人教版高三年级《数学归纳法》的教学设计

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1、人教版高三年级数学归纳法的教学设计一.设计思想本节课是根据现代认知心理学理论，运用建构主义观点设计的教学方案，通过生活实例和数学实验，力求学生在实践的基础上主动构建数学归纳法，理解数学归纳法的原理。此教学设计巧设情境，导入新课；由浅入深，循序渐进；教法选择适宜，学法指导能贯穿于始终；在教学中既注重基础知识的获得，又注重了学生能力的培养，提高了学生的整体素质。二教材分析数学归纳法既是高中代数中的一个重点和难点内容，也是一种重要的数学方法。数学归纳法安排在数列之后极限之前，它是数列知识的深入与扩展，也是促进学生从有限思维发展到无限思维的一个重要环节。数学归纳法还贯穿了高中数学的几大知识点：不等式，

2、数列，三角函数，平面几何等。其中体现的数学思想方法对学生进一步学习数学、领悟数学思想至关重要。根据课程标准和学科教学指导，“数学归纳法”教学分三个课时，这节课是第一课时，讲的是高三数学第三册（选修）P62P64的内容。本节内容是培养学生严密的推理能力、训练学生的抽象思维能力、体验数学内在美的好素材。三学情分析在高一数列的学习中，学生已经学习了用归纳法推导等差数列、等比数列的通项公式，但其正确性还有待用数学归纳法加以证明。对学生来说，数学归纳法内容抽象，思想新颖，结构复杂，加上学生原有的认知结构对于同化“数学归纳法”无论是数学知识还是逻辑知识都不够充分。在利用数学归纳法原理作证明的过程中不仅会产

3、生各种技巧上的困难，而且即使学生具有应用数学归纳法的技巧，也常常不能真正理解它的意义，对数学归纳法的实质往往停留在“形式”上。若不突破以上难点，学生往往会怀疑数学归纳法的可靠性，或者只是形式上的模仿而不知其所以然。这会对以后进一步的学习造成极大的阻碍。通过这堂课的教学，要使学生初步掌握归纳与推理的能力，培养学生大胆猜想，小心求证的辩证思维素质。课堂上，通过师生双向交流，学生经历了“观察分析猜想论证”的思维环节，进一步掌握了自主探索问题、自主学习的方法。 四教学目标：知识与技能目标：1. 了解“归纳法” 的含义；2理解“数学归纳法”的原理；3掌握数学归纳法证明命题的两个步骤，会用“数学归纳法”证

4、明简单的恒等式。过程与能力目标：1通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力；2让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新能力。情感、态度与价值目标：1通过数学归纳法的学习初步形成严谨务实的科学态度和严谨的数学思维品质与数学理性精神；2认识有限与无限的辩证关系；3感悟数学的内在美，从而使学生更喜欢数学。五教学重点：理解数学归纳法的实质意义;掌握数学归纳法的证题步骤。教学难点：数学归纳法证题有效性的理解；递推步骤中归纳假设的应用。六教学策略和手段：根据本节课的内容和学生的实际水平，我采用引导发现法和感性体验法进行教学。引导发现

5、法属于启发式教学，体现了认知心理学的相关内容。在教学过程中，教师采用启发、引导、点拨的方式，创设各种问题情境，使学生带着问题去主动思考、动手操作、交流合作，进而达到对知识的“发现”和接受，完成知识的内化，使书本的知识成为自己的知识。这也正好体现了荷兰教育家弗赖登塔尔的建构主义教学观。在本教学设计中,通过生活实例和数学实验，促进学生对“递推原理”的理解，明了“两个步骤”的必要性，为“数学归纳法”的应用前提和场合提供形象化的参照物，为理解数学归纳法做了感性铺垫。七课前准备：1请学生复习等差数列、等比数列通项公式的推导，并准备好几个小长方体木块；2教师准备多媒体课件.八教 学 过 程：（一）创设情境

6、 提出问题情景设置1: 师：班长，同学们都到齐了吗？生：到齐了。（班长站起来，回顾了一下四周后回答）师：那你是怎么知道全班同学都到齐了呢？生：因为48个位置上都坐满了人呀。（显然对老师提这个问题感到奇怪）师：很好，其实这个判断用了归纳法。我们不妨把班长回顾四周的动作分解成48拍。（此时，教室里热闹了起来。）生：哦，我知道了。因为班长看到第一个座位上有人，第二个座位上也有人，这样一个座位一个座位地往下看，看到最后第48个座位上也有人。从而归纳出“人到齐了”这个结论。师：太棒了！这就是我们在生活中不知不觉经常用到的归纳法。象这种由一系列特殊事例得出一般结论的方法，我们把它叫做归纳法。（板书：归纳法

7、）我们刚才通过一一列举，一个一个验证，最后得出“人到齐了”这个结论。这里人的个数是有限的，倘若研究的个体是无限个呢？情景设置2:师：我们来听个笑话吧：从前，有个叫万百千的小孩，家长送他上学，开始识字。第一天先生教他个“一”字。第二天先生又教了个“二”字。到了第三天，他想先生一定是教“三”字了，并予先在纸上划了三横。果然这天就教了个“三”字。于是他得了一个结论：“四”一定是四横，“五”一定是五横，以此类推，万事大吉。从此，便不再去上学，家长发现问他为何不去上学，他毫不犹豫得意地回答：“我都会了”。家长要他写出自己的名字，“万百千”写名字结果可想而知。（学生笑倒一片，在笑声中我又问）师：万百千在学

8、习上犯了什么错误？生：一二三的写法只是特殊情况，并不是所有的字都是这样写的，他根据这几个特殊字的写法推断出所有的字都这样写就错了。师：仅考察部分特例而得出一般结论的推理方法叫不完全归纳法，它不可靠，所得结论不一定正确。 “万百千”正是犯了这个错误。情景设置3:师：请同学们思考讨论这两个问题。（教师在屏幕上显示以下问题）（1）一个数列的通项公式是an=(n2-5n+5)2 容易验证，a1=a2=a3=a4=1，所以说：对任何nN，an=（n2-5n+5）2=1。上述判断正确吗？（2）若数列an是首项为a1，公差为d的等差数列，那么 a1=a0+d,a2=a1+d,a3=a2+d=a1+2d,a4

9、=a3+d=a1+3d，由此可以得出它的通项吗？生1：（1）中的判断是错误，可以举反例，如a5=251。(2)等差数列的通项为：an=a1+(n-1)d。生2：我觉得由此得到等差数列的通项公式是不可靠的，是不完全归纳法，感觉就象“万百千”学字。只有经过严格的证明，不完全归纳得出的结论才是正确的。师：不错。只有经过严格的证明，不完全归纳得出的结论才是正确的。那怎样来解决这种无法穷尽验证的命题的呢？如何用“有限”的步骤，去证明“无限” 的命题呢？这就是我们今天将要学习的数学归纳法。（投影并板书本节课课题 数学归纳法）（二）新课讲授师：有一列整齐排放的自行车，如果边上一辆无意中被碰倒以后，会发生什么

10、情况？生：后面几辆也会倒下去。师：大家把准备好的小长方形木块拿出来，我们一起来做实验吧。（随之，多米勒骨牌按一定间隔整齐地摆放在讲台上，把它当作自行车模型，边示范边作下面讲解。）师：现在，我们把自行车放在我们的讲台上。（学生笑）这样排放好以后，要让他们全部倒下，应该怎么办？生：只要推倒第一个就行了。师：真的第一个倒了，其他就能倒吗？（我把第三个和第四个的间距拉得足够开），这样能全部倒下吗？生：不能。因为第三个和第四个的间距太大，相互碰不到，所以，只倒下了前面几个。师：好，这就说明一个问题，要让他们全部倒下，必须先控制好他们每个之间的距离。也就是要保证做到：一个倒下去，后面一个也要被推倒。这是它

11、们全部倒下去的依据、关键。但是，如果我把距离控制好了，（把骨牌恢复原样）使它能保证这一点，但什么也不干，能保证它们全部倒下吗？生：不能，当然还必须碰倒第一个。师：只要满足以下两个条件，所有的多米诺骨牌都能倒下：（1）第一块骨牌倒下；（2）任意相邻的两块骨牌，前一个倒下一定导致后一块倒下。（板书：P（1）倒下；P（K）倒P（K+1）倒）师：请同学们思考：证明等差数列的通项公式与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？（经引导后小结，多媒体显示）多米诺骨牌游戏原理通项公式的证明方法（1）第一块骨牌倒下。（1）当n=1时猜想成立（2）若第k块倒下时，则相邻的第k+1块也倒

12、下。（2）若当n=k时猜想成立，即，则当n=k+1时猜想也成立，即 。 根据（1）和（2），可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想都成立。（学生回答等差数列通项公式的证明过程,由教师将学生回答的内容板书，师生共同总结出应注意之处。）师： 所谓的数学归纳法证题时有两个步骤：（同时板书）（1）证明当n取第一个值时结论成立。即验证P（n）成立；（2）假设当n=k时结论正确，证明当n=k+1时结论正确，即由P（K）正确P（K+1）正确；由（1）和（2）就可断定命题对于从n开始的所有自然数n都成立。同学们，是不是证明时这两个步骤缺一不可呢？为什么完成了这两个步

13、骤就证明了对所有的自然数都成立？（同学们讨论后，请一位回答）生：这个原理跟刚才的实验是一个道理，只要符合这两点，再多的骨牌都能倒下。1）证明P（1）为真；2）证明命题“P（K）真P（k+1）真”正确；由1）、2）命题知，原命题对一切nN均成立。师：步骤（1）是验证，步骤（2）是以一次逻辑推理代替了无限次验证过程，是证体题的关键，它保证这样一个过程：P（n）正确（验证） P（n+1）正确P（n+2）正确（同时板书）上述无穷链条一环扣一环，形象地说明了数学归纳法证明P（n）的正确性的过程。说明：此处画龙点睛，多数学生至此都顿悟了数学归纳法的思想和方法，也在其个人的认知结构中，借助感性认识，建构了数

14、学归纳法解题的模型。（三）典例探究： 例1：用数学归纳法证明：1+3+5+7+ +（2n-1）=n2（在规范证明完本题之后，我再次加以强调，在第2步由n=k成立向n=k+1成立过渡的过程中，必须使用归纳假设，否则就不叫用数学归纳法证题，而且两个步骤缺一不可。为了加深对数学归纳法实质的理解，我投影两个不满足两个步骤的例子供学生辨析，进一步让学生加深对数学归纳法的透彻理解。）思考题：（1）以下证明命题的方法是数学归纳法吗？ 假设n=k时,等式1+3+5+7+(2n-1)= n2成立 即 1+3+5+7+ (2k-1)=k2 成立 那么， 1+3+5+7+ +(2k-1)+(2k+1) =(k+1)

15、1+（2k+1）2 =(k+1)2 当n=k+1时等式也成立所以等式对一切正整数都成立。(2)用数学归纳法证明等差数列前n项和公式，证法如下：（1）当n=1时，s=a,显然成立。（2）假设n=k时，公式成立，即s=ka+k(k-1)d/2当n=k+1时,s=a+a+a+a =a+(a+d)+(a+2d)+ +a+(k-1)d+(a+kd)=(k+1)a+(k+1)(k+1)-1d/2当n=k+1时公式成立。（四）反馈练习：用数学归纳法证明：（1）1+2+3+n=n(n+1)/2 (nN)； （2）首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式为：an=a1qn-1 (nN)（请学生板演，并集体批改指

16、正）（五）总结：1本节课的主要内容是什么？（数学归纳法证明命题的步骤、关键、核心，要注意的问题：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉）2从这节课的学习中你有何感想？你能否体会到数学归纳法的魅力？九.板书设计:2.1数学归纳法步骤：（略） P（n）正确（验证） P（n+1）正确P（n+2）正确 注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉例题板书：（略）练习板演：（略）投影屏幕 十.作业设计:（1）练习 P64 1，2，3 （2）预习课本P64-65案例研讨 这是一节“数学归纳法”的启示课，初学者对数学归纳的原理不易理解，对证明方法感到陌生、抽象。教案中首先通过生动的实例引入课

17、题，使学生学习积极性初步得到调动，增强了“参与感”与求知欲。进而应用“骨牌游戏”深入浅出地提示了数学归纳法的本质递推，并概括出数学归纳法证明问题的步骤。最后以学生练习，让他们从实际证题过程中，加深对数学归纳法的理解，并初步掌握应用数学归纳法证题过程中，加深对数学归纳法的理解，并初步掌握应用数学归纳法证题的操作程序。抓住了重点，突破了难点，较好地完成了预定的教学任务。这节课上自始至终重视学生的活动。学生的认识过程，要由每个学生自己完成。学生的学习热情饱满，思维活动积极，有利于学生对知识的理解和掌握，也有利于观察能力、分析能力和抽象能力的提高。案例评议这是一节公开课，学生参与积极，通过作业的反馈，学生的确理解了“数学归纳法”的实质含义，效果很好。参考文献菲施拜因理解数学归纳法原理的心理困难。数学研究导引南京：江苏教育出版社，19984074128