江苏省南通市启东中学高二（下）第二次质检数学试卷（理科）（解析版）

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1、2014-2015学年江苏省南通市启东中学高二（下）第二次质检数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1设集合A=1，0，3，B=x|x21，则AB=2某单位有职工52人，现将所有职工按l、2、3、52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是3盒中有3张分别标有1，2，3的卡片从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为4执行如图所示的流程图，则输出的k的值为5若在区间（1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，则直线a

2、xby=0与圆（x1）2+（y2）2=1相交的概率为6若|zi|=1，则|z|最大值为7已知数据x1，x2，xn的方差s2=4，则数据3x1+5，3x2+5，3xn+5的标准差为8用数学归纳法证明“1+n（nN*，n1）”时，由n=k（k1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是9（x+1）（2x+1）（3x+1）（10x+1）展开式中x的一次项系数为10已知=，则C8m=11在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字也许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为12已知的展开式中，各项系数的和与其

3、二项式系数的和之比为64则展开式中所有的有理项的项数为13将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为14已知等比数列an的首项为，公比为，其前n项和记为S，又设Bn=，（nN*，n2），Bn的所有非空子集中的最小元素的和为T，则S+2T2014的最小正整数为二、计算题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.1）已知矩阵，其中a，b均为实数，若点A（3，1）在矩阵M的变换作用下得到点B（3，5），求矩

4、阵M的特征值（2）在极坐标系中，设直线与曲线210cos+4=0相交于A，B两点，求线段AB中点的极坐标16设z是虚数，满足是实数，且12（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设求证：u是纯虚数；（3）求u2的最小值17已知集合A=y|y2（a2+a+1）y+a（a2+1）0，B=y|y=x2x+，0x3（1）若AB=，求a的取值范围；（2）当a取使不等式x2+1ax恒成立的a的最小值时，求（RA）B18甲、乙、丙三位同学商量高考后外出旅游，甲提议去古都西安，乙提议去海上花园厦门，丙表示随意最终，三人商定以抛硬币的方式决定结果规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上，则甲得一分、乙得零分

5、；若反面朝上，则乙得一分、甲得零分，先得4分者获胜三人均执行胜者的提议若记所需抛掷硬币的次数为X（1）求X=6的概率；（2）求X的分布列和数学期望19已知数列bn满足，（1）求b2，b3，猜想数列bn的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）设，比较xx与yy的大小20设函数，（1）当m=2时，求f（4，y）的展开式中二项式系数最大的项；若，且a1=12，求；（2）利用二项式定理求的值（n1，nN*）2014-2015学年江苏省南通市启东中学高二（下）第二次质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1设集合A=1，0，3，B=x|x21，则AB=1，3

6、考点：交集及其运算专题：集合分析：求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可解答：解：由B中不等式解得：x1或x1，B=x|x1或x1，A=1，0，3，AB=1，3，故答案为：1，3点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2某单位有职工52人，现将所有职工按l、2、3、52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是19号考点：系统抽样方法专题：概率与统计分析：根据系统抽样的特征可知抽样是等距抽样的原则，构造一个等差数列，将四个职工的号码从小到大成等差数列，建立等式关系，解之即可解答：解：

7、设样本中还有一个职工的编号是x号，则用系统抽样抽出的四个职工的号码从小到大排列：6号、x号、32号、45号，它们构成等差数列，6+45=x+32，x=6+4532=19因此，另一学生编号为19故答案为：19号点评：系统抽样过程中，每个个体被抽取的可能性是相等的，系统抽样的原则是等距，抓住这一原则构造等差数列，是我们常用的方法3盒中有3张分别标有1，2，3的卡片从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为考点：古典概型及其概率计算公式专题：概率与统计分析：把所求的事件记为A，再根据题意列出所有的基本事件，找出事件A所包括的基本事件，代入

8、古典概型的随机事件的概率公式求出答案解答：解：设事件A为：两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数，则所有的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3）（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）共9种，则事件A包括：（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（3，2）共5种，即P（A）=，故答案为：点评：本题考查了古典概型的随机事件的概率公式的应用，解题的关键是按一定的顺序列出所有的基本事件，做到不重不漏4执行如图所示的流程图，则输出的k的值为4考点：程序框图专题：算法和程序框图分析：按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，并判断每一次得到的结果是否满足判断框中

9、的条件，直到满足条件，执行输出解答：解：当k=1，S=1时，进入循环，S=1，不满足退出循环的条件，k=2，S=2，不满足退出循环的条件，k=3，S=6，不满足退出循环的条件，k=4，S=15，满足退出循环的条件，故输出的k的值为4故答案为：4点评：本题主要考查了循环结构，在解决程序框图中的循环结构时，常采用模拟循环的方法，属于基础题5若在区间（1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，则直线axby=0与圆（x1）2+（y2）2=1相交的概率为考点：等可能事件的概率；直线与圆的位置关系专题：计算题分析：本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是在区间（1，1）内任取实数a，在

10、区间（0，1）内任取实数b，对应的面积是21，满足条件的事件是圆心（1，2）到直线的距离小于或等于半径，整理出结果，得到概率解答：解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是在区间（1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，对应的面积是21=2，满足条件的事件是圆心（1，2）到直线的距离小于或等于半径，即，4a3b，在所有事件组成的集合中，满足3b4a有x轴左边，b1的部分，要求的概率是=，故答案为：点评：本题考查等可能事件的概率，要求得概率等于符合条件的面积之比，注意满足条件的事件所满足的条件在整理时，应用点到直线的距离公式，注意变形整理6若|zi|=1，则|z|最

11、大值为2考点：复数的代数表示法及其几何意义；复数求模专题：计算题分析：直接利用复数模的几何意义，结合图象求出|z|最大值解答：解：|zi|=1，表示复数复平面内的点到（0，1）的距离为1的轨迹所以|z|最大值为2；故答案为：2点评：本题是基础题，考查复数的模的最值的求法，考查计算能力常考题型7已知数据x1，x2，xn的方差s2=4，则数据3x1+5，3x2+5，3xn+5的标准差为6考点：极差、方差与标准差专题：概率与统计分析：根据平均数和方差的公式的性质求解解答：解：设样本x1，x2，xn的平均数为 ，即=（x1+x2+xn ）则样本3x1+5，3x2+5，3xn+5的平均数为=（3x1+5

12、+3x2+5+3xn+5 ）=3（x1+x2+xn ）+5=3 +5；由方差的公式S2=（x1）2+（x2）2+（xn）2可知：样本3x1+5，3x2+5，3xn+5的方差为样本x1，x2，xn的方差的32=9倍，即94=36，则3x1+5，3x2+5，3xn+5的标准差为=6故答案为：6点评：本题考查方差和标准差的计算公式及运用根据数据平均数和方差之间的关系进行求解是解决本题的关键8用数学归纳法证明“1+n（nN*，n1）”时，由n=k（k1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是2k考点：数学归纳法专题：计算题分析：观察不等式左侧的特点，分母数字逐渐增加1，末项为 ，然后判断n=

13、k+1时增加的项数即可解答：解：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为；由n=k，末项为到n=k+1，末项为 ，应增加的项数为2k故答案为2k点评：本题是基础题，考查数学归纳法证明问题的第二步，项数增加多少问题，注意表达式的形式特点，找出规律是关键9（x+1）（2x+1）（3x+1）（10x+1）展开式中x的一次项系数为55考点：二项式定理的应用专题：计算题分析：展开式中x的一次项系数为每个括号中x的系数与其它括号中的常数项1相乘得到的结果，故x的一次项系数为 1+2+3+4+10，运算求得结果解答：解：（x+1）（2x+1）（3x+1）（10x+1）展开式中x的一次项系数为每个括号中x的系数与其

14、它括号中的常数项1相乘得到的结果，故x的一次项系数为 1+2+3+4+10=55，故答案为：55点评：本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题10已知=，则C8m=28考点：组合及组合数公式专题：计算题分析：根据组合数公式，将原方程化为=，进而可化简为m223m+42=0，解可得m的值，将m的值代入C8m中，计算可得答案解答：解：根据组合数公式，原方程可化为：=，即1=；化简可得m223m+42=0，解可得m=2或m=21（不符合组合数的定义，舍去）则m=2；C8m=C82=28；故答案为28点评：本题考查组合数公式，解题的关键在于牢记组合数公式11在某种

15、信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字也许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为11考点：计数原理的应用专题：应用题；排列组合分析：由题意知与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：一是与信息0110有两个对应位置上的数字相同，二是与信息0110有一个对应位置上的数字相同，三是与信息0110没有一个对应位置上的数字相同的，分别写出结果相加解答：解：由题意知与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：第一类：与信息0110有两个对应位置上的数字相同有C42=6（个）第二类：与

16、信息0110有一个对应位置上的数字相同的有C41=4个，第三类：与信息0110没有一个对应位置上的数字相同的有C40=1，由分类计数原理知与信息0110至多有两个对应位置数字相同的共有6+4+1=11个，故答案为：11点评：本题是一个分类计数问题，这是经常出现的一个问题，解题时一定要分清做这件事需要分为几类，每一类包含几种方法，把几个步骤中数字相加得到结果12已知的展开式中，各项系数的和与其二项式系数的和之比为64则展开式中所有的有理项的项数为3考点：二项式系数的性质专题：计算题；二项式定理分析：根据题意求出n的值，再由二项式展开式的通项公式求出展开式中所有的有理项是什么解答：解：的展开式中，

17、各项系数的和与其二项式系数的和之比为64，即=2n=64，解得n=6；二项式的展开式通项为Tr+1=x6r=3r；当r=0时，6r=6，是有理项，当r=3时，6r=2，是有理项，当r=6时，6r=2，是有理项；展开式中所有的有理项的项数为3故答案为：3点评：本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了逻辑推理与计算能力，是基础题目13将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为考点：相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式

18、专题：概率与统计分析：解法一（利用对立事件的概率）：由于小球落入B袋情况简单易求，记小球落入B袋中的概率P（B），有P（A）+P（B）=1求P（A），解法二（直接法）：由于小球每次遇到障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时小球将落下A袋故有概率的乘法公式求解即可解答：解法一：记小球落入B袋中的概率P（B），则P（A）+P（B）=1，由于小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入B袋，所以有P（B）=（）3+（）3=，P（A）=1P（B）=；解法二：由于小球每次遇到障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时小球将落下A袋P（A）=C31（）3+C

19、32（）3=；故答案为：点评：本题考查利用相互独立事件的概率乘法公式求概率，属于概率中的基本题型14已知等比数列an的首项为，公比为，其前n项和记为S，又设Bn=，（nN*，n2），Bn的所有非空子集中的最小元素的和为T，则S+2T2014的最小正整数为45考点：等比数列的性质专题：综合题；等差数列与等比数列分析：求出等比数列an的前n项和S，Bn的所有非空子集中的最小元素的和为T，利用S+2T2014，即可求出最小正整数解答：解：等比数列an的首项为，公比为，其前n项和记为S，S=1，当n=2时，Bn的所有非空子集为：，S=；当n=3时，S=4+1+2=4；当n4时，当最小值为时，每个元素都

20、有或无两种情况，共有n1个元素，共有2n11个非空子集，S1=；当最小值为，不含，含，共n2个元素，有2n21个非空子集，T=S1+S2+S3+Sn=+2+=S+2T2014，1+n212014n45故答案为：45点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要熟练掌握集合的子集的概念，注意分类讨论思想的灵活运用二、计算题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.1）已知矩阵，其中a，b均为实数，若点A（3，1）在矩阵M的变换作用下得到点B（3，5），求矩阵M的特征值（2）在极坐标系中，设直线与曲线210cos+4=0相交于A，B两点，求线段AB中点的极坐标考点

21、：简单曲线的极坐标方程；特征值与特征向量的计算专题：坐标系和参数方程分析：（1）由题意可得：=，化为，即可解得a，b设矩阵M的特征值为，利用f（）=0，解出即可（2）直线化为直角坐标方程：，利用即可把曲线210cos+4=0化为直角坐标方程，把直线y=x代入上述方程可得：2x25x+2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB中点的M（x0，y0）利用根与系数的关系、中点坐标公式即可得出解答：解：（1）由题意可得：=，解得a=3，b=6M=，设矩阵M的特征值为，则f（）=0，化为（2）（1）18=0，化为2316=0，解得=（2）直线化为直角坐标方程：，曲线210cos+4=0化为直

22、角坐标方程：x2+y210x+4=0，把直线y=x代入上述方程可得：2x25x+2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB中点的M（x0，y0）x1+x2=，x0=，y0=线段AB中点的直角坐标，=，tan=，可得=，因此极坐标为点评：本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化、一元二次的根与系数的关系、中点坐标公式、矩阵的特征值及其变换，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16设z是虚数，满足是实数，且12（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设求证：u是纯虚数；（3）求u2的最小值考点：函数最值的应用；复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算专

23、题：综合题分析：（1）设出复数z，写出的表示式，进行复数的运算，把整理成最简形式，根据所给的的范围，得到的虚部为0，实部属于这个范围，得到z的实部的范围（2）根据设出的z，整理u的代数形式，进行复数的除法的运算，整理成最简形式，根据上一问做出的复数的模长是1，得到u是一个纯虚数（3）=，再利用基本不等式即可求u2的最小值解答：解：（1）由z是虚数，设z=a+bi（a，bR，b0）则R且b0得a2+b2=1即|z|=1此时，=2a，12即z的实部的取值范围为（4分）（2）a2+b2=1u=又故u是纯虚数（8分）（3）=由知，故当且仅当时u2的最小值为1（14分）点评：本题考查复数的代数形式的运算

24、，本题是一个运算量比较大的问题，题目的运算比较麻烦，解题时注意数字不要出错17已知集合A=y|y2（a2+a+1）y+a（a2+1）0，B=y|y=x2x+，0x3（1）若AB=，求a的取值范围；（2）当a取使不等式x2+1ax恒成立的a的最小值时，求（RA）B考点：交、并、补集的混合运算；交集及其运算专题：集合分析：（1）先解出集合中的一元二次不等式，然后根据AB=空集，说明集合A，B没有共同的元素，从而求出实数a的范围；（2）由条件判断a=2，求出CRA，即可求得（CRA）B解答：解：（1）y=x2x+=（x1）2+2，y=x2x+在0，1递减，在1，3上递增，当x=1时，有最小值，即为2

25、，当x=3时，有最大值，即为4，2y4，B=2，4，A=y|y2（a2+a+1）y+a（a2+1）0y|（ya）y（a2+1）0，又a2+1aA=ya2+1或ya，AB=，a2+14或a2，a2或a，（2）使不等式x2+1ax恒成立时，由判别式=a240，解得2a2，故当a取使不等式x2+1ax恒成立的最小值时，a=2由（1）可得CRA=y|aya2+1 =y|2y5，B=y|2y4（CRA）B=B=2，4点评：本题主要考查两个集合的补集、交集、并集的定义和运算，二次函数的性质，属于基础题18甲、乙、丙三位同学商量高考后外出旅游，甲提议去古都西安，乙提议去海上花园厦门，丙表示随意最终，三人商定

26、以抛硬币的方式决定结果规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上，则甲得一分、乙得零分；若反面朝上，则乙得一分、甲得零分，先得4分者获胜三人均执行胜者的提议若记所需抛掷硬币的次数为X（1）求X=6的概率；（2）求X的分布列和数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列专题：概率与统计分析：（1）根据概率公式，即可求X=6的概率；（2）由题意知X=4，5，6，7，分别求出对应的概率即可求X的分布列和数学期望解答：解：（1）抛掷硬币正面向上、反面向上的概率都为，则P（X=6）=2=（2）X的分布列为：X4567P所以，EX=4+5+6+7=点评：本题主要考查离散型随机变量的分布列

27、以及期望的计算，根据概率公式分别求出对应的概率是解决本题的关键19已知数列bn满足，（1）求b2，b3，猜想数列bn的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）设，比较xx与yy的大小考点：数学归纳法；数列的函数特性；归纳推理专题：证明题；点列、递归数列与数学归纳法分析：（1）由b1=，+bn1=2（n2，nN*）可求b2，b3，从而可猜想数列bn的通项公式，用数学归纳法证明即可；（2）利用指数幂的运算性质可求得xx与yy，比较可知，二者相等解答：解：（1）b1=，+bn1=2（n2，nN*），=2b1=2=，b2=；同理可求，b3=，于是猜想：bn=下面用数学归纳法证明：当n=1时，b1=，结论成

28、立；假设n=k时，bk=，则n=k+1时，+bk=2，=2=，bk+1=，即n=k+1时结论也成立；综上所述，对任意nN*，bn=均成立（2）x=，y=，xx=，yy=，xx=yy点评：本题考查归纳推理与数学归纳法，考查推理论证与综合运算能力，比较xx与yy的大小是难点，属于难题20设函数，（1）当m=2时，求f（4，y）的展开式中二项式系数最大的项；若，且a1=12，求；（2）利用二项式定理求的值（n1，nN*）考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质专题：综合题；二项式定理分析：（1）m=2时，f（4，y）的展开式中二项式系数最大的项为第三项，求出即可；由二项式的展开式的通项公式，结合题意

29、求出m的值，再计算的值；（2）根据题意，构造函数f（x）=（1x）n，利用二项式定理展开并求导数，两边再同乘x，求导数，利用特殊值x=1，即可求得结果解答：解：（1）当m=2时，f（4，y）= 的展开式中共有5项，二项式系数最大的项为第三项，T3=12=；f（6，y）= 的通项公式为Tr+1=（1）r=（1）r26rm2r6，且f（6，y）=a0+，的系数为a1=632m4=12，解得m=2；f（6，y）= 的通项公式为Tr+1=（1）r26r22r6，ar=（1）r26r22r6 =2r，=2+22+23+26=271=127；（2）=+2232+42+（1）nn2设f（x）=（1x）n=C

30、n0Cn1x+Cn2x2Cn3x3+（1）nCnnxn，式两边求导得：n（1x）n1=Cn1+2Cn2x3Cn3x2+（n1）（1）n1Cnn1xn2+n（1）nCnnxn1，的两边同乘x得：nx（1x）n1=xCn1+2Cn2x23Cn3x3+（n1）（1）n1Cnn1xn1+n（1）nCnnxn，式两边求导得：n（1x）n1n（n1）x（1x）n2=Cn1+22Cn2x32Cn3x2+（n1）2（1）n1Cnn1xn2+n2（1）nCnnxn1，中令x=1，得+2232+42+（1）nn2=0点评：本题考查了二项式定理的展开式应用问题，也考查了函数的导数应用问题，考查了赋值法求值问题，是综合性题目