环节的交接频率，故可绘制系统的开环对数幅频特性，如图5-9所示。图5-9因开环增益，且对数幅频最左端直线斜率为40dB/dec。故有所以 第6章 线性系统的校正方法例1 单位负反馈最小相位系统校正前、后的开环对数幅频特性如图6-1所示。1. 求串联校正装置的传递函数。2. 求串联校正后，使闭环系统稳定的开环增益的值。图6-

30、1解:1. 求串联校正装置的传递函数。由图6-1知，校正前系统的开环传递函数为式中可由低频段求出校正后系统的开环传递函数为由图6-1知，在时，开环对数幅值dB，即,故根据，则有2. 求串联校正后，使闭环系统稳定的开环增益的值。根据校正后系统的开环传递函数，其相频特性为运用三角公式并整理，得当相角为时，有解得。此时幅值为即将开环增益增大倍，系统处于临界稳定状态。根据频率稳定判据，当即时，对数频率特性曲线不穿越线，系统稳定。例2 设系统结构图如图6-2所示。图6-2要求系统在单位斜坡输入信号作用时，稳态误差0.1，开环系统截止频率4.4rad/s，相角裕度45，幅值裕度10dB。解：1. 先确定开

31、环增益。0.1所以10。取。2. 作时未校正系统的开环对数频率特性如图6-3中所示。图6-3由图列写直线方程rad/s3. 在未校正对数幅频特性上，取频率点处幅值为，以确定值。得，取。那么 故校正环节的传递函数为校正后系统的开环传递函数为：4. 验算。显然，已校正系统的截止频率rad/s。校正后系统的相角裕度为幅值裕度。全部性能指标均已满足。例3 单位负反馈系统的开环传递函数为采用超前校正，使校正后系统速度误差系数/s，相角裕度45。解：系统的开环传递函数为1. 确定开环增益。绘制待校正系统的对数幅频如图6-4所示。图6-4开环传递函数为5截止频率为 rad/s相角裕度为设超前校正网络的传递函

32、数为2. 确定需要补偿的相位超前角。3. 计算。4. 将未校正系统幅频曲线上幅值为处的频率作为校正后的截止频率，并令，确定值。 rad/s超前校正网络的传递函数为校正后系统的开环传递函数为：5. 验算。校正后系统的相角裕度为全部性能指标均已满足。例4 已知系统的开环传递函数为要求校正后系统的静态速度误差系数s1，相角裕度40，截止频率2.3rad/s，试设计串联校正装置。解：1. 确定开环增益。s12. 绘制s1时待校正系统的开环对数幅频曲线如图6-5所示。图6-5由图列写直线方程rad/s可见待校正系统不稳定，且截止频率远大于期望值，故选择串联滞后校正。3. 在待校正系统的频率特性曲线上选择

33、频率点，使其满足并将其作为校正后系统的穿越频率。rad/s4. 根据下述关系式确定迟后网络参数和选 由图6-5知即为 s5. 验算。rad/s2.3rad/s全部性能指标均已满足。例5 证明图6-6所示的三阶期望特性，可能达到的最大相角裕度和中频带宽度（）的关系为当满足的关系时，和的关系为或图6-6证明：相角裕度为令，得带入相角裕度表达式可得相角裕度的最大值为当满足的关系，即时，有可得或第7章 线性离散系统的分析与校正例1 试求的变换。解：将展为部分分式对上式进行变换例2 试求的反变换。解：方法1 幂级数法（长除法）首先将的分子、分母多项式写成以的升幂形式用长除法展开相应的脉冲序列为采样时刻的

34、值为，方法2 部分分式法将展成部分分式查表得 0,1,2, 采样时刻的值为，方法3 留数法根据留数定理有式中，表示函数在极点处的留数。在极点和的处的留数分别为 0,1,2, 采样时刻的值为，可见反变换的三种方法求得的结果一样。例3 试求解差分方程式中（0,1,2, ），初始条件为。解：方法1 递推法。由差分方程可得递推关系根据初始条件及递推关系，得方法2 变换法利用变换实数位移定理，对差分方程各项进行变换，得式中，带入上式，并考虑初始条件，有用留数法求其反变换，有极点和均为二重极点，其留数分别为根据留数定理（0,1,2, ）采样时刻的值为， 可见与递推法结果一样。例4 试确定（1）（2）的终值

35、()。解：（1）因为的极点为，在单位圆内，满足变换终值定理的应用条件，故有（2）因为在单位圆外有极点，不满足变换终值定理的应用条件，不能用终值定理法求()。现对其进行反变换求出,由例2知 0,1,2, 故有()= 。例5 设系统如图7-1所示，采样周期s，试分析系统的稳定性，并求出系统的临界放大系数。图7-1解：（1）时系统开环脉冲传递函数为系统的特征方程为，即解得闭环特征根为，位于单位圆外，故系统不稳定。（2）求临界放大系数。系统的特征方程为利用域劳斯判据进行判稳。令，有即 列写劳斯表系统稳定的条件为解得，即当时系统临界稳定。例6 采样系统结构图如图7-2所示，采样周期s，试确定使系统稳定的

36、值范围及，时系统的稳态误差。图7-2解：（1）求使系统稳定的值范围。求数字控制器脉冲传递函数。由数字控制器差分方程 利用实数位移定理对其进行变换，得所以 系统开环脉冲传递函数为系统闭环特征方程为，即利用域劳斯判据进行判稳。令，有即 列写劳斯表系统稳定的条件为即。（2）求系统的稳态误差。在单位斜坡信号作用下的稳态误差为例7已知采样控制系统如图7-3所示：图7-3采样周期s，试求出系统的脉冲响应和阶跃响应。解：因为，所以应用修正变换法来分析系统。取希望的插补值数目，则。所以令，有，则上式可表示为当输入为单位脉冲时，即，。所以有当输入为单位阶跃时，即，例8. 试根据定义确定下列函数的和闭合形式的：（

37、1）；（2）（2）。解：（1）根据欧拉公式，所以 （0,1,2, ）式中 （7-1）两边同时乘以，则有 （7-2）式（7-1）减去式（7-2）得同理可得所以根据定义，有（2）将展成部分分式对上式进行拉氏反变换，得（0,1,2, ）例9. 已知，试证明下列关系式成立：（1）； （2），为采样周期。解：（1）根据定义，有得证。（2）根据定义，有对表达式进行求导，得即 得证。例9. 设开环离散系统如图7-4所示，试求开环脉冲传递函数。（a）（b）图7-4解：图（a）：两个环节间有采样开关，因此有图（b）：两个环节间没有采样开关，因此有例10. 试求图7-5闭环离散系统的脉冲传递函数或输出变换。（a）

38、（b）（c）图7-5解：（1）由图（a）知对离散化，得 （7-3）式中 对离散化，得所以 将上式带入式（7-3），得 （7-4）对上式离散化，得故有 将上式带入式（7-4），则有对上式进行变换，得所以 （2）由图（b）知 （7-5）将离散化，得将上式带入式（7-5），得将离散化，得对上式进行变换，得（3）由图（c）知对离散化，得 （7-6）带入式（7-6）得所以 对上式变换，得例11. 设有单位反馈误差采样系统，连续部分传递函数为输入，采样周期s。试求：（1）输出变换；（2）输出响应的终值()。解：（1）开环脉冲传递函数为闭环脉冲传递函数为（2）输出响应的终值由闭环脉冲传递函数，系统的闭环特征

39、方程为解得，故闭环极点均位于单位圆内，系统稳定。满足终值定理应用条件，故有() 第8章 非线性控制系统分析例1 设三个非线性系统具有相同的非线性环节，而线性部分各不相同，它们的传递函数分别为（1）（2）（3）试判断应用描述函数法分析非线性系统稳定性时，哪个系统的分析准确度高。解：线性部分的惯性越大或阶次越高，低通滤波性能就越好。因为系统2的惯性环节时间常数大于系统1，故系统2较系统1的低通滤波性能要好；系统3虽然阶次高于系统2，但其同时含有一个时间常数为1.5的一阶微分环节，故其低通滤波性能较系统2差。应用描述函数法分析非线性系统稳定性时，系统2的分析准确度最高。例2 设某非线性系统的结构图如

40、图8-1所示，试应用描述函数法分析该系统的稳定性。为使系统稳定，继电器参数a、b应如何调整。图8-1解：非线性特性的描述函数为：，Aa其负倒描述函数为当时， ；当时，；必存在极值。令 得 ，系统线性部分的频率特性为令 得，则与负实轴的交点概略画出线性部分的幅相特性曲线和曲线，如图8-2所示。图8-2由图8-2可见，要使系统稳定，则和曲线不相交。即有得例3 某非线性系统结构图如图8-3所示。其中继电特性的描述函数为，线性部分的传递函数为试确定系统的稳定性，并求出当极限环振荡的幅值时的放大系数与振荡频率的数值。图8-3解：非线性特性的描述函数为其负倒描述函数为在负实轴上，当时，即为负实轴上-1,0

41、段。系统线性部分的频率特性为令 得，则与负实轴的交点概略画出线性部分的幅相特性曲线和曲线，如图8-4所示。图8-4由图8-4可见，当时，包围曲线，系统不稳定；当时，和曲线相交，且沿着振幅增加的方向是由不稳定区域进入稳定区域时，则该交点是稳定的周期运动，是自振点。当极限环振荡的幅值时，当极限环振荡的幅值时的放大系数、振荡频率。例4 图8-5为一非线性系统结构图，试绘制和时平面上的相轨迹。图8-4解：（1）由图8-4，有因为，当时，非线性为理想继电特性，故可得系统分段线性微分方程式为， ， 开关线方程将相平面分成两个区域。区域：相轨迹微分方程为该区域没有奇点。将带入上式，并积分可得式中由初始条件决

42、定。可见该区域相轨迹为开口向左的抛物线，与横轴交于。区域：同样可导出相轨迹方程为式中由初始条件决定。可见该区域相轨迹为开口向右的抛物线，与横轴交于。绘制相轨迹如图8-5所示。由图可见，当时，在任何初始条件下，相轨迹都由开口向左和开口向右的两段抛物线组成，形成一簇封闭的曲线，即极限环。在不同初始条件下，系统以不同的幅值和频率振荡。图8-5（2）当时，非线性为有滞环的继电特性，系统分段线性微分方程式为， 或 ， 或可见，开关线和将相平面分成两个区域。和区域：相轨迹微分方程为该区域没有奇点。将带入上式，并积分可得式中由初始条件决定。可见该区域相轨迹为开口向左的抛物线。和区域：同样可导出相轨迹方程为式

43、中由初始条件决定。可见该区域相轨迹为开口向右的抛物线。绘制相轨迹如图8-6所示。当时，相轨迹由开口向左和开口向右的两段抛物线组成，在上半平面，为开关线，在下半平面，为开关线，由图可见相轨迹为向外发散形式。滞环特性恶化了系统的品质，使系统处于不稳定状态。图8-6例5 某系统的状态方程为试画出系统，初始状态的相轨迹大致形状。解：由系统的状态方程有即 系统为二阶线性系统。系统的特征方程为解得 可见特征根为具有正实部的共轭复根，相轨迹为离心螺旋线。图8-7概略绘制了系统初始状态为（1,-2）时的相轨迹图。图8-7例6 已知某线性二阶系统在单位阶跃信号作用下的相轨迹如图8-8所示。试画出对应的过渡过程曲

44、线，并确定其传递函数。已知相平面图上（1.164,0）的点所对应的时间为3.63s。图8-8 图8-9解：根据相轨迹，绘制出对应的过渡过程曲线如图8-9所示。可见响应的超调量为，峰值时间s。根据线性二阶系统性能指标计算公式，有解得 因此线性二阶系统的传递函数为例7已知非线性环节的特性如图8-10所示，试计算该环节的描述函数。图8-10解：设输入。画出非线性特性在正弦输入下的输出波形，如图8-10所示。其输入输出的数学关系式为输出是一周期函数，由于是奇函数，故有。有根据描述函数的表达式，有例8某非线性系统如图8-11所示。图8-11其中，滞环继电特性的描述函数为为非线形元件输入正弦的幅值。求：1

45、. 画出的图像。2. 分析系统的稳定性，如存在自持振荡，请计算频率与振幅。3. 当值不变，值加大时系统有何特点？解：1. 非线性特性的描述函数为其负倒描述函数为可见曲线是平行于实轴、与实轴距离为的直线。系统线性部分的频率特性为概略画出线性部分的幅相特性曲线和曲线，如图8-12所示。图8-122. 当幅相特性曲线和曲线相交时，有得。3. 由图8-12及2的计算知，当值不变、值加大时，曲线向下平移，故与的交点下移，即振荡频率降低，幅值增大。例9某非线性系统的相平面如图8-13所示，其中给出了一条根轨迹abcdefa，它对应于一个周期运动。设各点的坐标分别为：（2,0），（1.1,-1.5），（1.

46、5,1.5），（3,0），（1.5,1.5），（1.1,1.5），fab和edc均为圆心在实轴的圆弧，试求周期运动的周期。图8-13解：求各段运动所需要的时间。ab段：设该段圆弧半径为，圆心在。由图8-13可知：在b点：。在任意圆弧段，根据，有可见，圆弧段的运动时间等于该段圆弧所对应的中心角用弧度来度量的数值。故需求出图8-13中ab段所对应的的中心角角。所以 解得 s。bc段：，其运动方程为scd段：所以运动的周期为 第9章 线性系统的状态空间分析与综合例1 如图9-1所示机械系统，若不考虑重力对系统的作用，试列写该系统以拉力为输入，以质量块和的位移和为输出的状态空间表达式。图9-1解:根据

47、牛顿定律，对质量块和进行力的分析，有整理后有设，故有例2 求下列系统的外部描述解：系统的传递函数矩阵为例3 已知某系统的齐次状态方程为当系统的时域响应时，试计算系统的初始状态。解：齐次方程的解为，故有根据状态转移矩阵的基本性质，有例4 设控制系统的结构图如图9-2所示，试判别该系统的能控性和能观测性。图9-2解：1. 列写状态空间表达式。由图9-3，有状态方程为 输出方程为 即 ，2. 判别系统的能控性和能观测性。系统的能控性矩阵所以系统不完全能控。系统的能观测性矩阵所以系统完全能观测。例5 设系统的传递函数为试求：1. 确定实数为何值时，系统为不能控或不能观测，或是既不能控又不能观测？2.

48、选择系统的另外一组变量，使系统在1所确定的值下能控而不能观测？3. 选择系统的另外一组状态变量，使系统在1所确定的值下观测而不能控？解：1. 设系统的传递函数为显然，当或时，系统传递函数存在零、极点对消，此时系统为不能控或不能观测，或是既不能控又不能观测。2. 选择状态变量，使系统的状态空间表达式为能控标准形，则有因状态空间表达式为能控标准形，故此时系统能控。系统的能观测性矩阵当或时，。系统不能观测。3. 能控标准形和能观测标准形互为对偶，故有能观测标准形状态空间表达式为因状态空间表达式为能观测标准形，故此时系统能观测。系统的能控性矩阵当或时，。系统不能控。例6 开环传递函数为求使系统极点配置

49、到-1，-2，-3的状态反馈阵，并说明其配置新极点后的状态能控性及能观测性。解：开环传递函数为故有系统的能控标准形为系统完全能控，可用状态反馈任意配置闭环极点。期望特征多项式为状态反馈系统的特征方程为比较以上二式得，。即加入状态反馈后系统的传递函数为传递函数中极点-1与零点对消，状态反馈不改变系统的能控性，但改变了系统的能观测性，系统不能观测。例7 设系统的状态空间表达式为试设计全维状态观测器的阵，使观测器的极点均为-2.5。解：系统能观测性矩阵系统能观测，故状态观测器存在。期望状态观测器特征多项式为设，状态状态观测器特征多项式为比较以上二式得，。即系统的状态观测器为即例8 设控制系统的状态方程为其中为非零正常数，试分析系统的稳定性。解：令确定系统的平衡点，得，为原点。取李雅普诺夫函数；可见，当时，；当时，所以系统在原点是渐近稳定的。又因为当时，所以系统在原点是大范围渐近稳定的。第 77 页 共 77 页