高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.3 空间向量的数量积运算学案 新人教A版选修21

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1、3.1.3空间向量的数量积运算学习目标：1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法(重点)3.能用向量的数量积解决立体几何问题(难点)自 主 预 习·探 新 知1空间向量的夹角(1)夹角的定义图3­1­15已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作a，b，则AOB叫做向量a，b的夹角，记作a，b(2)夹角的范围空间任意两个向量的夹角的取值范围是0，特别地，当0时，两向量同向共线；当时，两向量反向共线，所以若ab，则a，b0或；当a，b时，两向量垂直，记作ab.2空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，

2、则|a|b|cosa，b叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b|a|b|cosa，b(2)数量积的运算律：数乘向量与数量积的结合律(a)·b(a·b)a·(b)交换律a·bb·a分配律a·(bc)a·ba·c(3)空间两向量的数量积的性质：向量数量积的性质垂直若a，b是非零向量，则aba·b0共线同向：则a·b|a|·|b|反向：则a·b|a|·|b|模a· a|a|a|cosa，a|a|2|a|a·b|a|·|b

3、|夹角为a，b的夹角，则cos 思考：(1)若a·b0，则一定有ab吗？(2)若a·b>0，则a，b一定是锐角吗？提示(1)若a·b0，则不一定有ab，也可能a0或b0(2)当a，b0时，也有a·b>0，故当a·b>0时，a·b不一定是锐角基础自测1思考辨析(1)在ABC中，B()(2)在正方体ABCD­ABCD中，与的夹角为45°.()(3)0·a0.()(4)若a·b<0，则a，b为钝角()答案(1)×(2)(3)×(4)×2已知正方体A

4、BCD­ABCD的棱长为a，设a，b，c，则，等于()A30° B60°C90°D120°DBDC是等边三角形，120°.3已知|a|3，|b|2，a·b3，则a，b_. 【导学号：46342138】cosa，b.所以a，b.合 作 探 究·攻 重 难空间向量的数量积运算(1)已知a3p2q，bpq，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b()A1 B2C3D4(2)如图3­1­16所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求值：图3­1­16

5、(1)·；(2)·；(3)·；(4)·.解析(1)由题意知，p·q0，p2q21所以a·b(3p2q)·(pq)3p22q2p·q1.答案A(2)··|cos，cos 60°.(2)··|2.(3)EF···×cos 60°.(4)··()··|cos，|cos，cos 60°cos 60°0.规律方法在几何体中求空间向量的数量积的步骤(1)首先将各向量分解

6、成已知模和夹角的向量的组合形式.(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积.(3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模.(4)代入公式a·b|a|b|cosa，b求解.跟踪训练1(1)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·_. 【导学号：46342139】a2····a2cos 60°a2.(2)在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA1，OB2，OC3，G为ABC的重心，则·()_.()()()·()

7、83;()222×22×32×12.利用数量积证明空间的垂直关系已知空间四边形OABC中，AOBBOCAOC，且OAOBOC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OGBC解连接ON，设AOBBOCAOC，又设a，b，c，则|a|b|c|.又()(abc)，cb.·(abc)·(cb)(a·ca·bb·cb2c2b·c)(|a|2·cos |a|2·cos |a|2|a|2)0.，即OGBC规律方法用向量法证明垂直关系的步骤(1)把几何问题转化为向量问题(2)用已知向量表

8、示所证向量(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0.(4)将向量问题回归到几何问题跟踪训练2如图3­1­17，已知正方体ABCD­ABCD，CD与DC相交于点O，连接AO，求证：图3­1­17(1)AOCD；(2)AC平面BCD.证明(1)因为()，因为，所以·(2)·()(····2·2·)(|2|2)0，所以，故AOCD.(2)因为·()·()······，可知·0，&#

9、183;0，·0，·|2，·|2，·0，所以·|2|20，所以，所以ACBC同理可证，ACBD.又BC，BD平面BCD，BCBDB，所以AC平面BCD.利用数量积求夹角如图3­1­18，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45°，OAB60°，求异面直线OA与BC的夹角的余弦值. 【导学号：46342140】图3­1­18思路探究求异面直线OA与BC所成的角，首先来求与的夹角，但要注意异面直线所成角的范围是，而向量夹角的取值范围为0，注意角度的转化解，

10、3;··|·|·cos，|·|·cos，8×4×cos 135°8×6×cos 120°2416.cos，异面直线OA与BC的夹角的余弦值为.规律方法利用向量数量积求夹角问题的思路1求两个向量的夹角有两种方法：(1)结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围；(2)先求a·b，再利用公式cosa·b求cosa，b，最后确定a，b2我们也可以用这种方法求两条异面直线所成的角，步骤如下：根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直

11、线的方向向量)；异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题；利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小；异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量数量积求向量夹角的余弦值应将余弦值加上绝对值，进而求出异面直线所成的角的大小跟踪训练3.如图3­1­19，已知直三棱柱ABC­ABC中，ACBCAA，ACB90°，D，E分别为AB，BB的中点图3­1­19(1)求证：CEAD；(2)求异面直线CE与AC所成角的余弦值解(1)证明：设a，b，c，根据题意，|a|b|c|且a·bb·cc·a0.bc，cba.·c2b

12、20，即CEAD(2)ac，|a|，|a|，·(ac)·c2|a|2，cos，.异面直线CE与AC所成角的余弦值为.利用数量积求距离探究问题1异面直线AB，CD所成的角为60°，则，的值是多少？提示：，60°或120°2如图3­1­20，已知线段AB平面，BC，CDBC，DF平面，且DCF30°，D与A在的同侧，若ABBCCD2，试求A，D两点间的距离图3­1­20提示：，|2()2|2|2|22·BC2·CD2·122(2·2·cos 90&#

13、176;2·2·cos 120°2·2·cos 90°)8，|2，即A，D两点间的距离为2.如图3­1­21所示，在平行四边形ABCD中，ABAC1，ACD90°，沿着它的对角线AC将ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D间的距离图3­1­21思路探究解ACD90°，·CD0，同理可得·0.AB与CD成60°角，60°或，120°.又，|2|2|2|22·2·2·32×

14、;1×1×cos，当，60°时，|24，此时B，D间的距离为2；当，120°时，|22，此时B，D间的距离为.规律方法1.利用空间向量的数量积与空间向量模的关系，常把空间两点距离问题转化为空间向量模的大小问题加以计算2用数量积求两点间距离的步骤：(1)用向量表示此距离；(2)用其他向量表示此向量；(3)用公式a·a|a|2，求|a|；(4)|a|即为所求距离跟踪训练4.如图3­1­22所示，在空间四边形OABC中，OA，OB，OC两两成60°角，且OAOBOC2，E为OA的中点，F为BC的中点，试求E，F间的距离图

15、3­1­22解()()()，所以2222××·2××·2××·2.|，即E，F间的距离为.当 堂 达 标·固 双 基1已知e1，e2为单位向量，且e1e2，若a2e13e2，bke14e2，ab，则实数k的值为()A6B6C3D3B由题意可得a·b0，e1·e20，|e1|e2|1，(2e13e2)·(ke14e2)0，2k120，k6.2在正方体ABCD­A1B1C1D1中，有下列命题：()232；·()0；与的夹角为60&

16、#176;.其中真命题的个数为() 【导学号：46342141】A1 B2C3D0B对于，()222232，故正确；对于，·()·0，故正确对于，120°，故错3在空间四边形OABC中，OBOC，AOBAOC，则cos，的值为()A B CD0D··()··|cosAOC|cosAOB|O|0，cos，0.4在空间四边形ABCD中，···_.0原式···()·()·()··0.5如图3­1­23，三棱柱AB

17、C­A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM2A1M，C1N2B1N.设a，b，C图3­1­23(1)试用a，b，c表示向量；(2)若BAC90°，BAA1CAA160°，ABACAA11，求MN的长. 【导学号：46342142】解(1)(ca)a(ba)abC(2)(abc)2a2b2c22a·b2b·c2a·c11102×1×1×2×1×1×5，|abc|，|abc|，即MN.我国经济发展进入新常态，需要转变经济发展方式，改变粗放式增长模式，不断优化经济结构，实现经济健康可持续发展进区域协调发展，推进新型城镇化，推动城乡发展一体化因：我国经济发展还面临区域发展不平衡、城镇化水平不高、城乡发展不平衡不协调等现实挑战。