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1、 衡阳市八中2011年下学期期中考试试题高二数学（理科）本试题卷共三大题21小题，全卷满分100分，考试用时120分钟.请将答案写在答卷上.一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. “”是“”成立的（ ）A.充分不必要条件； B.必要不充分条件； C.充要条件； D.既非充分又非必要条件；2.下列命题中，真命题是（ ）A. ； B. ；C. ； D. ；3.“若，则或”的否命题是（ ）A. 若，则或； B. 若，则且； C. 若，则或； D. 若，则且；4.不等式的解集是（ ）A.（，1）； B.（，）； C.（1，）； D.
2、（，1）（1，）；5.已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率等于（ ）A. ； B. ； C. ； D. ；6.设点P是双曲线上的点，两焦点分别为，若，则（ ）A.1； B.13； C.5或13； D.1或13；7.双曲线的渐近线的方程是（ ）A.； B.； C.； D.；8.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（ ）A. B.2 C. D.49.若点P在曲线上移动，则点A（0，）与点P连线中点M的轨迹方程是（ ）A. ； B. ； C. ； D. ；10.过抛物线上的焦点作斜率为1的直线，交抛物线于A、B两点，则|AB|的值为（）A.2 B.3 C.4 D.8二、填空题：本大题共
3、5小题，每小题3分，共15分.11.命题“”的否定是： ；12.已知椭圆的离心率，则的值为： ；13.设双曲线的右焦点为F，则点F到该双曲线的渐近线的距离为： ；14.从抛物线上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且5，设抛物线的焦点为F，则的面积为: ；15. 设椭圆的两焦点分别为，若在椭圆上存在一点P，使，则该椭圆的离心率e的取值范围是： ；三、解答题：本大题共6小题，共55分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分8分）已知，经过点P（，2），焦点在轴上，求该双曲线的方程；17.（本小题满分8分）过椭圆内一点M（2，1）引一条弦，使该弦被点M平分，求这条弦所在直线的方
4、程；18.（本小题满分8分）命题p：关于的不等式对于一切恒成立，命题q：指数函数是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数的取值范围；19.（本小题满分9分）已知椭圆及直线，（1）当直线与椭圆有公共点时，求实数的取值范围；（2）求直线被椭圆截得的弦长的最大值；20.（本小题满分10分）已知双曲线的离心率为，直线过点A（，0）和B（0，），原点O到直线的距离为，（1）求此双曲线的方程；（2）已知直线交双曲线于不同的点C，D，且BC=BD，求的值；21.（本小题满分12分）抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在轴的负半轴上，过点M（0，）作直线与抛物线C交于，两点，且满足,，（1）求直线和抛物线C的方程
5、；（2）当抛物线C上一动点P从点A向点B运动时，求的面积的最大值； （3）在抛物线C上是否存在关于直线对称的相异两点？请说明理由；衡阳市八中2011年下学期高二数学（理科）期中考试试题命题：仇武君 审题：宋仕利本试题卷共三大题21小题，全卷满分100分，考试用时120分钟.请将答案写在答卷上.一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. “”是“”成立的（ A ）A.充分不必要条件； B.必要不充分条件； C.充要条件； D.既非充分又非必要条件；2.下列命题中，真命题是（ C ）A. ； B. ；C. ； D. ；3.“若，则或
6、”的否命题是（ D ）A. 若，则或； B. 若，则且； C. 若，则或； D. 若，则且；4.不等式的解集是（ A ）A.（，1）； B.（，）； C.（1，）； D.（，1）（1，）；5.已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率等于（ C ）A. ； B. ； C. ； D. ；6.设点P是双曲线上的点，若，则（ D ）A.1； B.13； C.5或13； D.1或13；7.双曲线的渐近线的方程是（ C ）A.； B.； C.； D.；8.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（D）A. B.2 C. D.49.若点P在曲线上移动，则点A（0，）与点P连线中点M的轨迹方程是（C）A
7、. ； B. ； C. ； D. ；10.过抛物线上的焦点作斜率为1的直线，交抛物线于A、B两点，则|AB|的值为（D）A.2 B.3 C.4 D.8二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.11.命题“”的否定是：；12.已知椭圆的离心率，则的值为：3或；13.设双曲线的右焦点为F，则点F到该双曲线的渐近线的距离为：3；14.从抛物线上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且5，设抛物线的焦点为F，则的面积为:10；15. 设椭圆的两焦点分别为，若在椭圆上存在一点P，使，则该椭圆的离心率e的取值范围是：；三、解答题：本大题共6小题，共55分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16
8、.（本小题满分8分）已知，经过点P（，2），焦点在轴上，求该双曲线的方程；【解】由题意，可设所求双曲线的方程为，依题设有，解得，故所求双曲线的方程为；17.（本小题满分8分）命题p：关于的不等式对于一切恒成立，命题q：指数函数是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数的取值范围；【解】设，由于关于的不等式对于一切恒成立，所以函数的图象开口向上且与轴没有交点，故，.函数是增函数，则有，即.由于p或q为真，p且q为假，可知p、q一真一假.若p真q假，则 ；若p假q真，则 ；综上可知，所求实数的取值范围是或18.（本小题满分8分）过椭圆内一点M（2，1）引一条弦，使该弦被点M平分，求这条弦所在直线的
9、方程；【解】设直线与椭圆的交点为A，B，因为M为AB的中点，所以，又A，B两点在椭圆上，则有，两式相减，得+4（）所以，即，此时直线的方程为，代入椭圆的方程，故所求直线的方程为.19.（本小题满分9分）已知椭圆及直线，（1）当直线与椭圆有公共点时，求实数的取值范围；（2）求直线被椭圆截得的弦长的最大值；【解】（1）由消去，整理得：，直线与椭圆有公共点，解得，故所求实数的取值范围为（2）设直线与椭圆的交点为A，B，由得：，故当时，直线被椭圆截得的弦长的最大值为；20.（本小题满分10分）已知双曲线的离心率为，直线过点A（，0）和B（0，），原点O到直线的距离为，（1）求此双曲线的方程；（2）已知
10、直线交双曲线于不同的点C，D，且C，D都在以B为圆心的圆上，求的值；【解】（1）由已知直线的方程为，原点O到直线的距离为，即：；又，故所求双曲线的方程为：（2）把代入中消去，整理得，设C，D，CD的中点是M，则，即，即，代入式，符合题意.故所求的值为.21.（本小题满分12分）抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在轴的负半轴上，过点M（0，）作直线与抛物线C交于，两点，且满足,，（1）求直线和抛物线C的方程；（2）当抛物线C上一动点P从点A向点B运动时，求的面积的最大值； （3）在抛物线C上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，请说明理由；【解】（1）由题意可设所求直线的方程为，所求抛物线的方程为，由，消去得：设点A，B，则，=（，），解得，故直线的方程为，抛物线的方程为（2）据题意，当抛物线过点P的切线与直线平行时，的面积最大，此时切线的方程为，由消去，整理得：，的方程为，即此时点P到直线的距离为，由消去得：故，所以的最大面积为=；（3）在抛物线C上存在关于直线对称的相异两点.假设在抛物线C存在相异两点A，B关于直线对称，则直线AB的方程为，由，消去得：，于是可得AB的中点M的坐标为（，），又点M在直线上，所以=2，即，AB的方程为，而此时，即直线AB与抛物线C有两个相异公共点.综上所述，在抛物线C上存在关于直线对称的相异两点.- 9 -
湖南省衡阳市八中下学期期中考试高二理科数学试题及答案
