硕士学位论文非局域空间损耗光孤子的传输特性及其相互作用

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1、赣南师范学院硕士学位论文 单位代码：10418 硕 士 学 位 论 文论文题目：非局域空间损耗光孤子的传输特性及其相互作用 作者姓名 指导教师 学科(专业) 光 学 所在学院 物理与电子信息学院 提交日期 二0一一年四月二十日 II独创性声明本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得赣南师范学院或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。学位论文作者签名： 签字日期： 年 月 日学位论文版权使

2、用授权书本学位论文作者完全了解赣南师范学院有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权赣南师范学院可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。（保密的学位论文在解密后适用本授权书）学位论文作者签名： 导师签名：签字日期： 年 月 日 签字日期： 年 月 日摘 要现今，关于非局域非线性介质中光孤子的研究已经引起了人们的极大兴趣，在理论研究和实验研究所得结果都表明：非局域空间光孤子比局域孤子有着更为丰富的研究内容和广泛的潜在应用价值。空间光束在非局域非线性介质中的传

3、输满足非局域非线性薛定谔方程(Nonlocal Nonlinear Schrdinger Equation 简写为NNLSE，下同)。本文针对弱非局域介质中1+2维sech型损耗空间光孤子以及对强非局域介质中损耗空间光孤子和1+1维高斯型损耗空间双光孤子相互作用分别进行研究并通过数值模拟的方法，得到了含小损耗情形下光束各参量的演化规律。在研究含有小损耗且具有e指数响应的弱非局域非线性介质中1+2维sech型光束传输时，得到了光束各参量的演化方程及演化规律和一个临界功率；并且在介质损耗足够小的前提下，得到了一个除了产生相移外，束宽大小可近似保持不变的1+2维sech型损耗空间光孤子。在研究含小损

4、耗椭圆对称强非局域非线性介质中傍轴椭圆高斯光束传输时，得到了光束各参量的演化方程和束宽的演化规律，当初始功率等于临界功率，并且介质损耗足够小时，傍轴椭圆高斯光束在传输中，其束宽持续缓慢展宽，得到了椭圆高斯型损耗空间光孤子。对1+1维高斯型单束损耗空间光孤子作了细致的分析后，得到其参量演化方程和光束束宽的演化规律，当光束从光腰处入射，且初始功率等于临界功率，并且损耗也足够小时，1+1维高斯型单光束束宽将呈现非常缓慢的展宽过程，当1+1维高斯型单光束传输距离不远时，可以近似的得到其束宽缓慢展宽的准空间光孤子损耗光孤子；当光束初始功率小于临界功率时，束宽将按准余弦函数作周期性展宽变化；当光束初始输入

5、功率大于临界功率时，束宽将按准余弦函数先作周期压缩性变化再过度到作周期性展宽变化。对强非局域非线性介质中1+1维高斯光束在含小损耗时的相互作用进行了研究，得到了含小损耗强非局域非线性介质中1+1维高斯型双光束传输的模型，在此基础上运用解析的方法研究了双光束传输的演化规律，得到了准双孤子解；经过进一步分析发现在传输过程中两光束的中心轨迹呈艾里函数形式相互吸引；当损耗逐渐增大，传输的距离逐渐加长时，两光束的光强将逐渐减弱，相互吸引能力变小，两光束中心的轨迹越来越远离传输轴，两光束中心之间的距离越来越大。关键词: 非线性光学；非局域介质；小损耗；损耗空间光孤子；孤子相互作用AbstractNowad

6、ays, more and more people are attracted to research the optical soliton in the nonlocal nonlinear medium. The results from experiment and theory studies show that: compared with local soliton, nonlocal spatial soliton has more research contents and wider potential application value. The propagation

7、of the spatial beams in nonlocal nonlinear medium satisfied the nonlocal nonlinear Schrdinger equation (NNLSE). This dissertation would focus on the propagation properties of 1+2D Sech-type lossy spatial solitons in weak non-local medium and the transmission characteristics of the lossy spatial soli

8、tons in strong nonlocal medium, numerically analyze the mutual reaction between the two beams both of which are 1+1D Gaussian-type spatial solitons.The evolution equations and rules of each beam parameter and critical power are obtained, when analyzing the 1+2D Sech-type beams propagation in the wea

9、k nonlocal nonlinear medium with small loss and e index response. Furthermore, if the mediums loss is small enough, 1+2D Sech-type lossy spatial solitons which has a phase shift and remains almost the same beam width.The evolution equations of each beam parameter and the evolution rules of the beam

10、width are gained, when researching the paraxial elliptical Gaussian type beams propagation in elliptical symmetry strong nonlocal nonlinear medium with small loss. The results show that: the beam width gets wide continuously and slowly, when initial power equals critical power and the paraxial ellip

11、tical Gaussian beam propagates in medium with small enough loss, that is, the elliptical Gaussian type lossy spatial soliton is obtained in a way. Based on the detailed analysis of the 1+1D Gaussian type single beam loss spatial soliton, the evolution equations of each parameter and the evolution ru

12、les of the light beam width are obtained. When the light beam incidents at the light beam waist in the medium with small enough loss, and the initial power equals the critical power, the 1+1D Gaussian type single light beams beam width shows a very slow getting-wide process. When the 1+1D Gaussian t

13、ype single light beam propagates in a short distance, the quasi-spatial-optical-solition which is a lossy optical soliton whose beam width gets wide slowly is obtained approximately. When the initial power is smaller than critical power, the broadening change of the beam width will satisfy the quasi

14、-periodic cosine function. When the initial power is bigger than critical power, beam width will be quasi-periodic cosine function first and then over-compression to make periodic changes of broadening change. The 1+1D Gaussian type double beam propagation model is set up, when studying the mutual i

15、nteraction of the 1+1D Gaussian type double beam in the nonlocal nonlinear medium with small loss. Using analytical method to study the evolution rules of two-beam transmission, quasi-soliton solution is obtained. Further analysis manifests that the center track of the two beams attracts each other

16、in the form of AiryAi function during the transmission process. When the loss increases gradually, the transmission distance becomes gradually longer, and the two tracks are farther and farther away from the center beam transmission shaft, and the distance between the centers of two beams gets growe

17、r and grower as well.朗读显示对应的拉丁字符的拼音字典 - 查看字典详细内容Key words: nonlinear optics; nonlocal media; small loss; loss of optical spatial soliton; spatial soliton interaction目录第1章 绪论11.1孤子的研究和发展历程11.2 空间光孤子的分类及光孤子的维数11.3 空间光孤子相互作用21.4 非局域的概念和划分31.5 非局域介质中光束传输理论研究进展51.6 非局域介质中含小损耗情况下光束传输理论研究进展81.7 研究空间光孤子的意义9

18、1.8 本论文所作工作及取得的成果9第2章 弱非局域介质中1+2维sech型损耗空间光孤子112.1 变分近似描述和光束参量演化方程112.2 1+2维sech型损耗空间光孤子132.3本章小结14第3章 强非局域介质中损耗空间光孤子163.1 1+1维高斯型单束损耗空间光孤子163.1.1参量演化方程163.1.2 强非局域介质中1+1维单高斯光束在含小损耗时光束束宽演化规律183.2椭圆高斯型损耗空间光孤子193.2.1 非局域非线性薛定谔方程的简化193.2.2含小损耗强非局域介质中椭圆高斯光束的参量演化方程203.2.3含小损耗强非局域介质中椭圆高斯光束的束宽演化规律213.3 本章小

19、结23第4章 损耗空间光孤子相互作用244.1 参量演化方程244.2光束中心的演化规律264.3 本章小结28第5章 总结和展望29参考文献30攻读硕士学位期间公开发表论文35致谢36插图目录1-1 空间光孤子的相互作用示意图:（a）（b）（c）同相相干相互作用；（d）（e）（f）反相相干相互作用；（g）（h）(i)非相干相互作用.1-2 非局域程度分类的图示:（a）局域类；（b）弱非局域类；（c）一般性非局域类；（d）强非局域类.1-3 强非局域性为介质的响应函数, 和为光束的光强.1-4 强非局域介质中高斯光束的传输波束的宽度演变.1-5 强非局域介质中两束束宽、功率、波形完全相同高斯光

20、束的传输波束的宽度演变.1-6 弱非局域条件下,不同非局域参量的亮空间孤子强度分布.3-1 图（a）（b）（c）表示束宽随传输距离的演化,其中:（a）,（b），（c）.4-1光束中心随传输距离的演化, ,光束到传输轴的间距为1,(a)=0.005,(b)=0.01,(c)=0.05,(d)=0.1. 4-2 光束中心随传输距离的演化,光束到传输轴的间距为1.40第1章 绪 论1.1孤子的研究和发展历程孤子（soliton）是最早能在自然界中观察得到，并且又能在实验室中产生的非线性现象之一。对它的发展研究走过了一个很长的过程。1834年英国苏格兰科学家，造船工程师Russell在运河边偶然发现了

21、“孤立波”，从此揭开了对孤子研究的序幕1。1895年 Korteweg和de Vries对其进行了进一步的研究。在假定小振幅和长波近似的情况下，设立了浅水波单向运动方程KdV方程（），并先后发现了声孤子，电孤子等现象2。1965年Russell所发现的孤立波被美国科学家Zabusky和Kruskal进一步命名为孤立子或孤子(soliton),并通过数值模拟，证明了两个孤立波在相互碰撞后，仍然能保持各自的形状和速度不变地稳定传输3。1997年，Snyder和Mitchell对强非局域介质中的光束传输进行了理论研究，提出了强非局域非线性模型(Snyder-Mitchell模型)4。在强非局域下将非

22、局域非线性薛定谔方程（NNLSE）简化为线性谐振子方程,把复杂的非线性问题转化为较简单的线性问题；并且得到了强非局域孤子解（Accessible Solitons）。同时他们也研究了强非局域双孤子光束的相互作用，得到了与局域情况下双孤子光束相互作用完全不同的结论。为此，国际著名非线性光学专家沈元壤博士认为Snyder-Mitchell模型是“无价的”， Snyder和Mitchell的这一理论研究必将引起新一轮有关孤子的研究热潮5。2004年，郭旗等通过对强非局域非线性介质的响应函数作两次泰勒级数展开，每次都取到两阶，使非局域非线性薛定谔方程（NNLSE）的非线性项保留到两项不为零项，对Sny

23、der-Mitchell模型进行了修正，提出了一种新的强非局域模型，并利用此强非局域模型对傍轴高斯光束在强非局域非线性介质中的传输特性进行了研究，得到了“大相移”的结果6。时至今日，孤子在等离子物理学、高能电磁学、流体力学和非线性光学中已得到广泛的应用。由于科技的发展和通信技术的进步，孤子的传播稳定性已越来越受到人们的重视，引起了人们极大的兴趣，形成了一股对于孤子的研究热潮。1.2 空间光孤子的分类及光孤子的维数光孤子根据脉冲展宽的不同，可以分为时间光孤子（Time Optical Soliton）和空间光孤子（Spatial Optical Soliton）两类，本论文的研究对象是空间光孤子

24、。空间光孤子种类繁多7，对它可做如下分类：1. 根据材料对光场效应的不同非线性机理，空间光孤子可以分为克尔孤子（Kerr soliton）、类克尔孤子（Kerr-like Soliton）、二次孤子（Quadratic Soliton）8和光折变孤子（Photorefractive Soliton）9。2. 根据不同的表现方式，空间光孤子可以分为相干孤子（Coherent Soliton）、非相干孤子（Noncoherent Soliton）、时空孤子（Spa-tio-temporpl Soliton）、离散孤子（Discrete Soliton）、多分量孤子（Many Two-compone

25、nt Soliton）、非局域孤子(Nonlocal Soliton)和面孤子(Surface soliton)。按形成光孤子的光束在横向可扩展的维数，可以把其分为1+l维孤子、1+2维孤子等。前面的数字代表传播维数，后面的数字代表孤子光束在横向可扩展(如衍射展宽、色散展宽)的维数。例如在平板波导中的1+1维空间孤子和在光纤中的1+1维时间光孤子，表示光束在一个纵向传播，并且在一个横向的方向扩展(平行于波导平面方向的衍射展宽和色散展宽); 1+2维空间孤子表示孤子光束沿一个纵向方向传播(例如：方向)，并且孤子光束可以在横向的两个方向衍射(例如：方向和方向)。扩展开来说，沿一个方向传播并且能够在

26、个维度上扩展的光束所形成的孤子，被研究人员称为l+维孤子。1.3 空间光孤子相互作用空间光孤子的相互作用可以分为非相干相互作用和相干相互作用两类，而相干相互作用又可以分为同相相干相互作用和反相相干相互作用两类，如图1-1所示7。所谓相干相互作用，就是指具有瞬时响应的非线性介质（如克尔非线性介质和二次方非线性介质）对光束的重叠部分的干涉效应做出响应时孤子的相互作用。图1-1表明，发生同相相干相互作用时两光束相干加强，它们产生的波导间的中间部分光强加强，最终使中间部分的折射率增加；发生反相相干相互作用时由于两光束位相差为，干涉相消，中心区域的折射率减小，两孤子相互排斥。发生非相干相互作用时，介质不

27、能对干涉效应做出响应，而只能对时间平均光强做出响应，与相位差无关，叠加后光强增加。图1-1 空间光孤子的相互作用示意图：（a）（b）（c）同相相干相互作用；（d）（e）（f）反相相干相互作用；（g）（h）(i)非相干相互作用1.4 非局域的概念和划分1997年以前讨论的空间孤子都是局域孤子，直到1997年Snyder与Mitchell提出强非局域模型，把复杂的非线性模型转化为比较容易处理的线性模型，同时得到了孤子解，从此掀开了非局域空间光孤子研究的序幕4。非局域空间光孤子是光束在非局域非线性中传输时空间衍射效应和非线性压缩效应完全抵消而形成的。所谓局域非线性介质和非局域介质非线性介质是依据介质

28、对作用在其上的光场的非线性响应不同来划分的。局域非线性介质(local nonlinear response)对作用在它上面的光场的非线性响应是局域性的。换句话说局域非线性介质某处的折射率随着该处光场的强度的变化而发生改变；局域非线性介质由光场引起的折射率的改变是局域性的。具体讲介质中某一点（例如：点）的光强（）决定该点折射率的改变(n)，此处表示光强，而则是 ( = 12)维横向空间坐标。此种局域介质（比如克尔介质）的折射率改变可表示为:，为介质常数(表示聚焦介质，表示散焦介质)。非局域非线性介质对作用在它们上面的光场的非线性响应是非局域性的，可叫做非局域非线性响应(nonlocal non

29、linear response)。换句话说，介质中某点折射率的改变不仅仅是由作用点的光强来决定的，其它点的光强也能够对其产生影响。即：包括这一点在内的一个区域的光强共同决定这一点的折射率的改变，而介质中非线性响应作用范围的大小又决定于这个区域的大小。又因为有很多因素对产生非局域非线性响应的物理机制存在影响（比如液晶材料中分子在光场作用下的重新取向、材料分子的扩散、原子蒸气中原子的扩散10等）。所以研究人员一般只有建造一种唯象的模型(phenomenological model)来处理这种非局域介质折射率的改变情形，对其它具体的物理原因的影响都不考虑进去。比如：我们可以假定非局域介质折射率的改变

30、11 ，其中起决于材料性质，为介质常数(表示聚焦介质，表示散焦介质)。在本论文中，我们假定都是空间对称的、并满足归一化（，其中：是对所有横向维数的积分）的实函数。对于空间光孤子，根据材料响应函数的特征长度和光束束宽的相对尺度，可将非局域程度分为如下四类12：1) 局域(local)，此时相应函数是的函数，用方程形式来表示就是，这是一种极端的情况（如图1-2（a）所示）。2) 弱非局域(weakly nonlocal)，在材料响应函数的特征长度比光束束宽的相对尺度小得多的情况下，即，就会产生弱非局域（如图1-2（b）所示）。3) 强非局域(strongly nonlocal)，在材料响应函数的特

31、征长度远大于光束束宽的相对尺度的情况下，即，就会产生强非局域（如图1-2（d）所示）。4)一般非局域(generally nonlocal)，其非局域程度介于强非局域和弱非局域之间，其介质相应函数的特征宽度与光束束宽可比拟（如图1-2（c）所示）。 图1-2 非局域程度分类的图示：（a）局域类；（b）弱非局域类；（c）一般性非局域类；（d）强非局域类一般文献中所指的强非局域都是就单光束而言的，就是指单光束的束宽比介质响应函数的特征宽度还要小，如图1-2所示12；但在本论文第4章中讨论双光束在强非局域非线性介质中的传输问题时，是指介质响应函数的特征宽度大于两光束所占的空间尺度范围(包括光束间的距

32、离加上光束的宽度)， 如图1-3所示。图1-3 强非局域性为介质的响应函数, 和为光束的光强.1.5 非局域介质中光束传输理论研究进展1997年，Snyder和Mitchell发表在Science上的文章4对光束在强非局域介质中的传输做了全新的理论研究。把折射率表示为，其中：是光束的功率，是实函数（其性质是由介质性质决定，并且存在）。有上面的折射率模型，Snyder和Mitchell建立了光束传输满足的线性方程4. (1-1)其中是距离轴的横向距离，方程(1-1)在形式上和线性谐振子所满足的薛定谔方程等价，求解方程（1-1）比求解非线性方程简单的多。Snyder和Mitchell求解出了该方程

33、1+1维时的高斯型解析解4。其中光束的束宽为： . (1-2)其中,（满足：）是临界功率，是光束的初始束宽。对于非局域克尔介质有，所以光束束宽可以写为： . (1-3)方程（1-2）和方程（1-3）同时说明光束束宽的演变规律与输入功率和临界功率的相对大小密切相关。当时，光束束宽不变，得到孤子解（accessible solitons）；当时，光束束宽将作周期性扩展变化；当时，光束束宽将作周期性压缩变化4。如图1-4所示6。这后两种情况下，光束束宽的展宽或者压缩的最大值和展宽或者压缩的周期都由和的比值来决定。图1-4 强非局域介质中高斯光束的传输波束的宽度演变 同时Snyder和Mitchell

34、也研究了双光束的相互作用 4。对于平行入射（两光束具有一定的间距）且完全相同的两孤子光束(既：两光束的束宽、功率、波形都一样)，在强非局域条件下，两孤子初始相位差不论是多少，两光束都是相互“吸引”的，并做周期性的碰撞。表现与相位无关的非相干相互作用(incoherent interaction)13，如图1-5所示6。图1-5 强非局域介质中两束束宽、功率、波形完全相同高斯光束的传输波束的宽度演变2004年，郭旗等人对强非局域介质中的空间孤子作了进一步的研究，得到了“大相移”的结果。光束在非局域非线性克尔介质中的传输时，满足非局域非线性薛定谔方程（NNLSE）6：. (1-4)上式:为傍轴光束

35、， ，是对应的波数，是非线性介质折射率的线性部分，是非线性介质折射率的非线性系数。对于聚焦介质，对于散焦介质，为纵轴坐标，和是维横向坐标向量（,），是维横向拉普拉斯算符（范围为），为非局域介质响应函数，其满足归一化条件。对NNLSE中的进行二次泰勒展开可得到光束在非局域克尔介质中传输的新方程6：. (1-5)其中:，是输入功率，。则上式关于轴对称的高斯解6可以写成：. (1-6)其中：，光束的束宽可以表示为： ; (1-7)曲率 ： ; (1-8)相位：. (1-9)其中：， ， 。 从Snyder等建立的线性方程(1-1)是不能获得强非局域孤子所能获得的大相移的结论，如果去掉方程(1-5)的

36、后面两项，得到的方程与方程(1-1)在形式上是一样的，由于去掉的后两项对光束束宽的演化没有作用，所以由方程(1-1)得到的光束束宽方程(1-2)和新方程(1-5)得到的光束束宽方程(1-7)是一样的。但是正因为方程(1-1)中去掉了后面两项，关键是去掉了第四项所以它得不到大相移的结论。另一方面，方程(1-5)是相当于将响应函数直接从NNLSE中的积分项中拿出来，并且进行了泰勒展开而得到的，那么这就需要响应函数的宽度远大于光束的束宽，所以Snyder等建立的线性方程需要在极强的非局域情况下才能成立。可以看出方程(1-5)比方程(1-1)更能被广泛的使用。除了高斯形式的解外，郭旗小组还解得了厄米高

37、斯形式的解14和拉盖尔高斯形式的解15。 随着研究的逐步深入强非局域非线性介质中光孤子的传输特性16-38 也得到了细致的探讨。对于孤子相互作用方面：研究了(1+2)维强非局域空间光孤子的相互作用39，获得了不共面且对称斜入射(1+2)维强非局域空间光孤子对相互作用问题的精确解析解。研究了非局域克尔介质中空间光孤子的相互作用40，通过相位分析得到了空间孤子相互作用所满足的非局域非线性薛定谔方程的简化近似模型，并获得了双光束传输的解析解。对强非局域介质中多个空间孤子的相互作用41-43。短程相互作用44 ，向列相液晶中45的相互作用，光子开关和光子逻辑门46,47的探讨等等。空间光孤子在弱非局域

38、介质中的研究也比较丰富。Bang等发现12在一般的弱非局域类克尔介质中存在 1+1维的亮孤子和暗孤子，并且得到了亮孤子及暗孤子的精确解析解和它们的稳定范围。Peccianti等人48对非局域克尔介质如液晶中光束的调制不稳定性进行了研究。Bang小组49还对任意非局域程度、任意非局域形式下的非线性介质中光束的特性进行了讨论，通过证明得到材料的非局域性可以预防孤子的不稳定性，并且对孤子的稳定性也进行了研究。对于弱非局域空间光孤子，光束束宽随着非局域程度的增加而增加，其空间坐标与非局域强度分布呈双曲正割型曲线，弱非局域条件下的NNLSE的稳定性也已经被Bang等人进行了严格证明49，如图1-4所示。

39、r=0.25r=0r=0.5图1-6 弱非局域条件下，不同非局域参量的亮空间孤子强度分布1.6 非局域介质中含小损耗情况下光束传输理论研究进展由于光孤子通信在传输中具有传输距离长、比特率高等优点，要实现其优点，就必须探讨制约这些优点的因素,其中损耗就是其中之一，而且是难以避免的。运用变分法，通过对强非局域非线性介质的响应函数作两次泰勒级数展开，每次都取到一阶，探讨了1+1维高斯光束在存在小损耗时的传输特性，近似得到了一个损耗孤子50。对1+1维高斯型光束在存在小损耗时的传输特性，1+1维Sech光束在存在小损耗强非局域非线性介质中的传输特性，1+2维傍轴高斯光束存在小损耗强非局域非线性介质中的

40、传输特性也进行了研究51-53，得到了光束束宽的近似演化规律、各个参量的近似演化方程和一个临界功率。在弱非局域介质中同样运用变分法对高斯型损耗空间光孤子，1+2维高斯型损耗空间光孤子，1+1维Sech型光束在含有小损耗的情况下对其传输特性进行了研究54-57。但是对于双光束在含有小损耗强非局域非线性介质中的传输特性和相互作用则有待进一步研究。1.7 研究空间光孤子的意义 空间光孤子，一方面在实际中存在着广泛的应用前景，另一方面对于物理学中的某些基础方面理论的探讨、理论的验证和进一步深化某些概念等等同样都有着重要的指导意义。随着非线性材料的逐步发展，使人类对入射功率和光束的相干性的要求也越来越低

41、，达到微瓦量级的入射功率，以至于白光58都可以形成空间光孤子。空间光孤子还存在横向高维性，研究人员可以利用孤子之间的相互作用，实现用光光(比如在出射面的输出位置等)既全光操纵的目的59-62，或者利用不同的波导结构63,64和介质折射率的分布情况65，或者利用孤子不同的功率、不同的输出形状和位置 66等固有的特性，来实现光束在任意位置的输出。理想的光-光控制（例如全光器件、光计算67、光显示68等）也是研究人员实现全光应用方面的基础理论。 还有，在研究玻色爱因斯坦凝聚态(Bose-Einstein Condensation, BEC)的时候，一些特定的物理现象，例如Landau-Zener隧穿

42、效应、BEC中的孤子现象等等，只有在条件很苛刻时才能发生，所以在实验中是很难被观测到。不过，由于非线性光学中的非线性薛定谔方程在数学形式上与BEC物质波所满足的GP (Gross-Pitaevskii)方程是相同的69,70。所以，研究人员可以借助光学实验对极端条件下的BEC中的现象来进行显现，这样两个不同领域间的问题可以做到相互启发，也就是说可以从一个领域中存在的已知现象来预知另一不同领域中可能存在的未知的现象。 随着与孤子有关的科学和技术的发展，以及研究人员对其近一步的探讨，空间光孤子在理论上的价值和实际应用中的价值将会被进一步挖掘出来。1.8 本论文的主要工作近年来关于空间光孤子的研究非

43、常热门，但研究人员主要讨论的还是无损耗条件下的弱非局域非线性介质和强非局域非线性介质中的空间光孤子，而对于含损耗情况下的弱非局域非线性介质和强非局域非线性介质中空间光孤子的研究就较少。近年来，随着光孤子实际应用的加强，尤其是全光通信等方面，人们对于实际中含损耗条件下的非局域非线性介质有了更多的关注，迫切希望知道实际中的非局域非线性介质的光孤子的传输特性。本文将运用变分法讨论含损耗情况下的弱非局域非线性介质中的空间光孤子，并运用解析的方法讨论含损耗情况下的强非局域非线性介质中的空间光孤子。本文所做的工作和所取得的成果主要有以下两方面：第一，运用变分法研究了1+2维sech型光束在含有小损耗且具有

44、e指数响应的弱非局域非线性介质中的传输特性，得到了光束各参量的演化方程、演化规律和一个临界功率。在介质损耗足够小的前提下，当光束初始功率等于临界功率时，得到了一个除了产生相移外，束宽大小可近似保持不变的1+2维sech型损耗空间光孤子。第二，运用解析的方法研究了：1、傍轴椭圆高斯光束在含小损耗椭圆对称强非局域非线性介质中的传输特性，得到了光束各参量的演化方程及束宽的演化规律和2个临界功率。当其响应函数满足某一条件时，这2个临界功率相等；当介质损耗足够小，初始功率等于这一临界功率时，傍轴椭圆高斯光束在传输中，光束的束宽将持续缓慢展宽，可以得到椭圆高斯型损耗空间光孤子。还对1+1维高斯型单束损耗空

45、间光孤子作了细致的研究，得到其参量演化方程和光束束宽的演化规律。2、强非局域非线性介质中1+1维高斯双光束在含小损耗时相互作用的演化规律，通过相位分析得到了含小损耗时空间双孤子相互作用所满足的非局域非线性薛定谔方程的简化近似模型，获得了双光束传输的解析解，并根据所得方程得到了含小损耗时1+1维高斯型双光束中心的演变规律。两相互作用的光束在每次碰撞之后，每条光束的波形仍然保持自身的演化规律传输。在传输过程中两光束的中心轨迹呈艾里函数形式相互远离，当损耗逐渐增大，传输的距离逐渐加长时，两光束的光强将逐渐减弱，相互吸引能力变小，两光束中心的轨迹越来越远离传输轴，两条光束中心之间的距离同时也越来越大，

46、两光束中心相互作用的周期也越来越小。第2章 弱非局域介质中1+2维Sech型损耗空间光孤子为了更好地把握sech光束和弱非局域介质的特性，本章运用变分法进一步探讨含小损耗且具有e指数响应的弱非局域介质中1+2维sech型光束的传输特性。2.1 变分近似描述和光束参量演化方程对于在1+2维并存在的传输小损耗的情形下，光束遵循的非局域非线性薛定谔方程为6,71,72 ： . （2-1）其中，为傍轴光束，为传输损耗系数，是非线性介质折射率的线性部分，是非线性介质折射率的非线性系数。对于聚焦介质,对于散焦介质，是对应的波数，为纵轴坐标，为横轴坐标.为非局域介质响应函数。对于具有e指数响应非局域介质，（

47、为弱非局域介质响应函数的特征宽度），其满足归一化条件.对于存在小的传输损耗的情形下，傍轴光束可表示为6,72： . （2-2） 将 (2-2) 式代入方程(2-1)可得：. （2-3）在柱坐标系中，方程（2-3）可以化为72： （2-4）式中和是光束横向平面内的极坐标变量。设一束1+2维的sech型光束在含有小损耗弱非局域介质中传输时其还能保持sech型函数形式，则方程(2-4)存在的近似试探解可假设为（与坐标变量无关）：. （2-5）其中，是光束的复振幅的大小，是束宽，是相位，是波前曲率系数， 为初始功率，将（2-5）式代入方程(2-4)可得： （2-6）引入拉格朗日（Lagrange）密度

48、函数72：; （2-7）; (2-8). (2-9)式中是的复共扼函数，为线性项，为非线性项。由变分原理可得：. （2-10）其中：; （2-11）; （2-12）; （2-13）. （2-14）为了求得方程（2-4）的近似解，核心问题是要求出.将(2-5)式代入(2-8)式后得：. （2-15）将（2-15）代入（2-13）可得：. （2-16）其中，（为自然数）.对于弱非局域介质，（其中为响应宽度，为光束的束宽），对在处作泰勒级数展开，取到二阶小量，并考虑是实数轴对称响应函数，由（2-9）式可得： . （2-17）对（2-17）式中的和在处再作泰勒级数展开，取到二阶小量，对近似取其在处的值

49、，再代入（2-14）式并整理可得：. （2-18）其中，由（2-12）（2-16）（2-18）式并考虑到对称性可得：. （2-19）由变分原理（其中是光束参量），可得： ; （2-20）; （2-21）; （2-22）. （2-23）方程（2-20）方程（2-23）即为光束的复振的大小、相位、波前曲率系数、束宽的演化方程。2.2 1+2维sech型损耗空间光孤子 因为很小，所以，则方程（2-21）和方程（2-23），可以写为：; （2-24） . （2-25）为了研究方便，引入归一化束宽，并且令， ，则方程(2-25)化为： . (2-26)设光束初始时从光腰处入射，光束传输时衍射效应与非线性

50、压缩效应精确抵消，即：，由此（2-26）式可以化为：. （2-27）求解（2-27）式可得：. （2-28）其中，.再把式（2-28）代入（2-20）（2-22）式并考虑到，可得： ; （2-29） （2-30） . （2-31） (2-28)(2-31)式即为1+2维sech型光束在含小损耗的弱非局域介质中传输时的束宽、复振幅的大小、相位和曲率系数的近似解析表达式。当输入的初始功率等于临界功率（）时，由 (2-28)(2-31) 式可得： ; （2-32）; （2-33）;（2-34） . （2-35）由此可知，此时1+2维sech型光束在含小损耗的弱非局域介质中传输时具有平面波波前，除了产

51、生一个相移外，束宽大小保持不变，能够形成一个sech型损耗空间光孤子。2.3本章小结本章从非局域非线性薛定谔方程出发，依据含小损耗且具有e指数响应的弱非局域非线性介质的特性，结合sech光束束宽远大于弱非局域介质响应函数特征宽度的性质，运用变分法研究了1+2维sech型光束在含有小损耗且具有e指数响应的弱非局域非线性介质中的传输特性，得到了光束束宽、复振幅的大小、相位和曲率系数的演化方程及其相应的演化规律的数学表达式，并且得到了一个临界功率；并进一步分析束宽的演化规律，发现当传输损耗足够小，光束初始功率等于临界功率，并且光束从光腰处入射时，1+2维sech型光束在传输过程中除了会产生一个相移外

52、，束宽、振幅不变，波前曲率系数为零，具有平面波波前，可以得到一个1+2维sech型损耗空间光孤子。第3章 强非局域介质中损耗空间光孤子本章将利用“大相移”的这一结果6进一步探讨1+1维高斯光束在含小损耗强非局域非线性介质中的传输特性和椭圆高斯光束在含有小损耗强非局域非线性介质中的传输特性。3.1 1+1维高斯型单束损耗空间光孤子3.1.1参量演化方程1+1维光束在非局域非线性介质中传输时存在传输损耗的情形下，其遵循的非局域非线性薛定谔方程为50 ：. （3-1）式中：为纵轴（传输轴）坐标，为横轴坐标；为傍轴光束；为传输损耗系数；，（其中：，所代表的意义与上一章相同）；为非局域介质的响应函数。

53、对于存在传输损耗的情形下，可表示为50：. （3-2）这意味着在传输过程中，光束的复振幅大小整体上将按指数规律衰减，光束传输功率随传输距离也将按指数规律衰减，其衰减规律为，其中为光束传输功率，为光束初始功率。将 (3-2) 式代入方程(3-1)可得：. （3-3）对于强非局域介质有（其中为介质响应函数的特征响应长度， 为光束的束宽），为此对非局域介质响应函数先在处做泰勒级数展开取到二阶小量，尔后再在处做第二次泰勒级数展开，并且也取到二阶小量，方程（3-3）可简化为：. （3-4）考虑方程（3-4）的最后一项对光束束宽的演化规律无影响，所以方程（3-4）可以进一步简化为6：. (3-5)方程（3

54、-5）即为1+1维光束在含有小损耗的强非局域介质中传输的近似简化模型，其中：； 6。假设方程（3-5）仍具有高斯型形式的试探解，其解可以写为：. （3-6）其中： 为复振幅的大小，初始时复振幅大小，为初始束宽；为复振幅的相位；为波前曲率系数。假定光束从光腰处入射，初相位为，初始时慢波函数为。将（3-6）式代入方程（3-5），首先考虑得到的式子中实部系数之和以及虚部系数之和都分别要等于零，其次再考虑到的取值范围为到，故要使方程（3-5）恒成立，则方程（3-5）中的的各次系数也必须分别都等于零，由此可以导出:； （3-7）； （3-8）. （3-9）即方程（3-7）至方程（3-9）为在含有小损耗的

55、强非局域非线性介质中1+1维高斯型光束传输时束宽、相位和波前曲率系数的演化方程，对于无损耗情形，方程（3-7）（3-9）退化为：； （3-10）； （3-11）. （3-12）与文献14得到的结果中的1+1维情形一致，其各参量的演化规律为6： ; (3-13) ; (3-14) (3-15) . (3-16)式中： ， 为临界功率，。当、且光束从光腰处入射时，光束传输时除出现一个相移外，束宽及形状保持不变，获得空间光孤子解。引入归一化束宽参量，对方程（3-7）求导，并结合方程（3-9）可得：. （3-17）对于存在小损耗情形，光束在传输时，束宽可以表示为46：. （3-18）其中：是无损耗时光

56、束的归一化束宽，是对归一化束宽的一级修正小量35。将（3-18）式代入方程（3-17），可以解出： ； （3-19）. （3-20）3.1.2 1+1维高斯型单光束在含小损耗强非局域介质中传输时束宽的演化规律由方程（3-20）可以知道，当单光束从光腰处入射，传输损耗足够小，并且光束的初始功率等于临界功率时，光束束宽将呈现非常缓慢的展宽过程，在传输距离比较近时，可近似得到束宽缓慢展宽的准空间光孤子损耗光孤子；当光束初始功率小于临界功率时，束宽将按准余弦函数作周期性展宽变化；当光束初始输入功率大于临界功率时，束宽将按准余弦函数先作周期压缩性变化再过度到作周期性展宽变化。图3-1给出在相同损耗时输入

57、功率不同情形下的光束束宽的演化规律。 （a） （b） （c） 图3-1束宽随传输距离的演化，其中：（a）,（b），（c）3.2椭圆高斯型损耗空间光孤子3.2.1 非局域非线性薛定谔方程的简化考虑到含小损耗时，椭圆高斯型的NNLSE可以写为6,50： . (3-21)式中，为傍轴光束， ，（其中：，所代表的意义与上一章相同）；为传输损耗系数，为纵轴坐标，为横轴坐标。为非局域介质响应函数，其满足归一化条件。对于在传输中含有小损耗的情形下，傍轴光束可表示为46：. (3-22)将 (3-22) 式代入方程(3-21)可得：. (3-23)考虑强非局域情形（），采用下面方法对方程（3-23）进行近似处理并化简6,17。 首先对 在 处第1次作泰勒级数展开，近似取到二阶，并利用了为椭圆对称实数函数以及奇函数在到整个区间中积分，其值为零的性质，可得到: (3-24)式中 ， 。