数学归纳法在物理解题中的应用

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1、数学归纳法在物理解题中的应用贵州省黔西第一中学陈丽珊陈海在近年高考题中高频率的出现多过程问题，这类问题很多情况下可以用数学归纳法来解决，比如说一个关于自然数n的命题，由n1命题成立，可推知n2命题成立，继而又可推出n3命题成立这样就形成了一个无穷的递推，从而命题对于n1的自然数都成立，下面略举几例说明这一方法的应用，供同行参考。例1（2010年北京高考）雨滴在穿过云层的过程中，不断与漂浮在云层中的小水珠相遇并结合为一体，其质量逐渐增大。现将上述过程简化为沿竖直方向的一系列碰撞。已知雨滴的；初始质量为，初速度为，下降距离后于静止的小水珠碰撞且合并，质量变为。此后每经过同样的距离后，雨滴均与静止的

2、小水珠碰撞且合并，质量依次为、（设各质量为已知量）。不计空气阻力。若考虑重力的影响，求（1）第次碰撞前、后雨滴的速度和；（2）求第次碰撞后雨滴的动能。解析：（1）若考虑重力的影响，雨滴下降过程中做加速度为g的匀加速运动，碰撞瞬间动量守恒第1次碰撞前 第1次碰撞后 ， （2）第2次碰撞第2次碰撞后，利用（2）式得 同理，第3次碰撞后 ，第n次碰撞后速度为 故第次碰撞后雨滴的动能为 例2（2007年全国高考）如图所示，质量为m的由绝缘材料制成的球与质量为M=19m的金属球并排悬挂。现将绝缘球拉至与竖直方向成=600的位置自由释放，下摆后在最低点与金属球发生弹性碰撞。在平衡位置附近存在垂直于纸面的磁

3、场。已知由于磁场的阻尼作用，金属球将于再次碰撞前停在最低点处。求经过几次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于450。解析：由题意知每次碰撞都发生在最低点，且为弹性正碰设小球m的摆线长度为L，向左为速度的正方向，第一次碰撞前后绝缘小球的速度分别 、，金属球的速度为由动量守恒得：由机械能守恒得： 且，解得，第二次碰撞前后有，由动量守恒得：由机械能守恒得：联立上式解得，同理可得第三次碰撞前后有，解得，由此可知第n次碰撞后，绝缘小球的速度为,金属球的速度设第一次碰前绝缘球的动能为，其中第n次碰后绝缘球的动能为，其中，则得，因为，所以2n3,则经过3次碰撞后绝缘小球竖直方向的夹角小于45例3（200

4、9年北京高考）（1）如图1所示，ABC为一固定在竖直平面内的光滑轨道，BC段水平，AB段与BC段平滑连接。质量为的小球从高位处由静止开始沿轨道下滑，与静止在轨道BC段上质量为的小球发生碰撞，碰撞后两球两球的运动方向处于同一水平线上，且在碰撞过程中无机械能损失。求碰撞后小球的速度大小；解析：（1）设碰撞前的速度为，根据机械能守恒定律 设碰撞后与的速度分别为和，根据动量守恒定律 由于碰撞过程中无机械能损失 、式联立解得 将代入得 （2）碰撞过程中的能量传递规律在屋里学中有着广泛的应用。为了探究这一规律，我们才用多球依次碰撞、碰撞前后速度在同一直线上、且无机械能损失的恶简化力学模型。如图2所示，在固定光滑水平轨道上，质量分别为、的若干个球沿直线静止相间排列，给第1个球初能，从而引起各球的依次碰撞。定义其中第个球经过依次碰撞后获得的动能与之比为第1个球对第个球的动能传递系数。求：（a） （b）若、为确定的已知量。求为何值时，值最大解析：（a）由上问中式，考虑到和得根据动能传递系数的定义，对于1、2两球 同理可得，球和球碰撞后，动能传递系数k13应为 依次类推，动能传递系数k1n应为解得 （b）将、代入式可得为使k13最大，只需使由可知