集体备课：正切函数的图像与性质教案.doc

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1、正切函数的图像与性质教案 张振坤 一.教材分析1.地位与作用 本节内容是普通高中课程标准实验教科书（北师大版）数学必修四第一章三角函数第7节 正切函数。本节课是研究了正弦、余弦函数的图像与性质后，又一具体的三角函数。它前承正、余弦函数，后启必修五中的直线斜率问题。研究正切函数的图象与性质过程不仅是对正、余弦曲线研讨方法的一种再现，更是一种提升，同时又为后续的学习奠定了基石。2.教材处理 正切函数与正弦函数在研究方法上类似，我采用以类比的方式，让学生回忆正弦曲线的作图过程与方法，进而启发、引导学生发现作正切曲线的一种方法。设计中首先得到正切函数的定义，给出正切线的概念，并类比画正弦函数图像的方式

2、，利用正切线画正切函数 的图像，根据图像，研究正切函数的性质。体现了类比思想的应用，体现出数形结合思想在研究函数性质中的重要作用。在画图像之前引导学生思考分析区为什么选定间（），这样既不限制学生的思维，又把空间留给学生，让学生明白由周期性也可自己选择其它区间作图，设计一个得到正切曲线的方法。这样，不仅发挥了学生的能动性，增强动脑、动手绘图的能力，而且，在此过程中，学生会注意到画正切曲线的细节。 在得到图象后，单调性是一个难点，我设计了“问题6”帮助学生理解该性质，并启发学生从代数和几何两种角度看问题。二学情分析 在函数中我们学习了如何研究函数，而对正弦函数的研究又再一次做了一个模板，所以学生已

3、经具备了一定的绘图技能，类比推理画出图象，并通过观察图象，总结性质的能力。但在画正切函数图象时，还有许多需要注意的地方，这又提升了学生分析问题的能力及严密认真的态度。高一学生已经初步形成了是非观，具备了分辨是非的能力及语言表达能力。能够通过讨论、合作交流、辩论得到正确的知识。但在处理问题时学生很容易“想当然”用事，考虑问题不深入，往往会造成错误的结果。三教学目标确定及依据 正切函数是继正、余弦之后的又一个三角函数，三者在研究方法与研究内容上类似，但某些性质有所不同，这就养成学生在画图时必须全面考虑问题。本着课改理念，养成学生对知识的勇于探索精神，学生亲自体会正切曲线的获得过程，这样学生的动手实

4、践能力有了提高，又体会到学习数学的乐趣，根据教学要求及学生现有的认知水平，现制定以下教学目标：1. 知识与技能：（1）能借助单位圆理解任意角的正切函数的定义；（2）能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像；（3）掌握正切函数的图像的基本性质； （4）体会用数形结合的思想理解和处理问题。2.过程与方法：首先由学生自主绘图，通过媒体课件演示作图过程得到完整的正确图象，学生纠正图像，然后再让学生观察，类比正弦，探索得到性质。3.情感态度与价值观：在得到正切函数图像的过程中，学会一类周期性函数的研究方式，通过自己动手得到图像让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。培养学生自主探

5、索的学习习惯和分析问题、解决问题的能力。四.重点与难点重点：正切函数的图象及其主要性质。难点：利用正切线画出函数y=tanx， 的图象，对直线x=，是y=tanx的渐近线的理解，对单调性这个性质的理解。五教学理念 本着以人为本的教学理念及发挥学生主动性，使学生成为课堂的主体的教学原则，遵循事物的发生、发展成熟过程及学生的认知规律，通过学生的自主探索，总结出函数的图象，并通过图象得出正切函数的性质，在此过程中体现生生、师生之间的团结合作，互相帮助的精神，学生的内在潜能得以挖掘。通过例题的分析，学生分析问题及严密推理能力得以提高，学生体会到学习数学的乐趣，同时发现数学不但美妙而且神奇，并在此过程中

6、体验成功后的喜悦。六、学法分析:类比学习法，即类比正弦函数、余弦函数的学习方法，在直角坐标系内学习任意角的正切函数。类比正弦函数的画法做正切函数，利用图像研究正切函数的性质。七、教法分析：新课程标准倡导积极主动、勇于探索的学习方式，把学习的主动权还给学生。以此为宗旨，我采用引导教学法、讲授教学法等诸多方法，引导学生自主学习、探究学习，努力做到教法、学法的最优组合。结合本节内容的特征，主要采用启发诱导式教学方式，让学生自主地去探求知识。八、教学过程：教学环节教师活动 学生活动设计意图创设情境，揭示课题同学们，在前两次课中，我们学习了任意角的正、余弦函数，并借助于它们的图像研究了它们的性质。今天我

7、们将类比正弦、余弦函数的学习方法，在直角坐标系内学习另外一种三角函数，就是任意角的正切函数，正切函数的图像如何画？正切函数具有哪些性质？这就是本节课要学习的内容。请同学们先自己阅读教材P35的内容，并思考以下问题：问题一： 正切函数如何定义的？正切函数的定义域是什么？教师提问，并及时对学生的回答进行客观和鼓励性的评价，最后教师进行总结和归纳。归纳：在直角坐标系中，如果角满足：R，k(kZ)，那么，角的终边与单位圆交于点P（a，b），则ytan=是角的函数，我们把它叫作角的正切函数，其中定义域是k，kZ. 学生带着老师的问题阅读教材并思考问题的答案，然后与同桌交流答案1， 培养学生的自学能力，让

8、学生养成带着问题阅读教材的习惯2，为下面学习正切函数的图像和性质做准备新知探究问题二：我们前面学习的正弦函数的图像采用几种方法做出来的？能否采用类比思想划出正切函数的图像？ 类比前面学习的正弦线我们学习角的正切线。请同学们继续阅读教材P35的内容，归纳总结出正切线的做法和规律性。如下图，单位圆与x轴正半轴的交点为A（1 ,0），任意角的终边与单位圆交于点P，过点A（1 ,0）作x轴的垂线，与角的终边或终边的延长线相交于T点。从图中可以看出：当角位于第一和第三象限时，T点位于x轴的上方； 当角位于第二和第四象限时，T点位于x轴的下方。分析可以得知，不论角的终边在第几象限，都可以构造两个相似三角形

9、，使得角的正切值与有向线段AT的值相等。因此，我们称有向线段AT为角的正切线。教师对学生的回答进行归纳总结，对正切线的作法进行强调说明，尤其是角在第二、三象限时是过A点向终边的反向延长线作垂线，不是向终边作垂线 问题三：正切函数是不是周期函数？若是，最小正周期是什么？学生对前面所学习的正弦函数的画法进行回顾，一种是利用传统的“列表-描点-连线”的方法，另一种是利用“正弦线”的方法作出的。然后思考正切函数图像的画法。1，学生通过思考能够利用第一种方法作出正切函数的图像，但是第二种方法可能不会，造成了思维的障碍，激发学生学习的兴趣2，探索正切函数的周期性为下面做正切函数的图像做准备正切函数xy图像

10、的作法正切曲线与渐近线由于正切函数是周期为的函数，所以我们类比研究正弦函数的图像的方法，选择一个周期内来作正切函数的图像，然后向左右进行延伸即可。教师引导学生采用正切线作出图像问题四：如何利用正切线画出函数的图像？ 1，利用正切线作，的图象(1) 等分：把单位圆右半圆分成8等份。(2) 作正切线(3) 平移(4) 连线2, 根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数，且的图像，称“正切曲线”0yx3,从上图可看出，正切曲线是由被相互平行的直线xk(kZ)隔开的无穷多支曲线组成的，这些直线叫作正切曲线各支的渐近线。学生根据教师的提示通过单位圆和正切线，类比正、余弦函数图象的画法作

11、出正切函数的图象；图像扩展得到“正切曲线”让学生学会分析、解决问题的一般方法（类比思想）；让学生学会实际动手作图，培养学生的动手操作能力； 学生得到“正切曲线”明确与“正弦曲线”的不同图像时间断的而且与无数条渐近线观察图像，提炼性质问题五：你能利用正切函数的图像得出正切函数性质吗？教师引导学生利用正切函数的图像得出性质：（1）定义域：；（2）值域：R（3）周期性：；（4）奇偶性：由知，正切函数是奇函数；（5）单调性：在开区间内，函数单调递增。(6)渐近线方程： 。（7）对称中心： 问题六：正切函数在定义域能是不是单调函数？ 学生根据教师的提示总结归纳其性质并与同桌交流答案培养学生合作交流意识，

12、让学生体会函数性质与图像之间的关系，体会形与数的结合更能抓住问题的本质三点两线法问题七：在做正弦曲线时有“五点法”，请同学们思考怎样快速作出正切曲呢？（教师引导学生得到正切曲线的方法：三点两线法。） 学生回顾思考，探究让学生了解三点两线法新知应用，巩固深化例1、不通过求值，比较下列各组数的大小.（1） tan167与tan173；（2） 与例2、 教师展示例题后，先让学生自己分析思考，然后找学生到黑板上进行演算，最后对学生的演算进行客观和鼓励性的评价。对学生出现的问题进行纠正，并且写出规范的解题过程。学生自己动手在草稿本上演算，找到的同学到黑板上演算，然后和同桌交流答案学生通过自己的实践，真确

13、地体会函数的性质，强化对新建构的知识的理解与掌握，加深对所学知识的认识。反馈演练2、关于正切函数,下列判断不正确的是（ ）A 是奇函数 B 在整个定义域上是增函数C 在定义域内无最大值和最小值3、求函数y=tan3x的定义域。在教师引导下由学生独立完成及时反馈对知识的掌握情况与对知识巩固归纳整理，整体认识教师展示出问题后，让学生自己总结归纳，提炼知识，然后教师根据时间提问学生（1）请同学们回顾本节课所学过的知识内容有哪些？学到了哪些主要数学思想方法？（2）在本节课的学习过程中，你还有那些不太明白的地方，请向老师提出。（3）你自己认为自己在这节课中的表现怎样？有什么收获？你最深的体会是什么？学生

14、自己对问题进行思考，整理出1 本节课所学习的知识有哪些，列出提纲和同桌交流让学生自己归纳总结，寻找知识建立的支点，有利于学生对知识的掌握；通过学生的自我总结，可以帮助学生逐渐养成归纳概括和提升抽象问题的能力。作业布置一.课堂作业：1教材39页 练习题 第1，2，4三题2.求函数 的定义域二.课后思考题：画出的图像，并通过图像讨论函数的性质（定义域、值域、单调性、奇偶性，周期性）学生课后独立完成在课堂作业本上教师进行认真批改复习巩固知识，培养学生的实战能力，培养学生独立思考问题的精神。八、板书设计：课题：7.1 正切函数的图像及其性质1，正切函数的定义2，正切线的作法3，正切函数图像 4，正切函数图像的性质5，例题分析6，课后思考题教学反思：在本节课中，我时刻通过设置“矛盾冲突”撞击学生的思维，比如：在得到正切函数的概念之后，提出如何研究这一具体函数的性质，启发学生可以“类比”研究正余弦函数图像和性质的方法；又如，在得到正切函数的部分性质之后，提出如何能“丰满”正切函数的性质，启发学生可以借助图像进行研究，让学生感受“数缺形少直观，形缺少数难入微”的精妙.总之，教师时刻以培养学生的思维为出发点的教学，才是真正的数学教学，才能承载中学数学课堂的使命培养学生的数学思维和数学素养. 第 6 页