振动理论习题答案答案借鉴

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1、振动力学习题第二章 单自由度系统的自由振动2-1 如图2-1 所示，重物悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静止平衡位置，另一重物从高度为h处自由下落到上且无弹跳。试求下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。 xx0x1x12平衡位置解：， 动量守恒：，平衡位置：，故：故：2-2 一均质等直杆，长为l，重量为w，用两根长h的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如图2-2所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。解：给杆一个微转角qqha2Fmg由动量矩定理：其中 2-3 一半圆薄壁筒，平均半径为R, 置于粗糙平面上做微幅摆动，如图2-3所示。试求其摆动的固有频率。 图2-3

2、 图2-42-4 如图2-4 所示，一质量m连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，试求下列情况系统作垂直振动的固有频率： （1）振动过程中杆被约束保持水平位置； （2）杆可以在铅垂平面内微幅转动； （3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。k2k1ml1l2 mgl1l2x1x2x 图 T 2-9 答案图 T 2-9解：（1）保持水平位置：（2）微幅转动：故：2-5 试求图2-5所示系统中均质刚性杆AB在A点的等效质量。已知杆的质量为m，A端弹簧的刚度为k。并问铰链支座C放在何处时使系统的固有频率最高？ 图2-5 图2-62-6 在图2-6所示的系统中，四个弹簧均未受力。已知m=5

3、0kg，。试问： （1）若将支撑缓慢撤去，质量块将下落多少距离？ （2）若将支撑突然撤去，质量块又将下落多少距离？2.17 图T 2-17所示的系统中，四个弹簧均未受力，k1= k2= k3= k4= k，试问：（1）若将支承缓慢撤去，质量块将下落多少距离？（2）若将支承突然撤去，质量块又将下落多少距离？k1k2k3k4m图 T 2-17解：（1），（2），2-7 图2-7所示系统，质量为m2的均质圆盘在水平面上作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为I，忽略绳子的弹性、质量及各轴承间的摩擦力。试求此系统的固有频率。图2-7 解：系统动能为：系统动能为：根据：，2-8 如图2-8所示的系统中，钢杆

4、质量不计，建立系统的运动微分方程，并求临界阻尼系数及阻尼固有频率。 图2-8abl解：，由2-9 图2-9所示的系统中，m1kg，k224N/m，c48N.s/m，l1l0.49m，l2l/2，l3l/4，不计钢杆质量。试求系统的无阻尼固有频率及阻尼。图2-92.26 图T 2-26所示的系统中，m = 1 kg，k = 144 N / m，c = 48 Ns / m，l1 = l = 0.49 m，l2 = 0.5 l， l3 = 0.25 l，不计刚杆质量，求无阻尼固有频率及阻尼。l1mkcl2l3mO图 T 2-26答案图 T 2-25解：受力如答案图T 2-26。对O点取力矩平衡，有：

5、第三章 单自由度系统的强迫振动3-1 如图3-1所示弹簧质量系统中，两个弹簧的连接处有一激振力。试求质量块的振幅。 图3-1 解：设弹簧1，2的伸长分别为x1和x2，则有， （A）由图（1）和图（2）的受力分析，得到 （B） （C）联立解得，所以，n = 0，得，mgqBP0sinwtAXAYAFCFK 图3-23-2 图3-2所示系统中，刚性杆AB的质量忽略不计，B端作用有激振力，写出系统运动微分方程，并求下列情况中质量m作上下振动的振幅值：（1）系统发生共振；（2）等于固有频率的一半。解：图（1）为系统的静平衡位置，以q为系统的广义坐标，画受力如图（2）又 Iml2则1）系统共振，即2）3

6、-3 建立图3-3所示系统的运动微分方程，并求出系统的固有频率，阻尼比以及稳态响应振幅。图3-3 解：以刚杆转角为广义坐标，由系统的动量矩定理即 令，得到3-4 一机器质量为450kg，支撑在弹簧隔振器上，弹簧静变形为0.5cm，机器有一偏心重，产生偏心激振力，其中是激振频率，g是重力加速度。试求：（1）在机器转速为1200r/min时传入地基的力；（2）机器的振幅。解：设系统在平衡位置有位移， 则即又有 则（1）所以机器的振幅为（2）且，（3）又有（4）将（1）（2）（4）代入（2）得机器的振幅=0.584 mm则传入地基的力为2-9一个粘性阻尼系统在激振力作用下的强迫振动力为，已知N，B

7、=5 cm ，rad/s，求最初1秒及1/4秒内，激振力作的功及。3-5 证明：粘滞阻尼利在一个振动周期内消耗的能量可表示为证明3-6 单自由度无阻尼系统受图3-6所示的外力作用，已知。试求系统的响应。 图3-6解：由图得激振力方程为当 0 t t1时，则有由于，所以有当t1 t t2时，则有 当 t t2时，则有+ 0 图3-73-7 试求在零初始条件下的单自由度无阻尼系统对图3-7所示激振力的响应。解：由图得激振力方程为当 0 t t1时，则有当t t1时，则有 3-8 图3-8为一车辆的力学模型，已知车辆的质量m、悬挂弹簧的刚度k以及车辆的水平行驶速度v。道路前方有一隆起的曲形地面： （

8、1）试求车辆通过曲形地面时的振动； （2）试求车辆通过曲形地面以后的振动。 图3-8解：由牛顿定律，可得系统的微分方程为，由曲形地面，得到 得到系统的激振力为，。（1）车通过曲形地面时的振动为（2）车通过曲形地面后的振动车通过曲形地面后以初位移和初速度作自由振动，即，由公式，得到车通过曲形地面后的振动响应为其中，。或积分为3-9 图3-9是一轻型飞机起落架着陆冲撞的简单力学模型。试求弹簧从接触地面至反跳脱离接触的时间。3-10 图3-10所示的箱子从高h处自由下落，箱体内有足够的间隙允许质量m运动，并且箱体质量远大于m。若箱子触地后不再跳起，试求：（1）箱子下落过程中质量块相对于箱体的运动；（

9、2）箱子落地后传到质量块上的最大作用力。 图3-9 图3-10第四章 多单自由度系统的振动4-1 图4-1所示系统中，各个质量只能沿铅垂方向运动，假设，。试求系统的固有频率及振型矩阵图4-1 解：如图选择广义坐标。求质量矩阵及利用刚度影响系数法求刚度矩阵为，由频率方程，得解出频率为，由特征矩阵的伴随矩阵的第一列，将代入得系统的第一阶主振型为满足如下关系：，展开以上二式得，。取，可得到。即有满足如下关系：，展开以上二式得，联立得。取，可得到。即得主振型矩阵为 图4-24-2 试计算图4-2所示系统对初始条件和的响应。解：在习题4-6中已求得系统的主振型矩阵和质量矩阵分别为主质量振型为正则振型的第

10、i列为,由此得到正则振型振型为正则坐标初始条件为= 0，= 正则坐标的响应为，其中频率为。最终得到响应,由，展开得到解：从66中可得主频率和主振型矩阵为,由质量矩阵，可求出主质量矩阵则正则振刑矩阵为于是 于是得 所以响应为，即， 其中，.4-3 试确定题4-2的系统对作用于质量m1和质量m4上的阶跃力的响应。4-4 如图4-4所示，已知机器质量为，吸振器质量为，若机器上有一偏心质量，偏心距e=1cm，机器转速n=1800r/m。试问： （1）吸振器的弹簧刚度k2多大，才能使机器振幅为零？ （2）此时吸振器的振幅B2为多大？ （3）若使吸振器的振幅B2不超过2mm，应如何改变吸振器的参数？图4-

11、4第六章 弹性体系统的振动6.1 一等直杆沿纵向以速度v向右运动，求下列情况中杆的自由振动： （1）杆的左端突然固定； （2）杆的右端突然固定； （3）杆的中点突然固定。 图6-1解；(1)杆的左端突然固定；杆的初始条件为： 有题可知得 ，所以有：进而有：%全部改成： 图6-26-2 图6-2所示一端固定一端自由的等直杆，（1）若受到均匀分布力的作用，试求分布力突然移去时杆的自由振动响应；（2）若杆上作用的轴向均匀分布干扰力为，试求杆的稳态强迫振动。解：t-=0时的应变为杆的初始条件为 一端自由一端固定，可知杆的因有频率和主振型为将主振型代入上式归一化为以正则坐标表示初始条件为以正则坐标表示对

12、初始条件的响应为于是杆的自由振动为杆左端固定端，右端为自由端边界条件 得固有频率，主振型 i=1,2,杆在x处的应变 初始条件 由得 再利用三角函数正交性 得(2) 解：因为杆是一端固定，可得固有频率和主振型为 将主振型代入归一化条件，得 得到正则振型 又第i个正则方程为 所以可得正则坐标的稳态响应为 杆的稳态响应振动为 其中。6-3试写出图6-3所示系统的纵向振动频率方程，并写出主振型的正交性表达式。解：边界条件为： 由得， 由条件（2）得 所以 这就是我们所要求的频率方程所以主振型关于质量的正交性主振型关于刚度的正交性为解： 该题中杆的振动方程为：其中由于边界条件中U（0）=0代入U（x）中得C=0再将U（x）代入中 ，由知：=再由边界知：EA得：即： 已知方程由乘并对杆积分得所以由得： 所以，其解为正交。27训练a