乘和除的情境模型-数学教师知识库

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1、乘和除的情境模型Multiplication and Division as Models of SituationBrian Greer市北師 數學資訊研究所G921404 李勇諭整理前言：回顧這一章的研究 ，目的是在顯露出簡明的數學背後所隱藏的心理學的複雜性。這一章分成四個部分來討論：1. 從乘除的應用範圍，還有有關於運算的外在表徵的多樣性中來說明2. 從各個觀點來看現今的理論架構，讓複雜性更能完善地說明3. 乘除塑造了許多可以區域別的情鏡種類，而且當乘除超過了正整數的領域之後，對乘除的概念再結構是必須的4. 未來電腦在數學的潛力，以及教學上的改善與未來研究的議題乘除在心理學上的複雜性整數

2、乘法和除法的應用最基本學習數字的方法是數數的活動，也引出了正整數（或是所謂的自然數），而在包含乘法與除法情境中最重要的種類包括了相等的集聚（ equal groups）、乘法的比喻、笛卡兒積與矩形面積。Ex.：3 個小孩每人都有4 塊蛋糕，那他們一共有幾個蛋糕？4312在這裡的 4 是被乘數， 3 是乘數，然後在去積出答案；然後在除法的意義原型中可以分成兩類：1. 等分除：將所有的物件全等地分給每一個對象，這比較符合社會上公平的內涵2. 包含除：將所有的物件，按某個固定的量去分，分到不能分為止相等的集聚在很多地方都能看得到： Ex.每一個小孩有 4 塊蛋糕，那 3 個小孩一共有幾塊？這種4Na

3、nswer的形式將變數關係連結在一起。倍數的比較的口頭敘述方式是： 什麼的幾倍，Ex. John 的蘋果是 Mary 的3 倍， Mary 有 4 顆蘋果，那 John 有幾顆？笛卡兒積則提供了一個相當不同的情境，Ex.有 4 個男生和 3 個女生在跳舞 ，那可能會有多少種不同的舞伴組合？這形式定義為 M N，每一個 M 中的元素都有 N 種選擇，相對 M 來說也是一樣。這也可以轉變成另一種問題：有 12 種舞伴的組合（ a）有 3 個女生，那有幾個男生或（ b）有 4 個男生，那有幾個女生這兩種問題。最後就是矩形的面積，如一個43 的矩形，那我們可以把它分割成12 個 11 的正方形，那我們

4、就能看出有12 個小正方形；我們也可以將MN 排列成 M 列N 行的陣列，而這樣的陣列也是種笛卡兒積的關係。有理數的沿伸在運算中，除法會引出兩種情況（ a）所得到的數字可能會超出自然數的範圍（ b）以數字當度量器具。在（ a）中，分數的形式出現，可表示成 b/a，a 和 b 都是整數，定義 abc，則 bca；以這個例子來看： 14 個披薩平分給個人，每人可得幾個？如果沒有分數那答案就會是 4 個，會餘 2 個，但這沒有全部分完 ，但 2 個不能分給 3 人啊，因此轉換一個觀點，將 2 個披薩切成幾部分，這樣就有可能寫出答案。這結果將會是每人得到 b/a 個。另一個 b/a 的運用在於部分全體

5、的關係， Ex.全班有 36 個人， 2/3 是女生，那女生有幾人？這樣的問題是有關於建構單位問題，Behr 和 Post 認為這樣的問題不可能放在國小的課程標準裡面。而在表徵上有很多的方式呈現，最方便的是圓，但這不是唯一的表徵圖形。而透過分割成小正方形的矩形則是提供了傳統在直觀上可接受的分數在乘法上的定義（ De Morgan）。更進一步的延伸是來自於測量時所增加的範圍和情境的複雜性 。然而如果在量度時，為了要求精確的程度，那細分下的部分就會無窮無盡，因此我們把他設定一個細分的因子 10，從十進位的系統來看整數或非整數都會變得較為容易；但是隱藏起來對於學生經驗的困難點在於文字題和計算的部份

6、；有關比例的問題情緒就有許多種，如速率問題、價格問題和混合物問題等等。應用的範圍：摘要乘法和除法的題目類型可以列出如【表 13-1】，而除法又必須分成兩類：被乘數的除法和乘數的除法。表 13.1分類相等的集聚相等的量比例量的換算倍數的比較部份全體倍數的改變笛卡兒積矩形面積量的積乘法問題3 個小孩，每人各有4 顆橘子，他們共有幾顆？3 個小孩，他們各有4.2 公升的果汁，他們共有多少果汁？一艘船的平均速度是每秒 4.2 公尺，那 3.3 秒可行駛多遠的距離？一英寸 2.54 公分， 3.1 英寸？公分鐵是銅的 0.88 倍重，如果一塊銅塊有 4.2 公斤重，那一塊同體積的鐵有多重？有 3/5 的

7、學生通過了大學考試，如果有 80 個人參加考試，有幾個人通過？一條橡皮圈可以伸展成原來的 3.3 倍，那一條 4.2 公尺長的橡皮圈最多可以伸展到多長？從A 到B有3條路線，從 B到C有4條路線，那從 A到C有幾種不同的走法？長 3.3 公尺，寬 4.2 公尺的矩形面積是多少？一個暖氣機每 4.2 個小時就花了 3.3 千瓦的電，那一小時會花幾千瓦呢？分類除法問題（乘數）相等的集聚12 顆橘子給 3 個小孩平分，每人可得幾顆？相等的量12.6 公升的果汁讓 3 個小孩平分，每人可得？公升比例一艘船 3.3 秒內行駛了 13.9 公尺，那它的平均速度是多少？量的換算3.1 英寸 7.84 公分，

8、那一英寸 ？公分倍數的比較鐵是銅的 0.88 倍重，如果一塊鐵塊有3.7 公斤重，那一塊同體積的銅有多重？部份全體有 3/5 的學生通過了大學考試，如果有48 個人通過考試，有幾個人參加考試？倍數的改變一條橡皮圈可以伸展成原來的 3.3 倍，當最多可以伸展到 13.9公尺長的橡皮圈它原來的長度是？分類除法問題（被乘數）相等的集聚12 顆橘子要給？個小孩平分，每人才能得到4 顆？相等的量12.6 公升的果汁要讓？個小孩平分，每人可得4.2 公升比例一艘船平均速度是每秒4.2 公尺，那行駛 13.9 公尺要花幾秒？量的換算那一英寸2.54 公分， 7.84 公分？英寸倍數的比較如果一塊鐵塊有 3.

9、7 公斤重，一塊同體積的銅有4.2 公斤重，那鐵對於銅的重量關係是如何？部份全體有 80 個學生參加大學考試，如果有48 個人通過考試，那麼通過考試的人佔全部的幾分之幾？倍數的改變最多可以伸展到 13.9 公尺長的橡皮圈，它原來的長度是4.2 公尺，那它最多可以伸展幾倍？而在這兩類除法中，在笛卡兒積、矩形和量的積這幾種類型的題目，是除數和被除數都是一樣的單位，對調時在解釋的意義上是一樣的。外部表徵表徵的方式相當的多樣性，這些表徵的普遍要點在於：1. 比推得的量更容易表現出物件的集合和計量的量2. 動態電腦教學會比靜態教學來得更加有力3. 表徵可以變形成另一種表徵方式來幫助了解與計算現行理論的觀

10、點數學結構的 Vergnauds 分析Vergnaud（1983，1988）他以他所謂的倍數結構的概念領域的大量情境來設定乘法和除法 ，他的定義包含了所有可以用簡單和複合比例的問題來分析的情境，這些問題通常是要乘或除的，幾種數學概念的種類和這些情境有關，在思考上則是需要去掌控的。 Vergnaud（1983）將乘法問題分成主要的三類：計量的同構、計量的積、乘法比例。計量的同構 包含了所有有關兩個測量空間 M1 和 M2 之間的直接比例問題，他的概要圖示為：乘法乘數的除法被乘數的除法M1M2小孩橘子秒公尺英寸公分1a141？12.54bc3？3.313.9？7.843 個小孩，每人各有4 顆橘子

11、，一艘船在經過了 3.3 秒後走了一英寸 2.54 公分，那 7.8 公分等請問他們共有幾顆橘子？13.9 公尺，那它的平均速度多於幾英寸？（a）（ b）少？（d）（ c）圖 13.2他將之前的表中所提到的前 7 種分類都納入在這一個分類中，其中一個項目是1，剩下的 3 個是未知數，這樣的表徵方法顯示了乘法或除法與比例推理的連結間的緊密性，這種表格式的表徵方式可以幫助兒童解決文字題。計量的積 是由兩個測量空間 M1 和 M2 映射到第三個空間 M3 ，他的概要圖示和例子如下：M1長度（公分）千瓦1a3.313.3111寬 111 1M2（公分）小時bc？13.94.2M3面積千瓦小時長 3.3

12、 公分，寬 4.2 公分的一個電熱器一小時使用了矩形面積多少？3.3 千瓦，那 13.9個千瓦小時可以用多久？這樣的類型不能像計量的同構那樣把兩種類型的除法區分地很清楚。Vergnaud引用了一個例子來說明倍數比例 ：一個家庭有 4 個人，他們全家去度假 13 天，每天平均一人要花 35 美元，那他們這個假期一共要花多少錢？4135235521820（美元）但這樣的問題不在這一章裡討論 ，這樣的問題情境和之前的表中所提到的情境度對照的是非常清楚地不同的。Vergnaud相當注重在孩子解決問題的方法的多樣化 ，一個重要的發現和普遍性是兩個測量空間 內部的關係是比兩個測量空間 之間的關係更容易操控

13、，如：圖 13.2 的（ b）的例子中，會用 3 個小孩是一個小孩所擁有的橘子數目的 3 倍的這樣的解題方式 會比橘子的數目是孩子的數目的 4 倍的解題方式 還要更有可能使用。這樣的行動理論觀點被引用敘述： 數學的關係是要考慮當學生在解題時使用的運算方式或運算的過程。 （Vergnaud，1988），他指出這個關鍵點在於解題過程中，對於他所謂的行動理論的結構性質還不清楚就使用了，他認為老師要將這些乘法結構說明清楚和一般化，讓學生都能直覺的掌握之後，才能達到他所謂的行動理論。Schwartz and Kaput：有強度量的角色Schwartz 他將焦點放在數和數所指示對象的連繫上，數字產生了：1

14、. 在這世界的量化觀點，不是用數的（抽象的量）就是用測量（連續量） ，這些都是外延量。2. 透過算數的運作已經定義了許多的量。這些運算可是複雜的，如：相關係數的計算3. 第三種量不同於前兩種，強度量最主要的特徵就是他用數字表示了兩個其他量的定值倍數關係，如：固定的速度、加速度、密度在物理中是相當重要的。下列就是基於外延量和強度量之間基本的區別所做的分類，我們將外延量用 E 來代表，強度量用 I 來代表：1. 結構 I E E，這樣的結構的問題是屬於 Vergnaud的計量的同構問題，如每個小孩有 4.2 公升的果汁，那 3 個人共有多少公升4.2 公升 /小孩 3 小孩12.6 公升這一類型，

15、根據 Schwartz（ 1988）所說：這是我們要求學生著手做的大部分主要的乘法和除法的問題2. 結構 E E E”，這樣的問題是屬於 Vergnaud的計量積的問題，有就是笛卡兒積的問題Kaput（1985）提出一個基本的原則：學校基本的數學不應該和數學的數字應用視為分開的兩者，而更應該要從數學中的量開始，才會讓應用成為數學的一部份。，因此我們所要注意的不只是問題中的數字，還要注意到數字所指示的對象。乘法和除法比加法和減法比較起來較為困難的原因是：因為加法和減法是單向的，而乘法和除法有因次的複雜性；一個強度量，如：哩 /每小時就可以視為一個將一個指示為哩的量和一個指示為小時的量的轉換。而

16、Schwartz and Kaput和 Vergnaud一樣也提出了文字題：一艘船的平均速度是每秒 4.2 公尺，那 3.3 秒可行駛多遠的距離？但他們認為可以用這三個相關的量之間的關係的圖形表徵來看：距離速度時間時間斜率速度面積距離Nesher 的語義分析Nesher分析了命題的結構，並將它分成三種情形：1. 她稱為映射法則，相當於 Vergnaud的計量同構以及 Schwartz和 Kaput 的 I E E2. 她稱為笛卡兒乘法運算，包括了 Vergnaud的計量的積以及 Schwartz 和 Kaput 的EEE”3. 而在倍數比較上， Vergnaud、Schwartz 和 Kapu

17、t 都沒有將它在去細分， Nesher舉出一個例子：Dan 有 5 顆彈珠， Ruth 的彈珠數量是 Dan 的 4 倍，那 Ruth 有幾顆彈珠？Nesher更進一步的認為，比較的物件不需要都一樣，我們可以用Ruth 的郵票數量和 Dan 的彈珠數量做比較，雖然這樣的比較不甚自然，這樣的分類可以被視為一種比例問題的類型。她要求一群 10 到 12 歲的以色列的孩子：（a） 寫下一個乘法的文字題內容是有關於34 的（b） 寫下你們如何向另一個小朋友解釋如何區分乘法和加法的文字題她發現文字題的類型大都是以倍數比較寫成的，映射的文字題卻很少，而在英文語系的國家中 ，這樣的乘法倍數文字題卻很少發現（

18、Bell et al，1984；Kaput，1985；Mangan， 1986），因此這裡可以導出一些含義：1. 他們指出就育在形成兒童乘法概念的重要性2. 他們提出文化間的差異的問題並不能被排除在研究之外3. 兒童的想法和語言是很有關係的普遍性問題，根據皮亞傑學派的觀點，只有語言是無法產生完整的了解，除非在這之前已經得知語言邏輯結構了。顯然地，讓學生面對情緒去形成概念的最普遍方法是透過文字題。這些能以論點構成一個不同的面來分析，從這個觀點來看，可以視為一種從文字題的自然語言表徵轉移到數學語言表徵的型式，大家普遍同意足夠表現在文字題上；在形成一個適當的數學公式的過程中，一個中間型表徵的口頭敘述

19、是必須的，De Corte 和Vesrschaffel（1985）指出：這是一個問題情境整體的、心智的表徵的結構。同樣的， Kintsch（1986）區別文字瀏覽和一個情境模型之間的關係，而Reusser（ 1987）發展出一套電腦模擬來詳細說明這個想法，但以上這四位都只是分析了加法和減法的問題，不過他們都認為似乎也能夠運用的乘法和除法的問題上，只不過會更加複雜、情境和因次複雜性的範圍更廣。Nesher指出從調查結果來看是非常清楚的 ，學生通常都會跳過這樣中間性的表徵，然後直接看基於句法和表面的線索的數學敘述； Sowder（ 1988）學生發展出這樣的策略的原因包括了： 看到數字只有告訴你要

20、使用運算，然後試過所有的運算方法後再來選擇一個合理的答案 ，而看關鍵字或句子將會告訴你要使用哪一種運算方法。她認為文字題只能讓學生得到表面上學會了的高程度； Reusser推論：不論是誰觀察學生在課室和在家庭作業中都能一再地發現很少有課本的問題會讓學生去做文字題的語意分析。 Nesher指出：孩子第一次把題目看完後都會指出一些有數值資料的句子上 ，但很清楚的是這些數值並不會提供任何有關應該使用哪一種運算方法的資訊，所有決定性的資訊都是藏在文字之中。Fishbein的基本模型理論Fishbein、 Deri、Nello 和 Mariano（1985）提出一個理論去討論孩子在文字題上的表現，他們特

21、地測試學生在選擇運算方法的能力，在這個測試中，他們只要學生說出正確的運算方法，而不需要實做任何計算，這理論的敘述如下：每一個基本的計算一般都要保持和一個明確的、不知不覺的、基本直觀的模型有所關聯，用數值資料中的兩項來解題是需要運算的定義是，但不是直接，而是要以此模型來仲介而進行，這模型增加了本身在探究過程的限制。對乘法來說，他們認為乘法的基本模型是重覆的加法，在相等集聚中，如：3 個小孩各有 4 顆橘子的例子來說，它的總數可以視為 4 顆橘子 4 顆橘子 4 顆橘子 12 顆橘子，或是 3 個小孩，各有 4.2 公升的果汁，則共有 4.2 公升 4.2 公升 4.2 公升 12.6 公升，但這

22、個模型的前題是乘數要是整數，對於被乘數則沒有限制，一般而言，被乘數和乘數可能是整數或小數或分數，可以下列的例子做一個比較：一艘火箭以每秒16 英哩的速度前進，在0.85 秒內它可以前進多遠的距離？一艘火箭以每秒0.85 英哩的速度前進，在16 秒內它可以前進多遠的距離？以單純的計算觀點來看，它們都是包含了16 和 0.85 的乘法，但前者對兒童來說是比較困難想像是要以乘法作答的，有很多學生就把答案寫成160.85。起因於在幾個實驗中 ，使用了一些情境中有各種類型且一致地顯現乘數的影響的問題（ De Corte，Verschaffel 和 Van Coillie，1988），也就是說包括了三種不

23、同的乘數：（ 1）乘數為整數（ 2）乘數是比 1 大的小數（ 3）乘數是比 1 小的小數，然後將選擇正確的百分比算出來 ，發現在整數和大於 1 的小數之間正確百分比的差是 10 15%，而整數和小於 1 的小數之間正確百分比的差是 4050%，也就是說當乘數小於 1 時，因為答案會比被乘數小，這和重覆的加法有所矛盾，因此困難度就增加了。相比之下，從這些實驗的發現顯示出當這幾種型式的數出現在被乘數時，並沒有相當可觀的差異，由乘法運算為模型的文字題的表徵結果顯示出和先前 Fischbein 所提出的理論一致。對於除法， Fischbein 提出兩種基本模型，稱為等分除（平分成相同的子集）和包含除（

24、每一次都給特定的量給每個子集） ，如果一個問題在運算中立即可感知到這是等分除，那麼它的除數必為整數且小於被除數；如果一個問題在運算中立即可感知到這是包含除，那麼它的除數必小於被除數。等分除和包含除在之前提到相等的集聚的情境下就被定義了，定義被推論到所有情況被分成兩類，等分除就是乘數的除法，包含除就是被乘數的除法，基本上下列的例子都包括了等分除：3 公升的果汁要6 塊美元，那每一公升要多少錢？2 公升的果汁要 6 塊美元，那每一公升要多少錢？3前者比後者更加簡單地以適當的運算辨識除法；同樣地，下列的問題都是有關包含除的：每一英寸為 2.54 公分，那 7.84 公分有幾英寸？每一英寸為 2.54

25、 公分，那 1.84 公分有幾英寸？再一次說明，前者不像後者那麼符合 Fischbein 對包含除的定義限制且更容易以必要的除法做分析。Fischbein 等人認為分除是除法最原始、可以靠直覺得知的除法初步模型，而包含除則需要透過之後的教學活動才能得到這樣的模型 。在教學時要求學生寫出一個情境是 123 的文字題，我們可以發現學生使用等分除的情境會比包含除的情境佔了一個壓倒性的量（ Af Ekenstam & Greger，1983；Bell et al，1984；Kaput ，1985；Mangan，1986）；Graeber 和 Tirosh（ 1988）也提出在給國小教師一些有關等分除和

26、包含除的題目時，也會發現同樣的情形。一般來說，要呈現除法的圖像會比呈現乘法的圖像較為複雜；Fischbein 對等分除和包含除的限制的解釋中並沒有把實驗的發現考慮進去（ Bell ， Greer，Grimison， & Mangan， 1989），之後的討論就是以數值和計算的考量來為他的解釋做論證。Fischbein 認為初步模型可以反映出人類最原始、最自然與基本的思考行為特徵以及在學校中被教導的初始概念和運算 ，但是 Graeber和 Tirosh（1988）指出這卻很難來解說在長期運算被限制在整數域的乘法和除法所產生的概念的影響，最普遍的點就是孩子的早期在乘法和除法的經驗中，以及不論在校或

27、不在校，那都只能建立在有限且簡單包含抽象物的情境，而且在數學上也限於整數域，當他需要被擴展到整數域之外，並且要處理新的情境的時候，那問題就會因為這些早期根深蒂固的概念而出現，這樣的現象都是在乘法和除法概念情境中，不論是對歷程或是對個人來說，都是一個數學概念成長的典範。數值和計算的影響Bell 和 Greer 和一些相關的研究者特別注意到文字題中的數字所顯示出來的型式、數字的性質所帶來的影響 ，以及對學生在計算 ，甚至當不需要計算的時候，產生的妨礙的影響（ Bell ， 1984， 1989；Greer， 1987， 1988； Mangan，1986）。最明顯的數值和計算的表示型式是在於常見的

28、迷失概念，尤其是乘會越乘越大，除會越除越小，除法一定是大的除以小的。這樣的迷失概念純粹顯示在數值上面（ Greer，1989），在文字題中也會有，而且在一些國小老師中也普遍存在。一個常有的明顯情況，學生會依照運算域中的數值大小來決定要用乘法或除法，如果運算域小於 1，那他就會用除法來代替乘法，反之亦然。當給學生一個只需要單一步驟解題的問題 ，然後要他們說出要用什麼運算方法才能找出答案，而數字就成了影響問題難易度中最顯著的要素。對乘法而言，如同之前所説的，影響是在於將乘數從整數改變成小於 1 的小數時，就會減少答對的比例約 40 50，在除法中改變數字將會造成更大的影響，會減少到6070。Bel

29、l 主張為了要考慮更複雜的除法，讓學生感到計算的困難是必要的，就算是這個問題不需要計算就能得到答案。另一個方面就是以面談的方式來找出阻礙學生概念思考的問題 ，這裡引用了一個對就業前的國小老師的訪談記錄，給這個老師一個問題： 15 個朋友平分一個 5 磅的蛋糕，每人得多少？這老師的答案是： 155I：訪談者S：受試者I：為什麼你會這樣寫【155】？S：我很自然的就這樣寫啊，你知道通常人們都會將問題中較大的數放在前面I：有人告訴過你要把大的數放在前面嗎？S：我想這大概只是在你給的所有問題和所有例子中的某件事吧，我猜。I：但是如果有人告訴你呢？S：我想我會自己理解Nesher（1987）評論在課本中

30、的乘法和除法很少提供一些迷失概念，如：乘就越乘越大，除就越除越小，一定是大的數除以小的數等等，的反例；答案會因為這些迷失概念而出現，而不是因為分析了情境敘述而決定。一些研究者以連續表現出只在數字的項目本質上不同的問題來測驗孩子，報告了孩子改變他們的運算 ，由除轉乘或由乘轉除的觀察 ，Af Ekenstam 和 Greger（1983）就以下列兩個問題來測試12 到 13 歲的小孩：一塊起士重 5 公斤，每公斤要28 克朗，那這塊 5 公斤的起士要多少錢？你會選哪一個運算式子呢？28 55 285 2828282828一塊起士重 0.923 公斤，每公斤要27.50 克朗，那這塊 0.923 公

31、斤的起士要多少錢？你會選哪一個運算式子呢？27.50 0.92327.50 0.9230.923 27.527.50 0.923訪談者一個接著一個地展示出這些答案，學生通常會選擇乘法來解第一個問題，而用除法來解第二個問題，甚至用這樣兩個相似的問題，他們很明顯地還是會基於因為第二個問題的答案會小於 27.50，可是乘應該要越乘越大，除才會越除越小的這些綜合的認知而選擇解題方法。這種只有數字改變的運算選擇的情況可以稱之為運算不恆定，這將會由Greer（1987，1988）以當乘法和除法超越了整數領域時，學生在了解上的薄弱，更進一步的研究分析。多樣觀點前述的樣本顯示，乘法和除法可以從多的角度來進行分

32、析，但這些範圍都還不夠完整，特別是在細節探索乘法發展起源的大量主體上 （Anghileri ，1989；Kouba，1989；Nantais & Herscovis，1989；Steff，1988）。以這樣的一個例子來看：每小時走4 英哩，那 3 小時共走多少英哩？Schwartz 的觀點來看， 4 英哩每小時是個強度量， 3 小時是外延量，這是屬於 I E E的例子；以 Vergnaund的表徵來看，這是兩個同構的計量空間，小時和英哩是相當不同的，可以透過數量算子來求解：3小時31小時34英哩12英哩在解題過程的概念中，屬於外延量的是乘數，以乘數和被乘數這樣的定義是被 Fischbein 和

33、 Bell 與 Greer 所同意的，這樣的假定也被分析在表 13.1 中，而支持這樣的假定是藉由乘數的影響實驗的發現與統計。本章的中心論點是以整數為基礎的乘法和除法的發展 ，透過以上的各種分析與方法來進行乘法和除法的認知與衍生。朝向更廣泛的架構在這一節，由（正）整數、分數和小數為模型的情境的乘法和除法之分析提出一個架構，這架構的兩個中心論點為：1. 以情境的範圍做為模型，以及橫跨模型的本質範圍的變化2. 乘法運算概念的長期發展：特別是在根本概念結夠上需要去延伸超過整數的領域（ Greer）這些論點完整的概括 、反映出數學的基本特徵它的角色在於形成情境和解題和它本質上的發展；從一個有限的領域中

34、，靠著概念的產生和本質上的定義以一個更複雜的問題的回應與形式分析的應用結果開始擴展。一個乘法和除法的不同情境類型數學的特徵就是在定義它的結構統一性且它能顯現出相當不一樣的情境 ，這種特徵是數學擁有強大力量的來源， Freudenthal（1983）提到：數學的力量在於它的普遍性，我們可以用同種類的數字數數、測量量的大小等等；乘法運算可以看成反覆的加法和配對的結構，除法也同樣地有它自己的多樣性的觀點；但不論是它的觀點如何豐富，它仍然是一樣的運算，要由它的規則系統來描述。一個進行計算的人可能會忘了數字的來源和文字題中的規則系統問題，但在同一時間，為了發現多樣性中的簡易性，他也能夠從規則系統的簡易中

35、回到情境的多樣化。從結構的觀點來看，在這章中所提到的相等集聚和比例可以視為一樣的結構，就像笛卡兒積和計量的積一樣；然而，從心理學和教育的觀點來看，這並不是很清楚地說明要著重在一般的結構上到什麼程度才會對兒童思考的特徵化或作為一個教育方針上的指引有用。Davis 和 Hersh 宣稱：這裡沒有所有情境的廣泛系統化是適合加法的 ，而必定有相似的敘述適用於乘和除，在表 13.2 就只能列出這些分類的最小的集合（但這些就已經包含了學生 15 歲以前在學校所遭遇到的大部份重要的情境） ，這些都還要再擴展與細分的。更複雜的結合會增加，就像 Verguad的倍數比例（可以概括分力的量，這一般都用在物理學上）

36、 ，而且很多乘法運算的應用包含了兩個量以上的積，就像指數，可以跟一些增值的情況結合（ Confrey）；也有可能會有不明確的細部存在，因此這些情境的種類可以再被更進一步的區別，有些非常細緻，但在心理學上是很有意義的，例如以相等的集聚來說，群體本身的變化（ Kaput，1985）可以從物質的包含（每個袋子中的糖果）到比喻的包括（每個家庭的小孩）。必須要記住，一個結構上的分析提供的只是研究的架構，而不是被設定去提供學生思考的敘述，如之前討論的，情境的結構不需要和任何一個之前的分類相一致，相當多的獨創性是容許被展開在設計能推測學生解題策略和他們的基本表徵的方法。乘和除的模型角色數學最重要的焦點在一個

37、模型化的活動（ Schwartz，1988）。數學概念的根本在於情境和問題（ Verguad， 1988）。乘法和除法在現實情況中所扮演的角色是在組成另一些分類的基礎 ，要將情境和運算做出更廣的分類。 Davis 和 Hersh 就將一些數的例子分型式當作附加的問題來加以討論：1. 計算的結果應該是精確的或是接近的：假設一個員工每小時要付他 15.2 元，那 4 個小時就要正確地付給他 60.80 元；然而，一塊木材（精確值到小數點後第二位） 15.20 公尺，那如果將四塊這樣的木材頭尾相接去測量，那結果可能會是 60.78、 60.79、60.80、60.81 或 60.82 公尺，到小數點

38、後第二位，但既然一塊木材它的真實長度的範圍位於 15.195 和 15.205 公尺這個區間，那所測量出的結果應該要依照這個測量方法的特徵，將答案導向 60.80 公尺；如 Hilton （1984）所說：在計數運算的情況下 2 24；但以這類的測量處理時， 224 的機率只有 3 。42. 一個軍隊巴士可以載 36 個士兵，如果 1128 個士兵要坐巴士到訓練站，那需要幾輛巴士？這個問題是從國家教育成長評估（ 1983）中的一個有名的問題，有 29的 3 歲以下的小孩回答 31 餘 12，有 18的答案是 31，這樣的結果強調了 Hilton 的判斷：從情境做為除法類型的分隔是一個過去計算中

39、很可怕的特徵。學生都會被除法的多樣表徵給吸引， Streefland（1988）下面的這個例子：6394 12，請個別創造出一個題目的敘述，讓結果能夠符合下列的答案：532532.84 餘 4533532.8333333532 餘 10大約 5303. 一罐金槍魚罐頭要 1.05 元，那兩罐要多少錢呢？（ Davis & Hersh，1981），你的雜貨店如果是像 Davis 和 Hersh 所使用的方法，那你就會提供兩罐只要 2 元，這樣的設定在慣例上是合理的，但並不是不可侵犯的，而且可能從各種理由中抽出來。4. 一個人 4 分鐘可以跑 1 英哩，那 3 英哩要花他幾分鐘的時間？ 12 分鐘

40、是期望出現的答案，但在許多課本的問題中這樣的說明都是不切實際的（ 4 分鐘這種精確值是騙人的） ，12 分鐘這種答案是可以理解的，但 4 分鐘只是一個約略值， 12 分鐘只是約略值中最大的。更進一步的分析應該要去細分把疲勞的影響考慮進去的模型。5. 30 公分等於幾英寸？這答案還要看你要求的精確的程度。6. 交換匯率是每磅對換 1.82 美元，如果你有 100 磅，那你可以換到多少美元？（在現實生活中，答案還要看你的交易情形） ，不像測量的換算，匯率一直在改變，每一間銀行也都不同，這樣的問題在運算過後會有更複雜的結果。7. 如果骰子被丟 600 次，那麼 6 點將會出現幾次？機率的情境在運算結

41、果關係中是一個相當特殊的種類， 100 是它的期望值。這中心的觀點是要將一般顯現在文字遊戲中社會觀點的不適當的內容消除掉（ De Corte & Verschaffel，1985），學生經驗了相當多的現實與計算之間的例子，計算結果的適當表徵應該要有更明確的假定（如比例問題） ，也應該要被澄清，這個方面將會受到學校舊式的文字題的廣大批評。乘法運算概念的擴大發展表 13.2 的情境範圍在語意和數值型式的項目上，和以教育經驗居中調解的兒童概念發展不同的階段有關。 Vergnuad（ 1988）強調延伸的時間超過了已經建立的乘法運算兒童理解概念領域。這個論點的闡述將會延伸到本章的領域之外，如：負數、複

42、數等等，去和進階的數學主題與物理的概念做連結。甚至是將所有數字限制了領域，但乘法和除法在情境模型的範圍（Anghileri ，1989；Kouba，1989；Vest，1971）和基本概念的理解上 （Nantais Herscovics，1981）仍有概念上的複雜性。然而本章節的主要目的是要將乘法概念的延伸躍過整數，能推到分數與小數；這個延伸是數學本質上的發展的典範，靠著運算、關係、方程式，同樣的是基於教育和行為上的形式意義。兒童重新建構他們的乘法和除法的概念在整數的領域之外，也顯示了一些實驗性的發現：1. 一般的迷失概念可以歸咎於在整數域中的普遍化的經驗，尤其是乘法會越乘越大，除法會越除越小

43、，除法一定是大的數除小的數，這樣的迷失概念可以從純數值或文字題的實行以及明確的主題敘述中推論出來，它們也常常出現在就業前與現職的國小老師之中。2. 從只有整數的乘法運算問題到包括小數的乘法運算問題之中會增添許多困難，小數被視為較難的數字，這一種情況已經被發行了，也就是 乘數的影響，在這種分類中，乘數和被乘數的情況是不一樣的，乘法一開始被視為適當的運算，它主要的因素是乘數是個整數，這與早先提到的 Fuischbein （ 1985）所提出的理論相一致。3. 對於除法問題，這個圖像會更加複雜，有一些概括了等分除和包含除的區分的指示擁有一些解釋的力量，但這似乎是很清楚地當學生試著去理解一個有關除法的

44、問題時，許多因子，包括數值和計算，的相互作用造成了一個複雜的方法（ Bell，1989）。4. 當給兒童一個計算，然後要求他們寫出有關這個計算適當的文字題，他們所展現出去創造一個適當的文字題的 能力是有限的，除非是用最簡單的例子來呈現。（Af Ekenstam Greger，1983；Bell ， 1984； Mangan，1986）5. 另一個困難是在從計數所得到的量轉移到測量或是應用已存在的數，透過運算後所得到的量，兒童特別在強度量有所困難。 （Bell Onslow， 1987；Kaput， 1985； Schwartz，1988）6. 從一些觀察和實驗可以發現，兒童通常不會使運算持恆：

45、他們不會利用在文字題中的數字運算的不變性；有一些特定的差異有關於特定的情境，就像體積， Vergnaud（1983）在某些細節已經研究了。情境有些不同在使用上，他們可以利用這些知道在每一天的生活裡或在學校裡。提出的分類其他分類整數整數乘數分數小數VergnuadSchwartzNesher Kaput相等集聚相等計量有理數比例比例計量空間之IEE映射規則測量變換間的同構倍數比較部分全體的倍數比較部分全體的倍數比較倍數比較倍數變換矩形陣列矩形面積矩形面積計量的積EEE” 笛卡兒積矩形面積笛那兒積計量的積這也能去闡明歷史上的相關之處；任何啟發學家和教育學家都要記住，我要是要試著幫助孩子建構概念，在

46、文化的角度上是需要花很多時間讓概念逐漸形成，孩子所遭遇的阻礙也有歷史上的回應，例如：Pacioli，一個 15 世紀義大利的數學家說：在分數的乘法運算中是有很大的窘態存在著，當它的積少於它的被乘數。從聖經（ ”the fruitful and multiply ”）中引述的，證明了 相乘就是增加， Cajori 延續著說：在歷史的發展中，乘法和除法應該被視為整數之間的基本關係，而且是非常自然的，同樣的歷程在教導年輕學子時也要採用；首先是用簡單的但有限制的乘法和除法意義來應用到所有的數字，到預定的時間，一個成功的教師要讓讓學生發現乘除有修改的必要，然後再擴增這些項目的意義。透過引述中的最後幾行就

47、可以得到一些指引，那是很普遍的，例如在介紹分數乘法時所用的面積情境（ De Morgan，1910）；Semadeni（1984）提議形式上的考量（尤其是性質的不變性） ，指引數學家在概念的擴展裡應該要和他所謂的具體化表現原則互相平行，借以一個適當的情境來刺激與證明這個擴展；Greer（ 1988）提出一個用轉線盤吊著水桶取井水的例子，在這個情境中有從整數乘數擴展（當轉線盤轉了一個完整的數字，那水桶就上升多高）到非整數乘數。另一個重要的發展涵義的論點是從以一個獨立的三個量之間的關係的觀點轉換到以明確的函數的關係為背景，一個基本的文字題：一個人 4 小時走了 12 英哩，那他的速度是多少？在所提

48、到特定的量的背後是一個明確且普遍的在消耗時間和距離行走的關係。在 Vergnuad的分析中，把這題目看作是兩計量空間之間的同構情境；以Thompson 的分項來說，這問題將歸類在比例的問題，12 英哩： 4 小時成一個比例；以 Kaput（1985）的分項來說，我們要從一個線性函數的定義域中處理這個小樣本的資料。根本再建構的複雜性在之前的分析就站在一個明顯的比較來顯現出額外的規則的簡易性要被擴展到乘和除的計算上， Schwartz（1988）推論：一般數學教育學家和數學教育研究團體所抱持的觀點是孩子早期的數字知識和數字策略或多或少都導致一些對乘法結構與比例關係的了解的方法 ；先前分析指出，孩子

49、在構成後來概念的觀察經驗上有所困難，都是因為他們普遍在之前的觀念的不完善。期盼電腦的潛力電腦的能力是要去開拓新的表現的視窗 （ Kaput，1986），能夠用在加強學生乘法運算概念的了解以及期望可以證明未來與日俱增的重要性 ，這也是在使用表徵，能讓量的型式以及它們的指示物更明確，還有這些量之間的關係更加清楚。依循著這些線索做更深入的發展的表徵系統是由 Shalin 和 Bee（1985）所設計的，一個簡單的例子在圖 13.6，也能擴展到各階段的問題； Thompson（1989）進一步發展這個方法到 文字題的助手 是基於基本量的推理的混合理論以及自然地從算術擴展到代數問題。表 13.6書48每

50、袋書袋子6？Marshall 發展了另一套有關解文字題的不同的方法（包含了加減乘除） ，是基於五種普通的語意問題 （Marshall，1988；Marshall、Barthuli 、Brewer Rose，1989），教導學生去選擇適合的情境來對應圖示，這也是在電腦中顯示出畫面的系統。Kaput（1990）設計了一套軟體來表徵強度量，他重點放在多樣化的表徵連結，例如說：每 2 隻動物有 3 把傘，那就在一個盒子裡放進 2 隻動物和 3 把傘的圖示，然後在分別列成表，一列是動物的數目，一列是傘的數目，一個表格就可以顯示出動物和傘之間的關係。 Greer（1988）則提議使用電腦來做變化量卻有相同

51、比例的動態情境，如之前所說的水桶取水的問題。教育學上的建議基於這些研究和分析，許多建議都是為了要改善乘法運算概念的教學方式，這裡就來做一個簡短的摘要。第一步就是以多樣的方式來改善學生的經驗基礎， Nesher（1987）覺得目的是在於要讓課本中乘除的迷失概念出現的機率降低，這是相當清楚的要點，而研究發現也是有直接地幫助，一個相關的建議是較難的數字的使用習慣，不切實際的簡單數字的使用都會造成可察覺到的影響 ，學生都會判斷他們是否以正確的路徑為基礎來進行，答案是否會乾淨俐落地出現（ Reuser，1988）。簡單的數字佔於這種支配的地位可以推論到 De Morgan 所說的信念：頭腦的力量無法很快

52、地只向兩樣東西，如果要學生所有的注意力都放在複雜的數字的使用上的話，那他就不會發現他所依據的規則中的原理。 以這種策略的問題是在它假設這些原則都是能毫無疑問地概括，但卻有大量的證據證實了假設無法被審察判斷，因此在計算器發達的時代，合理的較難的數字應該要被習慣地使用。在研究和分析中更基礎地共識是學生需要透過運算操作 ，能比之前學到廣泛的情境模型，而這些運算操作和延伸都會因為問題而被提出。有很多方法讓貧弱的文字題型更加豐富 ，問題的多樣化為了不讓學生一開始就設定兩個數是要加或減或乘或除 ，更多包含多於一個解題步驟的問題的使用可以刪除一些表面的解題策略（ Sowder， 1988），題目通常都包括不

53、充足的表面資訊；更多的注意力要放在實際的模型， 而不是在簡單的、半實際的情境 （Nesher，1988）；兩個量之間應該要做質的分析（ Behr、Harel、Post Lesh）；總之目標就是要學生去思考且建構概念的模型。許多發展乘法運算概念的困難處必須被確認（特別是超出整數領域） ，並要給予建議，幫助學生克服。這些困難點包括：（ a） 由於整數域的規則不明而產生的迷失概念（ b） 語言學觀點自然語言通常都會反映與加強直覺的概念（ c） 無法將概念從演算規則中抽離教育學的策略就是要處理這些困難點，包含認知衝突的使用（Bell、 Sean、Onslow、 Pratt Purdy，1985；Har

54、t， 1988）。Fischnein（1987， 1989）提倡一個廣大的後設認知方法來讓學生熟悉限制和直覺的陷阱 、思考狀態的謬誤的原因和本質，以基本模型居中調解和專家所利用的可行資源，如： 警覺的建議、批判。未來研究的項目在這一章可以看到相當多得實驗研究和理論分析 ，然而這領域的複雜性並不是短期內就能處理的 ，在 1980 年代這領域的活動層次特徵在 1990年代會更增加 。應該要優先考慮的是充分的驗證實驗診斷出來的錯誤 ，然後以教學經驗設計測試是否須要治療且能有效的管理班級。最相關的研究是老師的概念問題研究，而且這樣的研究要持續下去 ；一個最重要且最新的貢獻是課本在處理乘法和除法的系統化分析。認知科學家在近十年已經將加法和減法文字問題擴展了 ，也希望他們能將重心轉移到更複雜的乘法和除法的問題。乘法運算結構的概念分析無疑地將繼續下去，迄今有一個綜合這些單獨的研究，如：乘法和除法文字題、比例推論、有理數概念等等的必要，還有長期目標在加法和乘法的結構概念分析。