高考数学大一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第三节 平面向量的数量积与平面向量的应用举例教师用书 理

《高考数学大一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第三节 平面向量的数量积与平面向量的应用举例教师用书 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学大一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第三节 平面向量的数量积与平面向量的应用举例教师用书 理（18页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第三节平面向量的数量积与平面向量的应用举例2017考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。2016，全国卷，13,5分(向量的几何意义)2016，全国卷，3,5分(向量数量积的坐标运算)2016，全国卷，3,5分(向量夹角问题)2016，天津卷，7,5分(向量的数量积和线性运算)2015，全

2、国卷，15,5分(向量的数量积运算)高考对本节内容的考查以向量的长度、夹角及数量积为主，以向量数量积的运算为载体，综合三角函数、解析几何等知识进行考查，是一种新的趋势，复习时应予以关注。以客观题为主，有时出现在解答题中。分值512分。微知识小题练自|主|排|查1平面向量的数量积(1)向量的夹角定义：已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB就是向量a与b的夹角。范围：设是向量a与b的夹角，则0180。共线与垂直：若0，则a与b同向共线；若180，则a与b反向共线；若90，则a与b垂直。(2)平面向量的数量积定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos叫做a与b的数量积(或

3、内积)，记作ab，即ab|a|b|cos，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0a0。几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积。2平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量a，b的夹角。数量积：ab|a|b|cosx1x2y1y2。模：|a|。夹角：cos。两非零向量ab的充要条件：ab0x1x2y1y20。|ab|a|b|(当且仅当ab时等号成立)|x1x2y1y2| 。3平面向量数量积的运算律(1)abba(交换律)。(2)ab(ab)a(b)(结合律)。(3)(ab)cacbc(分配律)。微点提醒1a在b方向上的

4、投影与b在a方向上的投影不是一个概念，要加以区别。2对于两个非零向量a与b，由于当0时，ab0，所以ab0是两个向量a，b夹角为锐角的必要而不充分条件；ab0也不能推出a0或b0，因为ab0时，有可能ab。3在实数运算中，若a，bR，则|ab|a|b|；若abac(a0)，则bc。但对于向量a，b却有|ab|a|b|；若abac(a0)，则bc不一定成立，原因是ab|a|b|cos，当cos0时，b与c不一定相等。4向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(ab)c不一定等于a(bc)，这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量，而a(bc)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线。小|题|快|练

5、一 、走进教材1(必修4P107例6改编)已知|a|2，|b|4，ab4，则a与b的夹角_。【解析】因为ab|a|b|cos，所以cos，又因为0180，故30。【答案】302(必修4P105例4改编)已知a(1,2)，b(3,4)，若akb与akb互相垂直，则实数k_。【解析】由已知a(1,2)，b(3,4)，若互相垂直，则(akb)(akb)0，即a2k2b20，即525k20，即k2，所以k。【答案】二、双基查验1下列四个命题中真命题的个数为()若ab0，则ab；若abbc，且b0，则ac；(ab)ca(bc)；(ab)2a2b2。A4个B2个C0个D3个【解析】ab0时，ab，或a0，

6、或b0。故命题错。abbc，b(ac)0。又b0，ac，或b(ac)。故命题错误。ab与bc都是实数，故(ab)c是与c共线的向量，a(bc)是与a共线的向量，(ab)c不一定与a(bc)相等。故命题不正确。(ab)2(|a|b|cos)2|a|2|b|2cos2|a|2|b|2a2b2。故命题不正确。故选C。【答案】C2在ABC中，AB3，AC2，BC，则()A B C. D.【解析】在ABC中，cosBAC，|cosBAC32。故选D。【答案】D3已知平面向量a(1，3)，b(4，2)，ab与a垂直，则()A1 B1 C2 D2【解析】ab(4，32)。ab与a垂直，(ab)a10100。

7、1。故选A。【答案】A4已知单位向量e1，e2的夹角为，且cos，若向量a3e12e2，则|a|_。【解析】|a|2aa(3e12e2)(3e12e2)9|e1|212e1e24|e2|29121149|a|3。【答案】35(2016大连模拟)若a，b满足|a|，a(ab)1，|b|1，则a，b的夹角为_。【解析】因为|a|，所以a(ab)a2ab2ab1，即ab1。设a，b的夹角为，则cos。因为0，所以。【答案】第一课时平面向量的数量积微考点大课堂考点一 平面向量数量积运算【典例1】(1)已知a(2,3)，b(4,7)，则a在b上的投影为()A.B.C.D.(2)(2016天津高考)已知A

8、BC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE2EF，则的值为()A B. C. D.【解析】(1)|a|cos。故选C。(2)如图，设m，n。根据已知得，m，所以mn，mn，(mn)m2n2mn。故选B。【答案】(1)C(2)B反思归纳1.当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cos。2当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2。【变式训练】(1)设四边形ABCD为平行四边形，|6，|4。若点M，N满足3，2，则()A20 B15 C9 D6(2)(2016蚌埠模拟)已

9、知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点。的最大值为_。【解析】(1)在平行四边形ABCD内，易得，所以36161239。故选C。(2)如图所示，以AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，设E(t,0)，0t1，则D(0,1)，C(1,1)，(t，1)，(1,0)，所以t1。【答案】(1)C(2)1考点二 平面向量的模与夹角问题【典例2】(1)(2017长沙模拟)已知向量a(1,2)，ab5，|ab|2，则|b|等于()A. B2 C5 D25(2)(2016东北三校联考)已知向量a，b的夹角为60，且|a|2，|b|1，则向量a与向量a2b的夹角等于()A150 B90C6

10、0 D30【解析】(1)由a(1,2)，可得a2|a|212225。因为|ab|2，所以a22abb220，所以525b220，所以b225，所以|b|5。故选C。(2)解法一：由于a(a2b)a22ab|a|22|a|b|cos604226，|a2b|2，所以cosa，a2b，所以a，a2b30。故选D。解法二：|a2b|2444ab88cos6012，|a2b|2，a(a2b)|a|a2b|cos22cos4cos。又a(a2b)a22ab44cos606，4cos6，cos，0，180，30。故选D。【答案】(1)C(2)D反思归纳1.平面向量夹角的求法若a，b为非零向量，则由平面向量的

11、数量积公式得cos(夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题。2平面向量的模的解题方法(1)若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用|a|。(2)若向量a，b是非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2a2aa，或|ab|2(ab)2a22abb2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解。【变式训练】(1)(2016全国卷)已知向量，则ABC()A30 B45 C60 D120(2)(2016衡水中学二调)已知单位向量a，b，若ab0，且|ca|c2b|，则|c2a|的取值范围是()A1,3 B2，3C. D.【解析】(1)由两向量的夹角公式，可得cos

12、ABC，则ABC30。故选A。(2)不妨设a(1,0)，b(0,1)，c(x，y)，所以ca(x1，y)，c2b(x，y2)，所以，即(x，y)到A(1,0)和B(0,2)的距离和为，即表示点(1,0)和 (0,2)之间的线段，|c2a|，表示(2，0)到线段AB上点的距离，最小值是点(2，0)到直线2xy20的距离，|c2a|min，最大值为(2,0)到(1,0)的距离是3，所以|c2a|的取值范围是。故选D。【答案】(1)A(2)D考点三 平面向量的垂直问题【典例3】(1)已知向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，且(2a3b)c，则实数k()A B0 C3 D.(2)已知向量与的

13、夹角为120，且|3，|2。若，且，则实数的值为_。【解析】(1)因为2a3b(2k3，6)，(2a3b)c，所以(2a3b)c2(2k3)60，解得k3。故选C。(2)，由于，所以0，即()()22(1)94(1)320，。【答案】(1)C(2)【变式训练】ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足2a，2ab，则下列结论正确的是()A|b|1 BabCab1 D(4ab)【解析】因为(2ab)2ab，所以|b|2，故A错误；由于2a(2ab)4|a|22ab222，所以2ab24|a|22，所以ab1，故B，C错误；又因为(4ab)(4ab)b4ab|b|241240，所以(4ab)

14、。故选D。【答案】D微考场新提升1(2016全国卷)已知向量a(1，m)，b(3，2)，且(ab)b，则m()A8B6C6D8解析由向量的坐标运算得ab(4，m2)，由(ab)b，得(ab)b122(m2)0，解得m8，故选D。答案D2(2017衡水模拟)已知|a|1，|b|2，a与b的夹角为，那么|4ab|()A2 B6 C2 D12解析|4ab|216a2b28ab1614812cos12。|4ab|2。故选C。答案C3(2016成都模拟)ABC中，点M在线段AC上，点P在线段BM上，且满足2，若|2，|3，BAC90，则的值为()A1 B C. D解析由题知，()222。故选B。答案B4

15、(2016合肥联考)已知|a|1，|b|2，a与b的夹角为60，则ab在a方向上的投影为_。解析|ab|2a2b22ab142127，|ab|，cosab，a。ab在a方向上的投影为|ab|cosab，a2。答案25在平面直角坐标系中，O为原点，A(1,0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足|1，则|的取值范围是_。解析设D(x，y)，则(x3)2y21，(x1，y)，故|，|的最大值即为圆(x3)2y21上的点到点(1，)距离的最大值，其最大值为圆(x3)2y21的圆心到点(1，)的距离加上圆的半径，即11，最小值为11，故取值范围为1，1。答案1，1第二课时平面向量的应用微考点大课堂考

16、点一 平面向量在函数、不等式中的应用【典例1】已知向量a，b满足|a|2，|b|1，且对一切实数x，|axb|ab|恒成立，则a，b的夹角的大小为_。【解析】由题意得|axb|ab|a22xabx2b2a22abb2x22abx12ab0，所以4(ab)24(12ab)0(ab1)20，所以ab1，cosa，b，即a与b的夹角为。【答案】反思归纳平面向量沟通了几何与代数、函数、不等式的相关知识如：函数单调性、奇偶性、不等式的解法、不等式的证明、不等式的恒成立等问题必然会与平面向量相关联，以考查学生分析和解决问题的能力。【变式训练】(1)已知单位向量a，b，满足ab，则函数f(x)(xa2b)2

17、(xR)()A既是奇函数又是偶函数B既不是奇函数也不是偶函数C是偶函数D是奇函数(2)设e1，e2是平面内两个不共线的向量，(a1)e1e2，be12e2(a0，b0)，若A，B，C三点共线，则的最小值是()A2B4C6 D8【解析】(1)因为单位向量a，b，满足ab，所以ab0，所以f(x)(xa2b)2x24xab4x24。又f(x)(x)24x24f(x)，所以函数f(x)为偶函数。故选C。(2)因为A，B，C三点共线，所以(a1)(2)1b，所以2ab2。因为a0，b0，所以222 4(当且仅当，即a，b1时取等号)。故选B。【答案】(1)C(2)B考点二 平面向量在平面几何中的应用母

18、题发散【典例2】已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足()，(0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的()A内心 B外心C重心 D垂心【解析】由原等式，得()，即()，根据平行四边形法则，知是ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过ABC的重心。故选C。【答案】C【母题变式】在本典例中，若动点P满足，(0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的_。【解析】由条件，得，即，而和分别表示与，同向的单位向量，故平分BAC，即平分BAC，所以点P的轨迹必过ABC的内心。【答案】内心反思归纳解决向量与平面几何综合问题，可先利用基向量或坐标系建立向量与

19、平面图形的联系，然后通过向量运算研究几何元素之间的关系。【拓展变式】如图，RtABC中，C90，其内切圆切AC边于D点，O为圆心。若|2|2，则_。【解析】以CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(分别以射线CA、CB的方向为x轴、y轴的正方向)，则C(0,0)，O(1,1)，A(3,0)。设直角三角形的内切圆与AB边切于点E，与CB边切于点F，则由圆的切线长定理可得BEBF，ADAE2，设BEBFx，在RtABC中，有CB2CA2AB2，即(x1)29(x2)2，解得x3，故B(0,4)。(1，3)(3,0)3。【答案】3考点三 平面向量在三角函数中的应用多维探究角度

20、一：平面向量在三角函数图象与性质中的应用【典例3】已知函数f(x)sinx(0)的部分图象如图所示，A，B分别是这部分图象上的最高点、最低点，O为坐标原点，若0，则函数f(x1)是()A周期为4的奇函数B周期为4的偶函数C周期为2的奇函数D周期为2的偶函数【解析】由题图可得A，B，由0得30，又0，f(x)sinx，f(x1)sincosx，它是周期为4的偶函数。故选B。【答案】B角度二：平面向量在解三角形中的应用【典例4】(2016山西四校联考)已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m(sinA，sinB)，n(cosB，cosA)，mnsin2C。(1)求角C的大小；(2

21、)若sinA，sinC，sinB成等差数列，且()18，求c边的长。【解析】(1)mnsinAcosBsinBcosAsin(AB)，对于ABC，ABC,0C0，0，|0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若，48，则抛物线的方程为()Ay28x By24xCy216x Dy24x【解析】如图，F为线段AB的中点，AFAC，ABC30，由48得BC4，则AC4。由中位线性质有pAC2，故抛物线的方程为y24x。故选B。【答案】B反思归纳向量在解析几何中的应用：1载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题

22、时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题。2工具作用：利用数量积与共线定理可解决垂直、平行问题。特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法。【变式训练】已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x8，P为该平面上一动点，作PQl，垂足为Q，且0。(1)求动点P的轨迹方程；(2)若EF为圆N：x2(y1)21的任一条直径，求的最值。【解析】(1)设P(x，y)，则Q(8，y)。由0，得|2|20，即(x2)2y2(x8)20，化简得1。所以点P在椭圆上，其方程为1。(2)()

23、()()()2221，P是椭圆1上的任一点，设P(x0，y0)，则有1，即x16，又N(0,1)，所以2x(y01)2y2y017(y03)220。因为y02，2，所以当y03时，2取得最大值20，故的最大值为19；当y02时，2取得最小值为134(此时x00)，故的最小值为124。【答案】(1)1(2)最大值为19，最小值为124微考场新提升1已知向量a(1，sin)，b(1，cos)，则|ab|的最大值为()A1 B.C. D2解析a(1，sin)，b(1，cos)，ab(0，sincos)，|ab|。|ab|的最大值为。故选B。答案B2设a，b是非零向量，若函数f(x)(xab)(axb

24、)的图象是一条直线，则必有()Aab BabC|a|b| D|a|b|解析f(x)(ab)x2(a2b2)xab。依题意知f(x)的图象是一条直线，ab0，即ab。故选A。答案A3(2016郴州质检)已知ABC的外心P满足()，则cosA()A. B.C D.解析取BC的中点D，连接AD，PD，则()，又()，所以()。由()()0，得|。又2，所以P又是重心，所以ABC是等边三角形，所以cosAcos60。故选A。答案A4(2017唐山模拟)过点A(3,1)的直线l与圆C：x2y24y10相切于点B，则_。解析由x2(y2)25，可知圆心C(0,2)，半径r，所以|AC|，所以|AB|，所以

25、ACB45，所以cos455。答案55在ABC中，ACB为钝角，ACBC1，xy，且xy1。若函数f(m)|m|(mR)的最小值为，则|的最小值为_。解析由xy，且xy1，可知A，O，B三点共线，所以|的最小值为AB边上的高，又ACBC1，即O为AB的中点，且函数f(m)|m|的最小值为，即点A到BC边的距离为。又AC1，所以ACB120，从而可得|的最小值为。答案6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375