高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.3.2 双曲线的简单性质课时作业 北师大版选修21

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1、6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3

2、3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 3.3.2 3.3.2 双曲线的简单性质双曲线的简单性质 基础达标 1双曲线x2y231 的渐近线方程为( ) Ay3x By13x Cy33x Dy 3x 解析：选 D.方程化为y23x21，a 3，b1.渐近线方程为y 3x. 2.已知双曲线的渐近线为y 3x，焦点坐标为(4，0)，(4，0)，则双曲线方程为( ) A.x28y2241 Bx212y241 C.x224y281 Dx24y2121 解析：选 D.焦点在x轴上

3、.ba 3，c4，c242a2b2a2( 3a)24a2， a24，b212.故选 D. 3.已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的离心率e 3，则它的渐近线方程为( ) Ay22x By 3x Cy 2x Dyx 解析：选 C.e 3，e2c2a2a2b2a21(ba)23，ba 2，又焦点在x轴，渐近线方程为y 2x. 4.设ABC是等腰三角形，ABC120，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为( ) A.1 22 B1 32 C1 2 D1 3 解析：选 B.由题意知ABBC2c，又ABC120， 过B作BDAC，D为垂足，则 |AC|2CD2BCsin 602 3c， 由双

4、曲线定义|AC|BC|2 3c2c2a， eca22 32131312. 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B

5、 C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 5.已知抛物线y22px(p0)上一点M(1，m)(m0)到其焦点的距离为 5， 双曲线x2ay21的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为( ) A.19 B14 C.13 D12 解析：选 A.由题意得 1p25，p8，y216x，当x1 时，m216，m0，m4. M(1，4)，双曲线左顶点A(a，0)，kAM41a，由题意4

6、1a1a，a19. 6.双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(1，2)在“上”区域内，则双曲线离心率的取值范围为_ 解析：由题意当x1 时，ybaxba2， e2c2a21(ba)21，e(1， 5) 答案：(1， 5) 7.过点(0，1)且斜率为 1 的直线交双曲线x2y241 于A，B两点，则|AB|_ 解析：直线的方程为y1x，即yx1，代入x2y241 整理得 3x22x50， x11，x253，|AB| 1k2|x1x2| 11|153|8 23. 答案：8 23 8.已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两

7、条渐近线方程为y33x，若顶点到渐近线的距离为 1，则双曲线方程为_ 解析： 双曲线的一个顶点为(a， 0)， 它到渐近线x 3y0 的距离为|a|1（ 3）21，a2，又ba33b33a2 33.故双曲线方程为x24y2431. 答案：x24y2431 9.(1)求与双曲线x29y2161 有共同渐近线，并且经过点(3，2 3)的双曲线的方程 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7

8、5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 (2)已知双曲线的一条渐近线方程为x 3y0，且与椭圆x24y264 共焦点，求双曲

9、线的方程 解：(1)设所求双曲线方程为x29y216(0)，将点(3，2 3)代入，得991216，解得14. 所以所求双曲线方程为4x29y241. (2)法一：椭圆方程可化为x264y2161，易得焦点是(4 3，0)设双曲线方程为x2a2y2b21(a0，b0)，其渐近线方程是ybax，则ba33.代入a2b2c248，解得a236，b212.所以所求双曲线方程为x236y2121. 法二：由于双曲线的一条渐近线方程为x 3y0，则另一条渐近线方程为x 3y0. 已知双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线的方程为x23y2(0)，即x2y231.由椭圆方程x264y2161 知c2a2b264

10、1648.因为双曲线与椭圆共焦点， 所以348，则36. 所以所求双曲线方程为x236y2121. 10.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，右顶点为( 3，0) (1)求双曲线C的方程； (2)若直线l：ykx 2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且OAOB2(其中O为原点)，求k的取值范围 解：(1)设双曲线方程为x2a2y2b21(a0，b0) 由已知得a 3，c2，再由a2b222，得b21. 故双曲线C的方程为x23y21. (2)将ykx 2代入x23y21 得 (13k2)x26 2kx90. 由直线l与双曲线交于不同的两点得 13k20，（6 2k）236（13k2

11、）36（1k2）0， 即k213且k22 得xAxByAyB2， 而xAxByAyBxAxB(kxA 2)(kxB 2) (k21)xAxB 2k(xAxB)2 (k21)913k2 2k6 2k13k223k273k21. 于是3k273k212，即3k293k210，解此不等式得13k23.(*) 由(*)(*)得13k21. 故k的取值范围为(1，33)(33，1) 能力提升 1.设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为 60的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|A2B2|，其中A1，B1和A2，B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是(

12、) A.2 33，2 B2 33，2 C.2 33， D2 33， 解析： 选 A.由双曲线的对称性知， 满足题意的这一对直线也关于x轴(或y轴)对称 又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30且小于等于 60，即 tan 30batan 60，13b2a23.又e2ca2c2a21b2a2，43e24，2 330)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则OPFP的取值范围为_ 解析：因为F(2，0)是已知双曲线的左焦点，所以a214，即a23，所以双曲线方程为x23y21， 设点P(x0，y0)(x0 3)， 则有x203y201(x0 3)

13、， 解得y20 x2031(x0 3)，易知FP(x02，y0)，OP(x0，y0)，所以OPFPx0(x02)y20 x0(x02)x20314x2032x01，此二次函数的图像的对称轴为x034，因为x0 3，所以当x0 3时，OPFP取得最小值4332 3132 3，故OPFP的取值范围是32 3，) 答案：32 3，) 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B

14、 C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 3.设F1，F2分别为双曲线x2a2y2b21 的左、右焦点，A1，A2分别为这个双曲线的左、右顶点，

15、P为双曲线右支上的任意一点，求证：以A1A2为直径的圆既与以PF2为直径的圆外切，又与以PF1为直径的圆内切 证明：如图，以A1A2为直径的圆的圆心为O，半径为a，令M，N分别是PF2，PF1的中点，由三角形中位线的性质，得|OM|12|PF1|.又根据双曲线的定义，得|PF1|2a|PF2|，从而有|OM|12(2a|PF2|)a12|PF2|.这表明，两圆的圆心距等于两圆半径之和，故以A1A2为直径的圆与以PF2为直径的圆外切 同理，得|ON|12|PF2|12(|PF1|2a)12|PF1|a.这表明两圆的圆心距等于两圆半径之差，故以A1A2为直径的圆与以PF1为直径的圆内切 4已知双曲

16、线C：x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线方程为y 3x，O为坐标原点，点M( 5， 3)在双曲线上 (1)求双曲线C的方程； (2)若直线l与双曲线交于P，Q两点，且OPOQ0，求|OP|2|OQ|2的最小值 解：(1)双曲线C的渐近线方程为y 3x， b23a2，双曲线的方程可设为 3x2y23a2. 点M( 5， 3)在双曲线上，可解得a24， 双曲线C的方程为x24y2121. (2)设直线PQ的方程为ykxm，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 将直线PQ的方程代入双曲线C的方程，可化为 (3k2)x22kmxm2120， 3k20（2km）24（3k2）（m212）0. x

17、1x22km3k2，x1x2m2123k2. 由OPOQ0 x1x2y1y20， 即(1k2)x1x2km(x1x2)m20， (1k2)m2123k2km2km3k2m20，化简得m26k26， 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C

18、 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 |OP|2|OQ|2|PQ|2(1k2)(x1x2)24x1x224384k2（k23）2. 当k0 时，|PQ|224384k2（k23）224 成立，且满足， 又因为当直线PQ垂直x轴时，|PQ|224， 所以|OP|2|OQ|2的最小值是 24.