人教版高中数学《数学归纳法》教学案例

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1、数学归纳法教学案例（第一课时）一、 设计思想：根据新课程标准的基本理念-倡导积极主动、勇于探索的学习方式，设置恰当的教学情景，并通过亲自动手做实验（多米诺骨牌实验），感受事实，发现本质，提高数学的学习兴趣，体会数学推理的严谨性，发展学生的数学思维能力。二、教材分析：本内容在选修2-2模块中的“推理与证明”这一章中，它的要求是：了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。另外,数学归纳法内容抽象,思想新颖,通过对该部分的学习,对培养学生的逻辑思维能力与创新能力,全面提高学生的数学素质有十分重要的意义. 三、 学情分析：学生在此之前，已了解合情推理和演绎推理，并能用归纳和类比等进行

2、简单的推理 ，他们虽然知道从特殊的几个事例推出一般结论不一定合理，但对如何为什么不一定明白。再就是数学归纳法原理的理解上有一定困难 ，这就要教师创设教学情景，让学生经历数学发现、实验、观察，共同交流合作，寻求解决问题的办法。四、教学目标：（1）知识与技能：了解“归纳法”和“数学归纳法”的原理；体会用数学归纳法证明的合理性；学会用“数学归纳法”证明的“两个步骤一个结论”的书写格式；初步掌握用“数学归纳法”证明简单的恒等式的方法。 （2）过程与方法：通过列举具体事例，亲自操作并仔细观察多米诺骨牌实验，发现数学归纳法的基本原理，将感性认识上升到理性认识，类比归纳出“数学归纳法”的基本步骤。（3）情感

3、、态度与价值观：培养大胆猜想，严格论证的辩证思维素质，感受数学推理的严谨性，培养学生对于数学内在美的感悟能力，提高学生学习数学的兴趣。五、教学重点与难点：（1）重点：对“数学归纳法”的原理的理解，明白“两步一结论的重要性”，特别是第一第二步的辨证关系的理解。（2）难点：如何理解用“数学归纳法”证题的可靠性和有效性。六、教学策略与手段：数学实验法，引导发现法、感性体验法，学生合作交流、自主探索，再配合教师适时的引导、点拨、启发，从而使学生获得知识和能力上的发展。七、课前准备：学生看书，复习回忆等差数列和等比数列通项公式的推导过程；上网查找多米诺骨牌游戏的有关资料，并拷入优盘有待上课时老师选用。教

4、师准备教具：制作幻灯片，多米诺骨牌尽可能多一些，还有各种颜色的乒乓球若干，一个有盖纸盒。八、教学过程设计：教师提出问题：大家还记得以前学等差数列的时候它的通项公式是怎样得到的吗?我现展示给大家看： 由此可知： （这是书上的写法）师问：它是用什么方法得到的？（学生七嘴八舌议论开）引入归纳法定义：像这样，由特殊事例得到一般结论的推理方法叫做归纳法.即“由特殊到一般”的推理方法叫归纳法。提出质疑： 同学们一直在用这通项公式,有没有谁对由这种归纳法得到的这一结论产生过怀疑?我先给大家讲一个笑话：“从前，有个财主给他的儿子找了一个老师，第一天老师划了一横，说这是一个“一”字，第二天老师划了两横，说这是一

5、个“二”字，到了第三天，财主儿子想今天老师一定会教“三”字，就预先在纸上划了三横，果然这天先生划了三横，说这是“三”字。于是财主儿子就得出了一个结论：第四天、第五天、那一定是四横、五横所以就对财主说：“爸爸，你用了着请老师了，我什么都会了。”于是财主很高兴，就把老师给辞退了。过了几天，财主要请一个姓万的亲戚吃饭，就叫儿子写请贴，可是等了半天，也不见儿子出来，财主就亲自到房间去催，只见儿子趴在地上，满头大汗，一见到财主就抱怨说：“什么不好姓，干么姓万，从大清早到现在，我才划了五百多横呢？”这虽然是一则笑话，可财主的儿子怎么会得出“第四天、第五天、那一定是四横、五横”的结论呢？这里用的就是“归纳法

6、”，不过，这个归纳推出的结论显然是错误的。因此，由归纳法得出的结论有可能是错误的，上面就是一个例子。请问：现在你们会怀疑由归纳法得出的等差数列通项公式的正确性吗？思考几个问题：问题1、我这里有一个有盖纸盒（上有一个只能放进手的孔），里面装了若干10个乒乓球，第一次拿出一个黄色球展示给学生看，第二次、第三次、第四次都拿出的是黄色球，于是我说，第五次我拿出的也肯定是黄色球。问题 2：数列的通项公式为,经计算，于是，推测数列的通项公式为：(n-5n+5)1 问题3：数列为2,4,8,16，则它的通项公式为 =2 (n4，n) 问题4：三角形的内角和为180，四边形的内角和为2180，五边形的内 角和

7、为3180，于是有：凸n边形的内角和为(n-2) 180。师问：以上四个结论正确吗？为什么? （1错，2错，3对、4对）（学法：让学生分小组（前后四人）展开讨论，三分钟后再请部分小组代表说出讨论结果。对第3小题，学生说对的，初中学过。那我问初中证明过吗？它一定正确吗？为什么？这时候学生茫然了？难道这也会有问题吗？激起了学生强烈的求知欲望，有的学生就迫不及待的想知道是怎么证的。我说，且慢，等上完这堂课你们自己就会证明了。） 得出以上结论所用的方法有什么共同点和什么不同点？（学生思考并回答）共同点：它们用的都是归纳法，即“由特殊到一般”的推理方法不同点：问题1、2仅仅是对的允许值中的部分值进行了验

8、证，问题3则是对的所有取值进行了验证。这样，归纳法又分为完全归纳法和不完全归纳法。(板书两个定义)请问，你对上面财主儿子识字所进行的推理方法有何说法？是哪一种归纳法？他的结论正确吗？是什么导致了他结论不正确呢？（是因为他用的是不完全归纳法，他只考察了部分对象，部分不能代替全部。）问：完全归纳法得到的结论，是否一定是正确的？(正确)不完全归纳法得到的结论，是否一定是正确的？（不一定）你们能各举一个例子吗？生活中的，试一试。（大家议论开了）既然用不完全归纳法得出的一般性结论不一定是正确的，它只是一种猜想、推测或估计，所得结论有可能是正确的，也可能是错误的。如果你说结论是错误的，可举反例去说明；如果

9、你说结论是正确的，有理论作支持吗？你有什么理由说明或证明它的正确性？如上面的等差数列通项公式及三角形内角和公式，我们是由不完全归纳法得出的结论，它的正确与否我们还没有证明。你们说，我们有办法证明它吗？什么办法？（提出问题，激起求知欲望，同学们跃跃欲试的样子）有的同学说用完全归纳法。你说一定可行吗？如果说考察的对象的个数有限或较少还可以，若个数无限呢？你不可能一一去验证。怎么办？问题出现了，我们就要寻找解决问题的办法。今天我们能不能通过自己的努力，去探索，去发现解决问题的办法呢？我们先从一个实验开始。多米诺骨牌实验：请两个同学上来共同操作这个实验，大家注意他们怎么摆又如何使你只要推倒一块就能让他

10、们全部倒下。（看得出来学生兴奋，都争着上来做实验，其余同学仔细观察思考）大家看到了，他们用手指轻轻一碰，第一块骨牌就倒下了，第一块倒下碰到第二块，第二块也随之倒下，第二块碰着第三块，第三块也倒下，这样呢，一块接着一块，正如我们意料中的一样，所有的骨牌都倒下了。这个实验给我们什么启示？（如果，我不推倒第一块，会怎样？如果当中某一块倒下并没有碰倒它后面一块，情形又会怎样？）同学们想一想：多米诺骨牌实验成功需要满足的条件是什么?（提取本质性的要素） 初始条件:(1)第一张牌被推倒； 递推条件:(2)假设某一张牌倒下,则其后面的一张牌也必定倒下.（要注意牌之间的距离）第一张牌被推倒第二张牌被推倒第三张

11、牌被推倒利用(2)利用(2)利用(2)框链图如下： 研究性学习：引导学生用类比的方法将多米诺骨牌成功的原理进行迁移、升华,进而得到数学归纳法的定义.这个实验成功的条件让我们想起了什么？能不能与前面想要证的数学命题联系起来？命题中的正整数的值可以是有限个，也可以是无限个，那这里的牌我们也可以摆几张，也可以摆很多很多，见过电视中多米诺骨牌游戏比赛吗？现请大家用类比的思想，把实验成功的条件迁移到数学命题的证明上来。看谁能类比成功？）类比结果为：(1)当=1时,命题成立;(2)假设当时命题成立,则时命题也必定成立.当时=1时命题成立n=2时命题成立n=3时命题成立利用(2) 利用(2)利用(2) 框链

12、图如下： （用类比的手法将一张“牌”对应一个“命题”，某张“牌”倒下“对应某个”命题成立,符合知识的迁移规律,便于学生接受.）如果第（1）、（2）两步都完成后，我们就可以说，这个命题对任意正整数都成立。怎么样，我们是不是找到了解决问题的办法了？这种方法，我们给它取个名字叫数学归纳法。学生自学：现请同学们先自学教科书，结合看书，再思考以下问题：（1）数学归纳法能证明什么样类型的命题？（2）用数学归纳法证明时有几个步骤？当两步骤完成后就可以下结论说，命题对一切正整数都成立了，你能理解吗？（3）这些步骤缺一不可吗？为什么？你能举例说明吗？（4）你们能领会到数学归纳法的实质吗？（5）你认为用数学归纳法

13、证明三角形内角和公式时第一个取值是多少？（学生用8分钟的时间看书和思考上述问题）用数学归纳法证题的步骤： (板书略)强调这两步缺一不可，让学生来解释为什么。（第一步是归纳的基础，第二步是递推的依据）。你们能举出反例吗？书上有反例，可以证明此式对第二步是成立的，但显然时就不成立，那它就成了无本之木，无源之水了，这显然也是达不到证明目的的。（举反例也是一种能力，它需要适时的培养和锻炼）数学归纳法的基本原理：是用递推的思想（通过递推的基础和递推的依据这两步）代替无限次的验证过程，它把动态的无限次验证转化为静态的两步，实现了从无限到有限，从繁杂到简单的转化。这也是数学归纳法的实质所在。讨论：现在请同学

14、们写出每行的值，并由此能得出什么结论？能不能猜想一下？例：由下表1 13 1351357猜想：135（2n-1）n2，(n)此法是什么方法？（不完全归纳法），请证明你的猜想。（学生自己先做，然后请一个同学说老师板书全过程，起示范作用）证明：（1）当n=1时，左边1，右边1 等式成立 （2）假设当n=k（k ）时，等式成立，即 135（2k-1）k2 则当=时，左边=135（2k-1）+2（k+1） k2+(2k+1)=(k+1)2 当n=k+1时，等式也成立 根据（1）（2），可知等式对任意n都成立。 问 ：把=时式子的左边不用归纳假设，而是直接1+3+5+(2k-1)+2(k+1)-1= 1

15、+3+5+(2k-1)+(2k+1)= (k+1)2可以吗？为什么？（归纳假设一定要到，否则，失去了递推的依据，无效。）注意：证明过程的规范性！数学归纳法证题的基本步骤是-两步一结论巩固提高：（1）用数学归纳法证明当时，左边应为_.（2）证明三角形内角和定理时，n的第一个取值是 ，你们现在认为自己有能力完成三角形内角和公式的证明吗？试一试！小结：1、.本节课的知识建构过程： 归纳法 数学归纳法 应用数学归法解决问题2、数学归纳法的基本格式：略写3、用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题时应注意：(1) 两步缺一不可；(2) 在第一步中要找准；(3) 在第二步中要注意明确假设是什么？要证明的是什么？在证明时命题正确时，必须利用假设当时的结论.九、板书设计：数 学 归 纳 法一归纳法（特殊一般）1、完全归纳法2、不完全归纳法二、数学归纳法重点：两个步骤 一个结论 注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉十、作业设计：1、作业：课本习题略2、思考：数列满足（1）求 （2）归纳出； （3）请给出证明3、探索性问题：请比较与（）的大小，并证明你的结论。参考文献：1、普通高中数学课程标准 人民教育出版社 2、普通高中选课与学习指南（数学） 北京大学出版社